Baccalauréat STI France juin Génie des matériaux mécanique B C D E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

[ Baccalauréat STI France 23 juin 2009 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXERCICE 1 5 points Le plan est muni d'un repère orthogonal ( O, ??ı , ??? ) . 1. Résoudre l'équation différentielle 4y+ y = 0, (E) ou y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur R et ou y ?? désigne sa dérivée seconde. 2. Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appe- lée f , dont la courbe représentative C f est fournie en annexe. On note f ? la fonction dérivée de f . a. La courbe C f passe par le point A(0; 1) et admet en ce point une tan- gente de coefficient directeur 12 . En déduire les valeurs de f (0) et f ?(0). b. Montrer que la solution particulière f de l'équation (E) est définie sur R par : f (x)= cos ( x 2 ) + sin (x 2 ) .

• nature du triangle bda


• repère orthogonal


• axe des abscisses


• feuille de papier millimétré


• tan- gente de coefficient directeur


• plan complexe

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• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STI France 23 juin 2009\ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E X E R C IC E points1 5 ¡ ¢ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthogonalO,ı,. 1.Résoudre l’équation différentielle 4y"+y=0, (E) ouydésigne une fonction de la variable réellexdéfinie et deux fois dérivable ′′ surRet ouydésigne sa dérivée seconde. 2.Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appe ′ léef, dont la courbe représentativeC f est fournie en annexe. On notefla fonction dérivée def. a.La courbeC f passe par le pointA1) et admet en ce point une tan(0 ; 1 ′ gente de coefficient directeur. En déduire les valeurs def(0) etf(0). 2 b.Montrer que la solution particulièrefde l’équation (E) est définie surR par : ³ ´³ ´ x x f(x)=cos+sin . 2 2 3.SoitDle domaine du plan délimité par : – l’axedes abscisses ; – l’axedes ordonnées ; – ladroite d’équationx=π, – lacourbeC f . Hachurer le domaineDsur la feuille annexe. 2 4.Montrer que [f(x)]=1+sin(x). 5.On considère le solide de révolution engendré par la rotation du domaineD autour de l’axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volumeVde ce solide. Z π 2 On rappelle queV=π[f(x)] dx. 0

E X E R C IC E points2 5 ¡ ¢ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,u,v. π On désigne pari.le complexe de module 1 et d’argument 2 1.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : 2 (z+4)(z−4z+16)=0. 2.On considère les nombres complexes définis par : z A =2+2i 3z B =2−2i 3z c = −4. Calculer le module et un argument dez A . En prenant comme unité graphique 1 cm, placer dans le plan complexe (en utilisant une feuille de papier millimétré) le pointAd’affixez A , le pointBd’af fixez B et le pointCd’affixez C .

A. P. M. E. P.

Génie des matériaux

3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. a.Démontrer que les pointsA,B,Cappartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. b.Placer le pointDmilieu du segment [AC]. c.Déterminer la nature du triangleB D A.

P R O B L È M E 10 points Soit la fonctionf, définie et dérivable surR, d’expression 5 1 x f(x)=e− +. x 2 e ′ On notefsa fonction dérivée. ¡ ¢ −→−→ SoitC f sa courbe représentative dans un repère orthogonalO,ı,. 1.Étudier les limites defen−∞et en+∞. ′ ′ 2. a.Calculerf(x) et montrer quef(x) peut se mettre sous la forme : x x (e−1)(e+1) ′ f(x)=. x e ′ b.Étudier le signe def(x) surR. c.Dresser le tableau de variation defsurR. 2 3. a.Résoudre dansRl’équation 2X−5X+2=0 d’inconnueX. x 2 x b.Montrer que l’équationf(x)=0 équivaut à 2 (e ) −5e+2=0. x 2 x c. ) En utilisant la question a., résoudre l’équation 2 (e−5e+2=0. d.Quelles sont les abscisses des points d’intersection de la courbeC f avec l’axe des abscisses ? e.En utilisant les résultats des questions 2. c. et 3. d. déterminer le signe de f(x)surR. 4.Déterminer une équation de la droiteTtangente àC f au point d’abscisse ln(2). ¡ ¢ −→−→ 5.En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le repèreO,ı, la courbeC f et la droiteT: unités graphiques 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées. 5 1 x 6.Soit la fonctionF, définie et dérivable surR, d’expressionF(x)=e−x−. x 2 e a.Montrer queFest une primitive defsurR. b.En déduire la valeur exacte de l’intégrale Z 2 I=f(x) dx. ln(2) c.Hachurer sur le graphique la partie du plan dont l’intégraleldonne la valeur de l’aireAen unité d’aire. d.Déduire des questions précédentes la valeur exacte de l’aireAde la par 2 tie hachurée, exprimée en cm . On donnera ensuite une valeur appro 2 chée deA1 cmprès.à 0,

France

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A. P. M. E. P.

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A 1

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F IG U R E 1 – Annexe – À rendre avec la copie

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