Baccalauréat STI Métropole juin Génie électronique électrotechnique optique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole juin 2003\ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4 points 1. a. Dans l'ensemble des nombres complexes C, résoudre l'équation d'in- connue z z2?8z+32= 0. b. écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. 2. Soit le nombre complexe 4ei π 3 . Donner sa forme algébrique. 3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d'affixes respectives : zA = 4+4i zB = 4?4i zC = 2+2i p 3. a. Placer les points A, B et C dans le repère ( O, ??u , ??v ) . b. Montrer que le triangle ABC est rectangle. EXERCICE 2 5 points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la ca- pacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le temps t est exprimé en secondes. À l'instant t = 0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelle q(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l'instant t .

• circuit électrique


• repère orthogonal


• représentation gra- phique


• intensité efficace dans le circuit


• solution de l'équation différentielle


• cm sur l'axe des ordonnées

Sujets

• Circuit électrique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2003
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STI Métropole juin 2003\ Génie électronique, électrotechnique, optique

E X E R C IC E 1 4points 1. a.Dans l’ensemble des nombres complexesC, résoudre l’équation d’in connuez

2 z−8z+32=0. b.écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. π i 2.. Donner sa forme algébrique.Soit le nombre complexe 4e 3 ¡ ¢ −→−→ 3.Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormalO,u,vd’unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d’affixes respectives :

z A =4+4iz B =4−4iz C =2+2i 3. ¡ ¢ −→−→ a.O,Placer les points A, B et C dans le repèreu,v. b.Montrer que le triangle ABC est rectangle.

E X E R C IC E 2 5points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la ca pacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l’inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le tempstest exprimé en secondes. À l’instantt=0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l’interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelleq(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l’instantt. On définit ainsi une fonctionq, deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[, dont la ′ dérivée première est notéeq. On admet que la fonctionqest solution de l’équation différentielle 1 ′′ (E) :y+y=0 LC ′′ oùyest définie et deux fois dérivable sur [0 ;+∞[ et de dérivée secondey. −3−2 Dans tout l’exercice on prend C = 1, 25×10 et5L = 0,×10 . 1. a.Montrer queqest alors solution de l’équation différentielle

′′5 (E) :y+1, 6×10y=0. b.Résoudre l’équation différentielle (E). c.Déterminer la solution particulièreqde (E) vérifiant :

−3′ q(0)=6×10 etq(0)=0. 2.On sait que la valeuri(t) de l’intensité, exprimée en ampères, du courant qui ′ parcourt le circuit à l’instanttvérifiei(t)= −q(t) . On définit ainsi une fonc tionisur l’intervalle [0 ;+∞[. a.Vérifier que, pour touttappartenant à l’intervalle [0 ;+∞[

i(t)=2, 4 sin(400t).

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A. P. M. E. P.

Z π 400 400 b.Calculer :cos(800t) dt. π 0 c.On désigne par I e la valeur, exprimée en ampères, de l’intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule : Z π 400 400 2 2 I=i(t) dt. e π 0 1 2 2 Calculer I(on pourra utiliser la formule sina=(1−cos 2a), puis don e 2 −3 ner une valeur approchée de I e près, sachant que Ià 10 e est un nombre positif.

P R O B L È M E

11 points

Partie A ¡ ¢ −→−→ On donne, dans le plan muni d’un repère orthogonalO,ı,, d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées, lareprésentation gra phique (C) d’une fonctiongdéfinie, dérivable et strictement croissante sur l’inter valle ]1 ;+∞[ ainsi que deux droites (T ) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2 ; 0) et (0 ;−3). La droite (D) a pour équationy=1. 3 (T) 2

1 −→ −→  ı 0 0 1 -1

-2

-3

-4

-5

-6

2

(D)

(C) 3 4

1. a.Déterminer graphiquementg(2). b.Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe (C) au point d’abscisse ′ 2, déterminer graphiquementg(2). c.On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe (C). Déterminer graphiquement la limite deg(x) quandxtend vers+∞. d.Sachant que la courbe (C) coupe l’axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]1 ;+∞[.

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2.On définit les fonctionsg 1 ,g 2 etg 3 sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par :

A. P. M. E. P.

1 2 g 1 (x)=1−;g 2 (x)=1−;g 3 (x)=ln(x−1). 2 x−1x−x L’une d’elles est la fonctiongque l’on se propose d’identifier en utilisant les résultats de la première question.

a.Calculerg 1 (2),g 2 (2) etg 3 (2). Ces résultats permettentils d’éliminer une des trois fonctions ? b.Calculer limg 1 (xlim) ;g 2 (x) etlimg 3 (x). x→+∞x→+∞x→+∞ Quelle fonction peuton alors éliminer ? ′ ′ c.On notegetgles fonctions dérivées respectives deg 1 etg 2 . 1 2 ′ ′ Calculerg(2) etg(2) puis conclure. 1 2

Partie B Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par

f(x)=x+1+2 lnx−2 ln(x−1). On note (C f ) la courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un repère ¡ ¢ −→−→ orthogonal O,ı,d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 1. a.Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]1 ;+∞[, ³ ´ x f(x)=x+1+2 ln? x−1 b.Déterminer la limite defen 1. Que peuton en déduire pour la courbe (C f ) ? 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Justifier que la droite (D) d’équationy=x+1 est asymptote oblique À la courbe (C f ). x c.Montrer que pour toutxde l’intervalle ]1 ;+∞[,>1. x−1 ³ ´ x Quel est alors le signe de lnpourxappartenant à ]1 ;+∞[ ? x−1 d.En déduire la position de la courbe (C f ) par rapport à la droite (D). ′ 3. a.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionfet vérifier que, pour ′ toutxappartenant à l’intervalle ]1 ;+∞[,f(x)=g(x) oùgest la fonc tion trouvée dans lapartie A. b.À l’aide des résultats graphiques obtenus dans lapartie A, dresser le ta bleau de variations de la fonctionf.

Partie C

1.Montrer que, sur l’intervalle ]1 ;+∞[, la fonctionHdéfinie par

H(x)=xlnx−(x−1) ln(x−1)

est une primitive de la fonctionhdéfinie parh(x)=lnx−ln(x−1) sur cet intervalle.

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A. P. M. E. P.

2. a.ésenté laSur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a repr courbe (C f ). Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe (C f ) et les droites d’équationsx=2 etx=3. b.On désigne parAla valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la par tie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte deApuis −2 une valeur décimale approchée À 10près par excès.

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1 −→  −→ ı 0 O 0 -1

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Annexe : représentation de la courbe (C f ) À rendre avec la copie

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