Baccalauréat STI Novembre 2005

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Novembre 2005 \ Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil Nouvelle-Calédonie Un formulaire demathématiques est distribué enmême temps que le sujet.Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats. EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité gra- phique 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Résolution d'une équation. a. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : z2?2 p 3z+4= 0 b. Calculer le module et un argument de chacune des solutions. Soient A et M les points d'affixes respectives a = p 3+ i et m = p 3? i. 2. Mise en place d'une configuration géométrique. a. Placer A et M dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) , en indiquant une méthode de construction. b. On appelle B etC les points d'affixes respectives b = ia et c = ib. Calculer b et c sous forme algébrique, puis placer B et C dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) .

• boule


• génie mécanique


• variable aléatoire


• courbe représentative dans le repère


• calcul d'aire


• nombreminimal de boules noires

Sujets

• Génie mécanique
• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2005
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Novembre 2005\ Génie Mécanique  Génie énergétique  Génie Civil NouvelleCalédonie

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.

E X E R C IC E 1 5points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v, unité gra phique 2 cm. π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Résolution d’une équation. a.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : p 2 z−2 3z+4=0

b.Calculer le module et un argument de chacune des solutions. SoientAetMles points d’affixes respectivesa=3+i etm=3−i. 2.Mise en place d’une configuration géométrique. ³ ´ −→−→ a.PlacerAetMdans le repèreO,u,v, en indiquant une méthode de construction. b.On appelleBetCles points d’affixes respectivesb=iaetc=ib. Calculerbetcsous forme algébrique, puis placerBetCdans le repère ³ ´ −→−→ O,u,v. c.Démontrer que le triangleABCest rectangle et isocéle. d.Déterminer l’affixe du pointDtel queABC Dsoit un carré. PlacerDsur la figure. 2iπ2iπ 3 3 3.SoientNetPles points d’affixes respectivesn=emetp=en a.Déterminer la forme algébrique den, puis démontrer queP=C. b.Démontrer que le triangleM N Pest équilatéral. 2 4.l’aire du carréCalculer en cmABC D, puis l’aire du triangleM N P. On don nera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à l’unité.

E X E R C IC E 2 4points Un sac contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule rouge, 3 boules jaunes etnboules noires. (ndésigne un entier naturel strictement positif). Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 5(, si la boule est jaune, il reçoit 2(et si la boule est noire, il reçoit 1(. Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant 1,70(. On noteX n la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur c’est à dire la somme reçue diminuée du prix du billet. 1.Dans cette question seulement, on supposen=6. a.Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoireX 6 ? b.Déterminer la loi de probabilité de la variable a aléatoireX 6 . c.Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX 6 .

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A. P. M. E. P.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que l’entier naturelnest quel conque. 2.Étude de la variable aléatoireX n . a.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireX n . b.Déterminer en fonction denl’espérance mathématique de la variable aléatoireX n c.Le club souhaite que l’espérance deX n soit strictement négative. Quel doit être le nombre minimal de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?

P R O B L È M E 11 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,, unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. Partie A : On appellefla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 f(x)= +lnx. x ³ ´ −→−→ On appelle C O,sa courbe représentative dans le repèreı,. 1.Déterminer la limite defen+∞. 2.Étude de la limite defen 0 a.En utilisant le résultat : limxlnx=0, déterminer la limite defen 0. x→0 b.En déduire que C admet une asymptote dont on donnera une équation. 3.Étude des variations def. ′ a.Calculerf(x) pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[. ′ b.Étudier le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et dresser le tableau de variation def. ³ ´ −→−→ 4.Tracer C O,dans le repèreı,.

Partie B : kdésigne un entier naturel non nul. On appellegla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par 1 g(x)= +klnx. x ³ ´ −→−→ On appelle C k la courbe représentative degdans le repéreO,ı,. En particulier la courbe C 1 est la courbe tracée à la fin de la premiére partie. 1.Étude des variations deg. ′ a.Calculerg(x) pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ µ ¶ 1 1 ′ b.Démontrer queg(x) s’annule pourx=. Exprimergen fonction k k dek. ′ c.Étudier le signe deg(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et dresser le tableau de variations deg. On admettra quegadmet en 0 comme en+∞les mêmes limites quef. µ ¶ 1 1 2.On posex k =ety k =g. On appelleS k le point de C k de coordon k k nées (x;y). k k

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A. P. M. E. P.

a.Déterminer la limite de la suite (x k ). ¡ ¢ b.Déterminer la limite de la suitey k . c.Vérifier que, pour tout entier naturel non nulk, le pointS k est situé sur 1+lnx la courbeΓd’équationy=. x

Partie C :

1.SoitHla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

H(x)=xlnx−x.

Déterminer la fonction dérivée deHet en déduire une primitive de la fonction fsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2.Calcul d’aire. a.Démontrer que la fonctionfest positive sur l’intervalle [1 ; 2]. b.Calculer l’aire du domaine plan compris entre la courbe C , l’axe des abs cisses et les droites d’équationx=1 etx=2. On donnera le résultat final 2 arrondi au mm.

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