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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL 2002 \ L'intégrale de septembre 2001 à juin 2002 France Biochimie, génie biologique septembre 2001 . 3 Antilles-Guyane Biochimie juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 France Biochimie, génie biologique juin 2002 . . . . . . . . 7 France Chimie de laboratoire juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . .9 France Physique de laboratoire juin 2002 . . . . . . . . . . . . 12

point d'évolution

pesticide

taux de pesticides contenus

coordonnées des points moyens

coordonnées exactes du point correspondant

population dé

évolution de la population de levures dans le temps

représentation graphique

Voir

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France 4 Pesticide Représentation graphique

[ Baccalauréat STL 2002 \

L’intégrale de septembre 2001 à juin 2002

France Biochimie, génie biologique septembre 2001 . 3

Antilles-Guyane Biochimie juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

France Biochimie, génie biologique juin 2002 . . . . . . . . 7

France Chimie de laboratoire juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 9 France Physique de laboratoire juin 2002 . . . . . . . . . . . . 12

L’in

égrale

2002

[ Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique \ France septembre 2001

E XERCICE 1 12 points Une réserve d’eau naturelle est aménagée pour la baignade. Un systéme d’évacua-tion permet de maintenir dans ce bassin, en toutes circonstances, un volume d’eau constant égal á 50 000 litres. Á la suite de pluies torrentielles, des eaux de ruisselle-ment, polluées par des pesticides, se déversent dans ce bassin. On a déterminé le volume y i (en litres) de pesticides contenus dans le bassin á l’ins-tant t i (exprimé en heures). Les résultats ﬁgurent dans le tableau suivant : t i 0 20 40 60 80 100 y i 0 173 375 502 688 778 On pose z i  − 7  ln(2000 − y i ), où ln désigne la fonction logarithme népérien. 1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en donnant les valeurs de z i á 10 − 2 près. t i 0 20 40 60 80 100 z i 0,39 −→ 2. Dans un repère orthogonal ³ O, ı , −  → ´ , représenter le nuage de points M i ( t i , z i ). (On prendra 0,1 cm pour unité en abscisses, et 20 cm pour unité en ordon-nées). 3. a. Calculer les coordonnées du point moyen G 1 des trois premiers points du nuage et celles du point moyen G 2 des trois derniers points du nuage. b. Placer les points G 1 et G 2 sur le graphique et tracer la droite (G 1 G 2 ). c. Déterminer une équation de la droite (G 1 G 2 ). 4. On considère que la droite (G 1 G 2 ) constitue un ajustement afﬁne convenable du nuage de points Mi ( t i , z i ). À l’aide du résultat obtenu en 3 c , montrer que l’on peut choisir comme expression approchée de y en fonction de t : y  2000 ¡ 1 − e − 0,005 ¢ . t 5. La baignade devient dangereuse dès que le taux de pesticides contenus dans l’eau atteint 2 %. a. Pour quel volume de pesticides ce taux est-il atteint ? b. Résoudre l’inéquation : 2000 ¡ 1 − e − 0,005 t ¢ > 1000. c. En déduire au bout de combien de jours la baignade sera dangereuse (on arrondira le résultat à l’entier le plus proche). d. Comment peut-on vériﬁer graphiquement ce résultat ?

E XERCICE 2 8 points Le but de l’exercice est la détermination puis l’étude de quelques propriétés d’une fonction f déﬁnie et dérivable sur R , dont la représentation graphique ( C ), ainsi que la tangente à ( C ) au point d’abscisse 0, ﬁgurent ci-dessous. Partie A : détermination de la fonction f

Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique L’intégrale 2002

1. À l’aide du graphique, déterminer f (0) et f ′ (0), où f ′ désigne la dérivée de la fonction f . 2. On suppose que l’expression de f est donnée pour tout nombre réel x par : f ( x )  α  β x e − x , où α et β sont des nombres que l’on se propose de déterminer. a. En utilisant un résultat du 1 déterminer la valeur de α . b. Démontrer que, pour tout nombre réel x , f ′ ( x )  β e − x (1 − x ). À l’aide de l’autre résultat du 1 en déduire β . Partie B : étude de quelques propriétés de la fonction f On admet dans cette partie que l’expression de f est f ( x )  2  3 x e − x . 1. En utilisant l’expression de la dérivée obtenue dans la part ie A 2 b , étudier les variations de la fonction f , et préciser les coordonnées exactes du point correspondant au maximum de cette fonction. 2. Étudier les limites de la fonction f en -∞ et en + ∞ . 3. Dresser le tableau de variations de la fonction f . 4. Pour quelles valeurs du nombre réel x a-t-on f ( x )  2 ? 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3

rFanec

( C )

4spetmebre0210

[ Baccalauréat STL Antilles–Guyane juin 2002 \

Biochimie–Génie biologique Calculatrice autorisée Durée de l’épreuve : 2 heures Coefﬁcient : 2 E XERCICE 1 12 points Évolution d’une population de levures Soit la fonction f déﬁnie sur [0 ; ∞ [ par : 650 f ( t )  1  64e − 0,5 t et C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal ³ O, ı −→ ,  −→ ´ . 1. Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies à 1 unité près. t 0 4 8 12 16 20 24 28 30 f ( t ) 2. Déterminer t l → i  m ∞ ¡ 1  64e − 0,5 t ¢ ; en déduire t l → im f ( t ). Donner l’interprétation ∞ graphique de ce résultat. 3. a. Montrer que la fonction dérivée f ′ de la fonction f est déﬁnie sur [0 ; ∞ ] par 20800e − 0,5 t f ′ ( t )  ¡ e − 0,5 t ¢ 2 . 1  64 b. Étudier le signe de f ′ suivant les valeurs de t . c. Dresser le tableau de variations de f . 4. Déterminer une équation de la droite T tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0. −→ 5. Tracer, dans le repère ³ O, ı , −  → ´ l’asymptote à la courbe C f , la tangente T et lacourbe C f . On prendra en abscisse 1 cm pour 2 unités et en ordonnée 1 cm pour 50 unités. 6. On étudie l’évolution d’une population de levures cultivées dans un milieu non renouvelé. On admet que f ( t ) est une bonne évaluation du nombre d’in-3 dividus, par cm , t heures après le début de l’observation. a. Décrire l’évolution de la population de levures dans le temps. b. Quel était le nombre d’individus au début de l’observation ? c. Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la population dé-passera 500 individus.

E XERCICE 2 8 points Lors d’une mission de Médecins Sans Frontières, on a analysé le sang de la popu-lation d’une ville sur un échantillon représentatif de 8 000 personnes. Les r ésultats concernant la répartition selon les Rhésus  et Rhésus − et selon les quatre groupes sanguins A, B, A–B et O sont les suivants :

Baccalauréat STL

Biochimie, génie biologique

– Il y a 70 % de ces 8 000 personnes qui sont Rhésus  . Parmi les personnes de Rhésus  , 33 % sont de groupe A, 48 % de groupe O et 260 personnes sont de groupe AB. 1 – Parmi les Rhésus négatifs, il y a 17 % qui sont de groupe B, 12 de groupe AB et il y a autant de personnes de groupe A que de groupe O. 1. Compléter le tableau suivant des effectifs : ❤❤ ❤❤ Groupe S ❤ an ❤ gu ❤ in ❤ s ❤❤❤ R ❤ hé ❤ sus A B AB O TOTAL  − TOTAL 2. On choisit au hasard une personne de l’échantillon. On considère les évènements suivants : E 1 : « La personne observée est de Rhésus − » ; E 2 : « La personne observée est de groupe O ». a. Déﬁnir par une phrase en français les évènements suivants : E 2 ; E 1 ∩ E 2 b. Déterminer la probabilité, à 10 − 2 près, des évènements suivants : E 2 ; E 2 ; E 1 ∩ E 2 ; E 1 ∪ E 2 c. Déﬁnir par une phrase en français, l’évènement E 1 ∪ E 2 et calculer sa pro-babilité. 3. Si l’on choisit une personne de groupe O, déterminer à 10 − 2 près la probabilité qu’elle soit de Rhésus  .

tliels–Guyane6spetembre2002

[ Baccalauréat STL Biochimie, Génie Biologique \ France juin 2002

E XERCICE 1 8 points Des étudiants en agronomie procédent au croisement de deux variétés de pois, l’une ayant des graines jaunes et lisses, l’autre des graines vertes et ridées. En première génération, F 1 , les graines obtenues sont toutes semblables entre elles, elles sont jaunes et lisses. L’expérience est poursuivie. Les étudiants croisent entre eux les individus de la gé-nération F 1 , pour obtenir la génération F 2 . L’observation de 5 431 graines issues de la génération F 2 montre que : • 4 069 graines sont jaunes dont 3 057 lisses ; • 341 graines sont vertes et ridées. Dans les questions 2 à 4, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 10 − 3 prés . 1. Reproduire et compléter le tableau suivant (on ne justiﬁera pas les résultats) : graines jaunes graines vertes Total graines lisses graines ridées Total 5 341 2. On tire au hasard une graine parmi les 5 431 de cet échantillon, tous les tirages étant équiprobables. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « La graine est jaune » ; B : « La graine est lisse ». 3. On considère les évènements suivants : A ∩ B ; A ∪ B ; A et A ∩ B ou A et B désignent les évènements contraires respectifs de A et B. Déﬁnir chacun de ces évènements par une phrase, puis calculer leur probabi-lité. 4. On prend, au hasard, une graine jaune. Quelle est la probabil ité de l’évène-ment C « la graine est ridée » ?

E XERCICE 2 12 points PROTOZOAIRE : être vivant unicellulaire, classé traditionnellement dans le règne animal. (dictionnaire Le Petit Robert ) On étudie l’évolution d’une colonie de protozoaires placés dans un milieu limité. Le nombre f ( t ) de protozoaires dépend du temps, exprimé en heures, selon la rela-tion : 10 3 .  f ( t )1  4e − 0,5 t pour t appartenant á l’intervalle [0 ; ∞ [. C désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal, d’unités graphiques : • 1 cm pour 1 heure sur l’axe des abscisses ; • 1 cm pour 100 protozoaires sur l’axe des ordonnées. 1. a. Étudier la limite de f ( t ) quand t tend vers ∞ . b. En déduire que C admet une asymptote dont on précisera une équation. 2. On note f ′ la dérivée de f .

Baccalauréat STL Biochimie Génie biologique Biochimie, génie biologiqu e

rFa

a. Démontrer que pour tout nombre réel positif t : f ′ ( t )  ¡ 120  040ee −− 00,,55 tt ¢ 2 . b. Déterminer le signe de f ′ ( t ) sur [0 ; ∞ [. c. Établir le tableau de variations de f . 3. Complèter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant. Les valeurs de f ( t ) se-ront arrondies à l’unité près.

t 0 1 2 4 6 8 9 10 f ( t )

4. Tracer la courbe C et son asymptote. 5. Calculer l’instant t 0 où le nombre de protozoaires sera égal à 500. Donner une valeur approchée de t 0 à une minute près. 6. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, cette colonie de protozoaires dépassera 95 % de son taux de saturation qui s’élève à 1 000 indi-vidus. ( On fera apparaître sur la ﬁgure les construction utiles .)

nec8juin0220

[ Baccalauréat STL Chimie de laboratoire \ France juin 2002

E XERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ³ O, − u → , − v → ´ d’unité graphique 3 cm. On appelle i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2 π . On appelle notation exponentielle du nombre complexe z l’écriture de z sous la forme z  r e i θ où r est le module de z et θ un argument de z . 1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z 2 − z  1  0. 1 3 1 3 2. On pose z A  2  2 i et z E  2 − 2 i. a. Écrire z A et z E en notation exponentielle. b. Construire les points A et E d’afﬁxes respectives z A et z E . 3. On déﬁnit les quatre nombres complexes suivants : z B  z A2 ; z C  z 3A ; z D  z 4A ; z F  z 6A . a. Écrire ces quatre nombres complexes en notation exponentielle. b. Démontrer que les points A, B, C, D, E et F sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. c. Construire les points B, C, D et F. On justiﬁera la construction.

E XERCICE 2 4 points Au cours d’une réaction chimique, on appelle C ( t ) la concentration du réactif (en moles par litre) à l’instant t (en minutes). On admet que la fonction C : t 7→ C ( t ) déﬁnie sur l’intervalle I = [0 ; ∞ [ est solution de l’équation différentielle (E) : C ′ ( t )  − aC ( t ). où a est une constante donnée liée á la réaction. 1. a. Résoudre l’équation (E). b. Déterminer la solution de (E) vériﬁant : C (0)  0, 1 mol.L − 1 ( C (0) est la concentration initiale à l’instant t  0). 2. On donne a  9, 9 × 10 − 3 min − 1 et on suppose désormais que la fonction C est déﬁnie sur [0 ; ∞ [ par : C ( t )  0, 1 × e − 9,9 × 10 − 1 t . a. Déterminer le temps de demi-réaction noté t 1/2 , c’est- à-dire la valeur de t pour laquelle la concentration est égale à la moitié de la concentration initiale C (0). On donnera d’abord la valeur exacte de t puis celle arrondie à la minute. b. La courbe représentative de la fonction C est donnée en annexe. L’axe des abscisses est graduée en minutes. Déterminer graphiquement la va-leur de t pour laquelle la concentration est égale à 10 % de la concentra-tion initiale.

Baccalauréat STL Chimie de laboratoire Biochimie, génie biologique

P ROBLÉME 11 points On considère la fonction f déﬁnie sur l’intervalle I = ] 0 ; ∞ [ par : f ( x )  x − 1 − 2 ln x . On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonor-− mal ³ O, ı → , −  → ´ d’unité graphique 2 cm. 1. a. Déterminer la limite en 0 de la fonction f . Que peut-on en déduire pour la courbe C ? b. En écrivant f ( x ) sous la forme f ( x )  x µ 1 − 1 x − 2 ln xx ¶ , déterminer la li-mite de la fonction f en ∞ . 2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle I. Calculer f ′ ( x ), étudier son signe puis construire le tableau de variations de f 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C en son point A d’abs-cîsse 1. 4. Calculer f (2), f (4), f (6) puis en donner les valeurs approchées à 10 − 1 près. En utilisant les résultats précédents et le tableau de variations de la fonction f . a. Démontrer que l’équatîon f ( x )  0 admet une unique solution autre que 1. b. Donner un encadrement de cette solution par deux entiers consécutifs. 5. Construire dans le repère ³ O, ı −→ ,  −→ ´ la courbe C , et la tangente T. 6. Soit F la fonction déﬁnie sur l’intervalle I par F ( x )  12 x 2  x − 2 x ln x . a. Démontrer que F est une primitive de f sur l’intervalle I. b. On appelle S l’aire en cm 2 de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses, et les droites d’équations x  4 et x  6. Calculer la valeur exacte en cm 2 de S , puis une valeur approchée au mm 2 près.

rFanec10juin2002