Baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL Métropole juin 2001 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé. EXERCICE 1 5 points À l'instant t = 0, un corps dont la température est de 100° est placé dans une salle à 20°. On désigne par ?(t) la température du corps à l'instant t , l'unité de temps étant l'heure et l'unité de température le degré Celsius. On suppose que la vitesse de refroidissement ?? (t) est proportionnelle à la différence de température entre la température du corps et la température de la salle (loi de Newton) (on négligera l'élévation de température de la salle) et on admettra donc qu'il existe un nombre réel k tel que ??(t)= k[?(t)?20]. 1. On pose y(t)= ?(t)?20. a. Montrer que la fonction y est solution de l'équation différentielle y ? = k y où k est défini ci-dessus. b. Résoudre cette équation différentielle. c. En déduire que ?(t)=Cekt +20 où C est un nombre réel que l'on calcu- lera. 2. a. Sachant qu'au bout de 20 minutes le corps s'est refroidi de 100° à 60°, montrer que ?(t)= 80e(?3ln2)t +20.

• courbe représentative dans le plan


• solution de l'équation


• courbe représentative


• usage des calculatrices et des instruments de calcul


• z2 z1


• repère orthonormal direct


• plan complexe

Sujets

• Graphe d'une fonction
• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2001
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STL Métropole juin 2001\ Physique de laboratoire et de procédés industriels

L’usage des calculatrices et des instruments de calcul est a utorisé.

E X E R C IC E 1 5points À l’instantt=alle à° est placé dans une s0, un corps dont la température est de 100 20 °. Ondésigne parθ(t) la température du corps à l’instantt, l’unité de temps étant l’heure et l’unité de température le degré Celsius. ′ On suppose que la vitesse de refroidissementθ(t) est proportionnelle à la différence de température entre la température du corps et la température de la salle (loi de Newton) (on négligera l’élévation de température de la salle) et on admettra donc qu’il existe un nombre réelktel que

′ θ(t)=k[θ(t)−20]. 1.On posey(t)=θ(t)−20. ′ a.Montrer que la fonctionyest solution de l’équation différentielley=k y oùkest défini cidessus. b.Résoudre cette équation différentielle. k t c.En déduire queθ(t)=Ce+20 oùCest un nombre réel que l’on calcu lera. 2. a.°,0 °à 60Sachant qu’au bout de 20 minutes le corps s’est refroidi de 10 montrer que

(−3 ln 2)t θ(t)=80e+20.

b.Quelle est la température du corps, arrondie au degré, au bout de 30 mi nutes ? c.° ?° à 30En combien de temps la température tomberatelle à de 100

E X E R C IC E points2 5 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal directO,u,v(unité gra phique 2 cm). ¡ ¢ 1. a.2Vérifier que le nombre complexe+3−i est solution de l’équation : ³ ´³ ´ 2 Z−2 2+3Z+4 2+3=0.

b.Donner l’autre solution de cette équation. 2.On considère les nombres complexes : ³ ´³ ´ Z 1 =2+3+i etZ 2 =2+3−i. ³ ´ −→−→ a.Placer dans le repèreO,u,vle point A d’affixeZ 1 et le point B d’affixe Z 2 . Z 2 3 i b.Vérifier que= −. Z 1 2 2 Z 2 c..Déterminer le module et un argument du complexe Z 1 d.Déduire du résultat précédent l’angle de la rotation de centre O qui trans forme A en B.

Terminale STL Physique de laboratoire et de procédés industriel s

3. a.Déterminer l’affixeZ 3 du point C milieu du segment [AB]. b.Quelle est la nature du triangle OCA ? 4. a.Calculer | Z 1 | et | Z 3 | . b.Déduire des résultats précédents que : p π2+3 cos=. 12 2

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 10 points Le but du problème est l’étude de la fonction numériquefdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 lnx 2 f(x)=x+1−, 2x où lnxdésigne le logarithme népérien dex. On noteCnormalsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère ortho ³ ´ −→−→ O,u,vd’unité graphique : 2 cm.

Partie A Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

3 g(x)=x−1+lnx. 1.Étudier les variations de la fonctiong. Les limites aux bornes ne sont pas de mandées. 2.Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

Partie B 1.Étudier les limites de la fonctionfaux bornes de l’intervalle ]0 ;+∞[. En dé duire l’existence d’une droite asymptote à la courbeCque l’on précisera. g(x) ′ 2.Démontrer quef(x)=. 2 x En déduire le tableau de variations de la fonctionf. 3.Soithla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

2 x h(x)= +1. 2 ³ ´ −→−→ Sa courbe représentativePO,dans le repèreu,vest donnée ciaprès. a.Déterminer la limite de [f(x)−h(x)] en+∞. b.Déterminer le signe de [f(x)−h(x)]. Que peuton en déduire pour la po sition relative des deux courbesCetP? 4.Tracer la courbeCsur la feuille ciaprès (à rendre avec la copie).

Partie C

1.Déterminer une primitive de la fonction : 1 x7−→lnx. x sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Métropole

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A. P. M. E. P.

2 2.On appelle S l’aire en cm, de la partie du plan limitée par les deux courbesC etPet les droites d’équationsx=1 etx=4. 2 Donner la valeur exacte de S puis la valeur arrondie au mm.

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O

Métropole

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ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE

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