Baccalauréat STL septembre correction Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL 14 septembre 2011 correction \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 5 points 1. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z)= z3?64. Déterminons les nombres réels a et b tels que, pour tout complexe z : P(z)= (z?4)(z2+az+b) . (z?4)(z2+az+b)= z3+az2+bz?4z2?4b = z3+ (a?4)z2+ (b?4a)z?4b En identifiant les deux polynômes nous obtenons : ? ? ? ? ? a = 4 b?4a = 0 ?4b =?64 d'où ? ? ? ? ? a = 4 16?4?4 = 16?16= 0 b = 16 Le réel a vaut 4 et le réel b 16. Nous avons alors P(z)= (z?4)(z2+4z+16) . Onpeut aussi reconnaître la forme a3?b3 qui se factorise en (a?b)(a2+ab+b2) 2. Résolvons dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation P(z)= 0. (z?4)(z2+4z+16)= 0 z?4= 0 ou z2+4z+16= 0 z = 4 Calculons ∆ ∆= 42?4?16 = 48i2 = (4i p 3)2 ∆< 0 2 racines complexes conjuguées x1 = ?4? √ 48i2 2 =?2?2i p 3 x2 = ?4+ √ 48i2 2

• rappel cos


• cos pi6


• axe des abscisses


• solution de l'équation différentielle


• partiedu plan


• complexes conjuguées


• plan complexe

Sujets

• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2011
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTL14septembre2011correction\
Chimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
EXERCICE1 5points
31. Pourtoutnombrecomplexez,onposeP(z)?z ?64.
Déterminonslesnombresréels a etb telsque,pourtoutcomplexe z :
? ?
2P(z)?(z?4) z ?az?b .
? ?2 3 2 2(z?4) z ?az?b ?z ?az ?bz?4z ?4b
3 2?z ?(a?4)z ?(b?4a)z?4b
Enidentifiantlesdeuxpolynômesnousobtenons:
8 8
a?4 a?4> >< <
b?4a?0 d’où 16?4?4?16?16?0
> >: :
?4b??64 b?16
? ?
2Leréel a vaut4etleréelb 16.NousavonsalorsP(z)?(z?4) z ?4z?16 .
3 3 2 2Onpeutaussireconnaîtrelaformea ?b quisefactoriseen(a?b)(a ?ab?b )
2. Résolvonsdansl’ensembleCdesnombrescomplexesl’équationP(z)?0.
? ?
2(z?4) z ?4z?16 ?0
2z?4?0 ou z ?4z?16?0
z?4 Calculons?
p
2 2 2??4 ?4?16?48i ?(4i 3)
??0 2racinescomplexesconjuguées
p
2 p?4? 48i
x ? ??2?2i 31
2
p
2 p?4? 48i
x ? ??2?2i 32
2
? p p ?
L’ensembledessolutionsdel’équationP(z)?0est: ?2?2i 3;?2?2i 3; 4
? ?!? !?
3. Onmunit le plan complexe d’un repèreorthonormal O, u , v .Onprendra
pourunitégraphique1cm.
OnconsidèrelespointsA,BetCd’affixesrespectives
p p
z ?4, z ??2?2i 3 etz ??2?2i 3.A B C
? ?!? !?
a. VoirlespointsA,BetCdanslerepère O, u , v ci-dessous.
b. DémontronsquelespointsA,BetCappartiennentàunmêmecerclede
centreO.Pourcefaire,montronsquelesnombrescomplexesontmême
module. q qp p
2 2 2 2jz j?4, jz j? (?2) ?(2 3) , jz j? (?2) ?(2 3)A B C
p p
jz j? 4?12?4 jz j? 4?12?4B C
jz j?jz j?jz j. Les points appartiennent au cercle de centre O et deA B C
rayon4.BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
5
4B
3
2
1
~v
A
O?5 ?4 ?3 ?2 ?1 u~ 1 2 3 4 5
?1
?2
?3
C
?4
?5
EXERCICE2 4points
1. Résolvonsl’équationdifférentielle
00y ?4y?0,
où y est une fonction de la variable x, définie et deux fois dérivable sur l’en-
sembleRdesnombresréels.
00 2Les solutions del’équation différentielle y ?! y?0sontles fonctions dela
forme y(x)?Acos(!x)?Bsin(!x)
ici!?2.Lessolutionsdel’équationdifférentiellesontlesfonctions f définies
par f(x)?Acos(2x)?Bsin(2x)
2. Déterminons la solution f de l’équation différentielle précédente qui vérifie
lesconditionssuivantes:
– f(0)?1, f(0)?Acos(0)?Bsin(0)?A,A?1p
0 0– f (0)?2 3.Dérivons f. f (x)?A(?2sin(2x))?B(2cos(2x)p
0f (0)?A(?2sin(0))?B(2cos(0)?2B,d’oùB? 3
Lasolutiondel’équationdifférentiellevérifiantlesdeuxconditionsest
p
f(x)?cos(2x)? 3sin(2x)
? ??
3. a. Vérifionsque,pourtoutnombreréel x, f(x)?2cos 2x? .
3
Rappel cos(a?b)?cosacosb?sinasinb
? ? ? ? ? ? ??? ? ?
2cos 2x? ?2 cos(2x)cos ?sin(2x)sin
3 3 3? ? !!p
1 3
?2 cos(2x)? ?sin(2x)?
2 2
p
?cos 2x ? 3sin(2x)( )
? f(x)
correctionMétropole 2 14septembre2011
rrrBaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
p
b. Résolvonssurl’intervalle[0; 2?]l’équation f(x)? 3.
? ? p?
2cos 2x? ? 3
3
p? ?? 3
cos 2x? ?
3 2
p
3 ?
or ?cos
2 6
? ?? ?
cos 2x? ?cos
3 6
Ilenrésulte:
? ? ? ?
2x? ? ?2k? ou 2x? ?? ?2k?
3 6 3 6
? ? ? ?
2x? ? ?2k? 2x? ? ?2k?
3 6 3 6
? ?
2x? ?2k? 2x? ?2k?
2 6
? ?
x? ?k? x? ?k?
4 12
Dansl’intervalle[0; 2?],k?0ouk?1,nousavonsdonc
? 5? ? 13?
x ? x ? x ? x ?1 2 3 4
4 4 12 12
p
L’ensembleS dessolutionsdel’équation f(x)? 3dans[0; 2?]est
? ?
? 5? ? 13?
S ? ; ; ;
4 4 12 12
PROBLÈME 11points
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar
x
f(x)?(2x?5)e .
? ?!? !?
On munit le plan d’un repère orthonormal O, ı , | . L’unité graphique est 1 cm.
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonction f.
1. Déterminonslescoordonnéesdespointsd’intersectionAetBdelacourbeC
x– avec l’axe des abscisses. Résolvons f(x)? 0, c’est à dire (2x?5)e ? 0, or
xe ? 0 pour tout x donc cette équation revient à résoudre 2x?5? 0 d’où? ?
5 5
x? A ; 0
2 2
0– avecl’axe desordonnées.Ilapour équation x?0 f(0)?(2?0?5)e ??5.
B(0;?5)
2. Déterminonslalimitedelafonction f
x– en?1. lim f(x)??1car lim 2x?5??1et lim e ??1
x!?1 x!?1 x!?1
x– en?1. lim f(x)?0car lim xe ?0
x!?1 x!?1
03. Lafonction f estdérivable.Ondésignepar f safonctiondérivée.
0 0 0 0 x x xa. f ?uv parconséquent f ?u v?uv f (x)?2e ?(2x?5)e ?(2x?3)e .
0 xNousavonsbien f (x)?(2x?3)e .
0 xb. Lesignede f (x)estceluide2x?3puisquepourtout x2R,e ?0.
3
2x?3?0 () x? .
2 ? ? ? ?
3 30 0Parconséquent si x2 ?1; , f (x)?0,si x2 ;?1 , f (x)?0Si
2 2
0pourtout x2I, f (x)>0alors f estcroissantesur I. f estcroissantesur? ?
3
;?1
2
correctionMétropole 3 14septembre2011BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
0sipourtout x2If (x)60alorslafonction f estdécroissantesurI. f est? ?
3
décroissantesur ?1;
2
c. Dressonsletableaudevariationdelafonction f.
3
x ?1 ?12
0 ? ?f 0 0
?10
Variations
de f
3
2?2e
4. ÉcrivonsuneéquationdelatangenteTàlacourbeC aupointB.Uneéquation
0delatangenteàC aupointd’abscisse x est y? f (x )(x?x )?f(x ).f 0 0 0 0
0 0AupointBd’abscisse0, y? f (0)(x)?f(0). f(0)??5, f (0)??3.d’oùl’équa-
tiondelatangenteTàlacourbeC aupointBest y??3x?5
5. TraçonslacourbeC,lespointsAetBetladroiteT.
6. a. Déterminons lesréels a et b desortequela fonction FdéfiniesurRpar
xF(x)?(ax?b)e soituneprimitivedelafonction f surR.
0SiFestuneprimitivede f alorsF ? f.
0 x x xF (x)?ae ?(ax?b)e ?(ax?b?a)e .
Ilenrésulte,enidentifiant, a?2etb?a??5d’oùb??7.
xUneprimitivede f estlafonctionFdéfinieparF(x)?(2x?7)e
b. Calculons l’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des
5
abscisses,l’axedesordonnéesetladroited’équation x? .Cettepartie
2
duplanétantsituéesousl’axedesabscisses,sonaireenunitésd’aireest:
Z5
5 52 ? ? 5x2 2 2?f(x)dx?[?F(x)] ? ?(2x?7)e ?2e ?7
0 0
0
52 22l’unitéd’aireétantlecm ,l’airevautdonc(2e ?7)cm soitapproxima-
2tivement17,36cm
correctionMétropole 4 14septembre2011BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
T 5 C
4
3
2
1
A
O?5 ?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3
?1
?2
?3
?4
?5 B
?6
?7
?8
?9
?10
correctionMétropole 5 14septembre2011
rr