Correction du baccalauréat S Antilles Guyane septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction du baccalauréat S Antilles-Guyane \ septembre 2009 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la ré- ponse donnée. PARTIE A Soit (un ) la suite définie pour tout n ?N? par un = (?1)n . 1. Vrai : la suite (un ) est bien bornée, par -1 et 1. 2. Faux : la suite (un ) n'a pas de limite quand n tend vers∞. 3. Vrai : la suite de terme général un n converge vers 0, d'après le théorème des gen- darmes. 4. Faux : une suite peut être à termes positifs (donc minorée) et décroissante, donc convergente, mais converger vers un autre nombre que 0 : par exemple, la suite de terme général un = 1+ 1 n+1 est à termes positifs, décroissante et tend vers 1. PARTIE B 1. Faux : A et B sont deux évènements indépendants avec P (B) 6= 0 et P (B) 6= 1, alors P (A?B)=PB (A)?P (B) 6=PB (A). 2. Faux : X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], donc : P (X ? [0,1 ; 0,6])= 0,6?0,1 = 0,5.

• vecteur directeur


• points candidats


• équation du plan abc


• ga2


• zb


• milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle


• surface s2 d'équation z


• plan complexe

Sujets

• Thalès
• Vecteur directeur
• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2009
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
VRAIOUFAUX
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la ré-
ponsedonnée.
PARTIEA
? nSoit(u )lasuitedéfiniepourtoutn2N paru ?(?1) .n n
1. Vrai:lasuite(u )estbienbornée,par-1et1.n
2. Faux:lasuite(u )n’apasdelimitequandn tendvers1.n
un
3. Vrai : la suite de terme général converge vers 0, d’après le théorème des gen-
n
darmes.
4. Faux : une suite peut être à termes positifs (donc minorée) et décroissante, donc
convergente, mais converger vers un autrenombreque 0 : par exemple, la suite de
1
termegénéralu ?1? estàtermespositifs, décroissanteettendvers1.n
n?1
PARTIEB
1. Faux : A et B sont deux évènements indépendants avecP(B)6?0 et P(B)6?1, alors
P(A\B)?P (A)?P(B)6?P (A).B B
2. Faux:X estunevariablealéatoiresuivantlaloiuniformesur[0;1],donc:
P(X2[0,1; 0,6])?0,6?0,1?0,5.
1
3. Vrai:X estunevariablealéatoiresuivantlaloibinomialedeparamètres100et .
3? !? ? ? ? ? ?0 100 100100 1 1 2
P(X>1)?1?P(X ?0)?1? 1? ?1? .
0 3 3 3
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
? ??! ?! ?!
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı , | , k .
OnconsidèrelespointsA(1;?1; 4),B(7;?1;?2)etC(1; 5;?2).
??! ??! ??!
1. a. OntrouveAB(6; 0;?6), AC(0; 6;?6)etBC(?6; 6; 0).
p pp p
2 2 2 2 2 2b. AB? 6 ?0 ?(?6) ?6 2;AC? 0 ?6 ?(?6) ?6 2etp p
2 2 2BC? (?6) ?6 ?0 ?6 2.p
AB=AC=BC=6 2doncletriangleABCestéquilatéral.
?!?! ?!?!
c. n .AB?1?6?1?0?1??6?0donc n ?AB.
?!?! ?!?!
n .AC?1?0?1?6?1??6?0donc n ?AC.
?! ?!?!n estunvecteurorthogonalàdeuxvecteurs AB etACnoncolinéairesduplan
?!(ABC),donc n estorthogonalauplan(ABC).
?!
d. Leplan(ABC)apourvecteurnormal n etpasseparA:ilapouréquationcar-
tésienne: ? ?
1.(x?x )?1. y?y ?1.(z?z )?0 soit x?1?x?1?z?4?0 qui donne :A A A
x?y?z?4?0BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. SoitD ladroitedereprésentationparamétrique
8
x ? ?2t<
y ? ?2t?2 où t2R.
:
z ? ?2t?3
?! ?!
a. LadroiteD apourvecteurdirecteur u(?2;?2;?2)??2n.
?! ?!
u et n sontcolinéaires,doncD estperpendiculaireauplan(ABC)
b. SoitG,intersection deladroiteD etduplan(ABC).LescordonnéesdeGvéri-
fientl’équationparamétriquedeD etl’équationduplanABC.
Parconséquent:
3
(?2t)?(?2t?2)?(?2t?3)?4?0quidonne?6t?9?0etdonc:t?? .
2
3
Enremplaçantt par? ,ontrouvequelescoordonnéesdeGsont:G(3; 1; 0).
2
? ?1 9 1 3
c. (x ?x ?x )? ?3?x ; y ?y ?y ? ?1?y etA B C G A B C G
3 3 3 3
1 0
(z ?z ?z )? ?0?z .A B C G
3 3
Les coordonnées de l’isobarycentre de A, B et C sont celles de G donc G est
l’isobarycentredeA,BetC.
3. SoitS lasphèredecentreGpassantparA.
a. UneéquationcartésiennedelasphèreS est:? ?22 2 2 2
(x?x ) ? y?y ?(z?z ) ?R ?GA (puisqueS passe par A), c’est-à-G G G
dire:
2 2 2 2 2 2 2 2(x?3) ?(y?1) ?z ?GA avecGA ?(1?3) ?(?1?1) ?(4?0) ?24.
2 2 2UneéquationcartésiennedeS estdonc:(x?3) ?(y?1) ?z ?24
b. Les coordonnées des points d’intersection de la droiteD et de la sphèreS
vérifientchacunedesdeuxéquations,doncsontsolutionsdusystème:
8
x??2t>< y??2t?2
> z??2t?3: 2 2 2(x?3) ?(y?1) ?z ?24
2 2 2 2Onendéduit:(?2t?3) ?(?2t?2?1) ?(?2t?3) ?24,donc3(?2t?3) ?24p
2 2 2d’où(?2t?3) ?8quis’écrit(2t?3) ?(2 2) ?0.p p
?3?2 2 ?3?2 2
Aprèsfactorisation,ontrouve:t ? ett ? .1 2
2 2
Onendéduitlescoordonnéesdesdeuxpoints:p ? ?p p p?3?2 2
Pourt ? :E 3?2 2; 1?2 2; 2 2 .1
2 p ? ?p p p?3?2 2
Pourt ? :F 3?2 2; 1?2 2;?2 2 .2
2
Antilles-Guyane 2 septembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
? ??! ?! ?!
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormé O, ı , | , k .
2 2OnconsidèrelasurfaceS d’équationz?x ?y ,etlasurfaceS d’équationz?xy?2x.1 2
PARTIEA
1. a. E est l’intersection deP et de S . les coordonnés d’un point quelconque de1 1
E vérifientdonclesystème:1? ?2 2z?x ?y x?2
quiéquivautà .2x?2 z?y ?4
2
DansleplanP,z?y ?4estl’équationd’uneparabole.
b. E est l’intersection deP et de S . les coordonnés d’un point quelconque de2 2
E vérifientdonclesystème:2? ?
z?xy?2x x?2
quiéquivautà .
x?2 z?2y?4
E estdoncunedroitedansleplanP2
2. a. voirfigureàlafindel’exercice
b. Lescoordonnéesdespointsd’intersection BetCdesensembles E etE véri-1 2
fientlesystème:
8 8 8 8
x?2x?2 x?2 x?2< < < <
2 2 2 2z?x ?y , z?y ?4 , z?2y?4 , z?y ?4 ou
: : : :2z?2y?4 y ?4?2y?4 y(y?2)?0 y?0
8
x?2<
2z?y ?4 .
:
y?2
Onobtientdeuxpoints:B(2;0;4)etC(2;2;8)
PARTIEB
2 2 2 21. a. M2S \S ,x ?y ?xy?2x c’est-à-dire y ?xy?2x?x1 2
d’où?y(y?x)?x(2?x).
b. x estpremier;ildivisex(2?x)doncdivise y(y?x).
Soitildivise y,soitildivise y?x.Maiss’ildivise y?x,ildivise(y?x)?x donc
y.
Onendéduitquex divise y.
2. Onpose y?kx aveck2Z.
2a. y(y?x)?x(2?x)s’écritalorskx(kx?x)?x(2?x),donckx (k?1)?x(2?x).
x estpremierdoncnonnul;onpeutsimplifierparx.
Onobtientalors:kx(k?1)?2?x.
x est premier, divise kx(k?1), donc divise 2?x. Comme il divise aussi x, il
diviselasomme(2?x)?x?2.x divisedonc2.
x estundiviseurde2etestpremier,doncx?2.
b. Avecx?2,l’égalitékx(k?1)?x(2?x)donnek(k?1)?0. Onendéduitk?0
ouk?1.
3. Pour k?0, on obtient comme coordonnées (2 ; 0 ; 4) qui sont les coordonnées du
pointB.
Pour k?1, on obtient comme coordonnées (2 ; 2 ; 8) qui sont les coordonnées du
pointC.
Ainsiretrouve-t-onlesrésultatsdelapremièrepartie,question2.b.
Antilles-Guyane 3 septembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
z
10
5
?!
k
?! yA
?5 | 5
?5
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
? ??! ?!
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v d’unité gra-
phique1cm.
1. Lefigurecomplèteestàlafindel’exercice.
z ?z ?8?8i ?1?i i(1?i)A B
2. ? ? ? ?i.
z ?z 8?8i 1?i 1?iC B ? ?
? ?BA z ?zA B? ?Onendéduit: ? ?jij?1doncBA=BC.? ?BC z ?zC B? ?? ??! ?! z ?z ?A B
BC; BA ?arg ?arg(i)? .
z ?z 2C B
OnendéduitqueletriangleABCestrectangleisocèleenB.
Antilles-Guyane 4 septembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
? ?0 i
43. L’écrire complexe de la rotation de centre B et d’angle est : z ?z ?e (z?z ),B B
4
? ?0 i i4 4c’est-à-dire:z ?e (z?z ))?z ?e (z?3?4i)?3?4i.B B
Eestl’imagedeCparcetterotation,donc:? !p p p
? 2 2 2i 2
4z ?e 5?4i?3?4i ?3?4i? ? i 8?8i ?3?4i? ?8(1?i) ?3?4i( ) ( )E
2 2 2
? ?p p
?4 2?2i?3?4i??3? 8 2?4 i.
4. L’écriturecomplexedel’homothétieH est:p p
2 20 0z ?z ? (z?z )doncz ? (z?z )?z .B B B B
2 2p p? ?p p p2 2
Onendéduit:z ? ?3?(8 2?4)i?3?4i ?3?4i? 2? ?(8 2i)?3?4iD
2 2
?8i?3?4i??3?4idoncz ??3?4i.D
1
z ? (z ?z )doncDestlemilieude[AC];or,ABCestuntrianglerectangleenB.D A C
2
Par conséquent, D est le milieu de l’hypoténuse du trianglerectangle ABC, donc le
centredesoncerclecirconscrit.
5. Lesdroites(EC)et(DF)sontparallèles.D’aprèslethéorèmedeThalèsappliquéauc
BE BD
trianglesBDFetBEC, ? doncFestl’imagedeCparl’homothétieH.
BC BFp p
2 2?! ?! ?! ?!
Onaalors:BD? BEetBF? BC.
2 2
Pardéfinition,Jestlemilieude[DF].
Onendéduit: ? !p p p p ? ?? ? ? ? ? ??! 1 ?! ?! 1 2?! 2?! 1 2 ?! ?! 2 1 ?! ?!
BJ? BD?BF ? BE? BC ? ? BE?BC ? BE?BC ?
2 2 2 2 2 2 2 2
p
2?!
BI.
2 p
?! 2?!
On a donc : BJ? BI : J est l’image de I par l’homothétieH donc B, I et J sont
2
alignés.
E
7
6 I
D
5
A D C
4
J3
2 F
1
?12 ?11 ?10 ?9 ?8 ?7 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3 4 5
?1
?2
?3
B
?4
?5
Antilles-Guyane 5 septembre2009
bbbbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniepourtoutnombreréelx del’intervalle]0 ;1]par:
f(x)?1?xlnx.
1. a. D’aprèslesformulesdecroissancescomparées, limxlnx?0donc
x!0
lim f(x)?1.
x!0
b. Pourtoutx2]0; 1],lnx60doncxlnx60et f(x)?1?xlnx61.
2. a. f estdérivablecommesommeetproduitdefonctionsdérivablessur]0; 1].
10 0Pourtoutx2]0; 1], f (x)?0?1?lnx?x? ?1?lnx; f (x)?1?lnx.
x
0 0b. L’équationréduitedelatangenteàC en1est:y?f (1)(x?1)?f(1); f (1)?1
et f(1)?1.
Cetteéquationestdonc: y?(x?1)?1soit:y?x.
CettetangenteestdoncT.
3. Onnoteg lafonctiondéfiniepourtoutnombreréelx2]0; 1]par
g(x)?1?xlnx?x.
a. g estdérivablesur]0; 1]commesommedefonctionsdérivables.
0 0Pourtoutx2]0; 1],g(x)?f(x)?x doncg (x)?f (x)?1?lnx.
0b. Pourtoutx2]0; 1],lnx60doncg (x)60.Onendéduitqueg estdécroissante
sur]0; 1].Org(1)?0.
Parconséquent,g(x)>0sur]0; 1].
OnendéduitqueC estau-dessusdeT sur]0; 1].
4. Soit?unnom