Corrigé du baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 2004

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 2004 \ EXERCICE 1 5 points 1. a. On a |z1|2 = 3+1= 4= 22 ?|z1| = 2. On peut en factorisant écrire z1 = 2 (p 3 2 + 12 i ) = 2 ( cos pi6 + isin pi 6 ) . Un argument de z1 est donc : pi 6 b. z2 = z21 2 = 3?1+2i p 3 2 = 2+2i p 3 2 = 1+ i p 3. z3 = 4 z2 = 4 1+ i p 3 = 4 ( 1? i p 3 ) ( 1+ i p 3 )( 1? i p 3 ) = 4 ( 1? i p 3 ) 1+3 = 1? i p 3. 2. a. On a vu que zA = 2 ; d'autre part |zB|2 = |zD|2 = 1+ 3 = 4 = 2 ? |zB| = |zD| = 2. Enfin |zC|2 = 3+1= 4= 22 ?|zC| = 2. On a donc OA = OB = OC = OD = 2 ce qui montre que les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.

• affixe du vecteur ???bc


• asymptotes verticales


• opposé du signe du trinôme étudié


• positif sauf entre les racines


• affixe de ???ab


• baccalauréat sti

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 290
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIGéniecivilMétropole
juin2004\
EXERCICE1 5points
2 21. a. Onajz j ?3?1?4?2 )jz j?2.1 1 Ã !p
¡ ¢3 1 π πOnpeutenfactorisantécrirez ?2 ? i ?2 cos ?isin .1 2 6 62
π
Unargumentdez estdonc:1
6
p p2z p3?1?2i 3 2?2i 31b. z ? ? ? ?1?i 3.2
2 2 2¡ p ¢ ¡ p ¢
4 1?i 3 4 1?i 3 p4 4
z ? ? p ? ¡ p ¢¡ p ¢? ?1?i 3.3
z 1?32 1?i 3 1?i 3 1?i 3
2 22. a. On a vu que z ? 2; d’autre partjz j ?jz j ? 1?3? 4? 2)jz j?A B D B
jz j?2.D
2 2Enfinjz j ?3?1?4?2 )jz j?2.C C
OnadoncOA=OB=OC=OD?2cequimontrequelespointsA,B,Cet
DsontsurlecercledecentreOetderayon2.Voirlafigureàlafin.
j j j jb. Calculer z ?z et z ?z .C B D A
p ¡p ¢ p ¡p ¢?!
c. L’affixedeAB estz ?z ?1?i 3? 3?i ?1? 3?i 3?1 .B A
p ¡ p ¢ p ¡ p ¢??!
Demêmel’affixedeCD estz ?z ?1?i 3? ? 3?i ?1? 3?i ?1? 3 .D C
¡p ¢ ¡p ¢£ p ¡p ¢¤ p??!
Calculons:? 3?2 AB ?? 3?2 1? 3?i 3?1 ?? 3?3?2?p ¡ p p ¢ p ¡ p ¢
2 3?i ?3? 3?2?2 3 ?1? 3?i ?1? 3 ?z ?z .D C
L’égalitéestainsidémontrée.
Autreméthode:Onpeutaussiécrire:
¡ p ¢
z ?z ? 1? 3 (1?i)etB A
¡ p ¢
z ?z ? 1? 3 (1?i).D C
p
¡p ¢??! 1? 3??! ??!
OnadoncCD ? p AB ?? 3?2 AB.
1? 3
¡p ¢
d. LaquestionprécédentemontreenprenantlemodulequeAD? 3?2 AB.
La première égalité est donc fausse, de même que la seconde puisque
p
3?26?3.
p ¡ p ¢?!
L’affixeduvecteurAD estz ?z ?1? 3?i ?1? 3 .DoncD A
p p p p p¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢2 2 22AD ? 1? 3 ? ?1? 3 ?1?3?2 3?1?3?2 3?8? 2 2 .
p ¡ p ¢?!
L’affixeduvecteurBC estz ?z ??1? 3?i 1? 3 .DoncC B
¡ p ¢ ¡ p ¢ p p ¡ p ¢2 2 22BC ? ?1? 3 ? 1? 3 ?1?3?2 3?1?3?2 3?8? 2 2 .
p
OnadoncAD=BC=2 2.
?! ?!
OronavuquelesvecteursAB etCD sontcolinéairescequisignifieque
lesdroites(AB)et(CD)sontparallèles.
Conclusion : le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. La dernière
propositionestvraie.BaccalauréatSTIGéniecivil A.P.M.E.P.
2
B
C A
1
O
?2 ?1 1 2
?1
D
?2
EXERCICE2 4points
PartieA
1. Ilya200membressur600participants,donclaprobabilitéestégaleà
200 1
? .
600 3
2. Payentplusde7(:
-lesjeunesentre11et16ansnon-membre:ilyena100;
-lesplusde16ansmembres(payant8()etnon-membres(payant10():ily
ena300.
Entout400personnessur600paientplusde7(soituneprobabilitéde
400 2
? .
600 3
3. Seuls les membres entre 11 et 16 ans paient 6,40(; il yen a40 sur 600, donc
40 4 1
p(X?6,40)? ? ? .
600 60 15
4. Pour les non-membres le prix est respectivement 5, 8 ou 10 ( et pour les
membresrespectivement 4,6,40et8(.DoncX2{4; 5; 6,40; 8; 10}.
D’oùletableaudelaloideprobabilitédeX suivant:
X 4 5 6,40 8 10
50 110 40 210 190
p(X?x )i
600 600 600 600 600
50 110 40 210 190
5. Onae(X)?4? ?5? ?6,4? ?8? ?10? ?
600 600 600 600 600
200?550?256?1680?1900 4586
? ?7,64(à1centimeprès.
600 600
Métropole 2 juin2004
bbbbBaccalauréatSTIGéniecivil A.P.M.E.P.
PartieB
Larecetteadéjàétécalculée:
4?50?5?110?6,4?40?8?210?10?190?200?550?256?1680?1900?4586(.
PROBLÈME 11points
Préliminaires:
1. Ona?1?x)?2?2x)?2?2?2x?2,soit2x?2?0.
Demême?1?x () ?1?2?x?2 () 1?x?2oux?2?1?0.
2. Cherchonslesracinesdecetrinôme:Δ?9?4?5?0;ilyadoncdeuxracinesp p
?3? 5 ?3? 5
réelles: et .
2 2
Letrinômeestdoncpositifsaufentrelesracinesdoncdansl’intervalle
# "p p p p
?3? 5 ?3? 5 ?3? 5 ?3? 5
; . Or ??2,6 et ??0,4. Seul ce dernier
2 2 2 2
nombre est supérieur à?1, donc le trinôme ne s’annule sur ]?1 ; ?1[ quep
?3? 5
pourα? .
2
PartieA:Limitesetasymptotes
1. Ona lim ln(x?2)?0,car lim (x?2)?1.
x!?1 x!?1
Comme lim 2x?2?0, lim ln(2x?2)??1,doncparsommedelimites:
x!?1 x!?1
lim f(x)??1.
x!?1
Géométriquement cecisignifiequeladroited’équation x??1estasymptote
verticaleà(C)auvoisinagede?1.
2. a. Ona f(x)??x?ln(2x?2)?ln(x?2)??x?ln2(x?1)?ln(x?2)?
µ ¶
x?1
?x?ln2?ln(x?1)?ln(x?2)??x?ln2?ln .(onautilisélesfor-
x?2
a
muleslna?b?lna?lnb etlna?lnb?ln aveca?0etb?0.)
b
µ ¶
x?1 x?1
b. Pna lim ?1,donc lim ?0.
x!?1 x!?1x?2 x?2
Comme lim ?x??1,onaparsommedelimites:
x!?1
lim f(x)??1.
x!?1
c. Soitd lafonctiondéfiniesur]?1;?1[par:
µ ¶
x?1
d(x)? f(x)?(?x?ln2)?ln .
x?2
µ ¶
x?1
Onavuque lim ln ?0,donc lim d(x)?0.
x!?1 x!?1x?2
Ceci signifie que la droiteD d’équation y ??x?ln(2) est asymptote
obliqueà(C)en?1.
x?1
d. Pourx??1on0?x?1?x?2d’où0? ?1etparcroissancedela
x?2µ ¶
x?1
fonctionln,onaln ?ln1?0.
x?2
La fonction d est donc négative sur ]?1 ; ?1[ ce qui signifie que la
courbe(C)estendessousdeladroiteD.
PartieB:étudedesvariations
Métropole 3 juin2004BaccalauréatSTIGéniecivil A.P.M.E.P.
1. Onaendérivantchaqueterme:
2 1 1 1 ?(x?1)(x?2)?x?2?(x?1)0f (x)??1? ? ??1? ? ? ?
2x?2 x?2 x?1 x?2 (x?1)(x?2)
2 2 2?x ?2x?x?2?x?2?x?1 ?x ?3x?1 x ?3x?1
? ?? .
(x?1)(x?2) (x?1)(x?2) (x?1)(x?2)
2. Onsaitquesur]?1;?1[,(x?1)(x?2)?0,donclesignedeladérivéeestcelui
2de?(x ?3x?1) c’est-à-dire l’opposé du signe du trinôme étudié ci-dessus.
Donc:# #p
5?3 0? sur ?1; , f (x)>0,donc f estcroissante;
2
" "p
5?3 0? sur ;?1 , f (x)60,donc f estdécroissante.
2
à !p p
5?3 5?3
3. Ilyaunmaximumen quivaut f ?0,1.
2 2
D’oùletableaudevariations:
p
5?3
x ?1 ?12
0 ?f (x) ? 0
?0,1
f(x)
?1 ?1
PartieC:Représentationgraphique
01. Sur [?0,8 ; ?0,4] la fonction f est dérivable et sur cet intervalle f (x)>0; or
f(?0,8)??0,3et f(?0,4)?0,1.
Comme02[?0,3; 0,1],ilexisteunevaleuruniqueβtelleque f(β)?0.
Lacalculatricedonne?0,65?β??0,64.
2. UneéquationdeladroiteTestdelaforme:
10 0y? f (0)(x?0)?f (0),soitavec f (0)?? et f(0)?0:
2
1
M(x ; )2T () y?? x.
2
3.
p
5?3
x ?0,8 0 0,5 1 2
2
f(x) ?0,3 0,1 0 ?0,3 ?0,7 ?1,6
4.
Métropole 4 juin2004BaccalauréatSTIGéniecivil A.P.M.E.P.
y
D
2
1
T
xO
?3 ?2 ?1 1 2 3 4
?1
?2
?3
?4
(C)
?5
Métropole 5 juin2004