Corrigé du baccalauréat STI juin 2006
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI juin 2006 \ Métropole Génie mécanique, civil EXERCICE 1 5 points 1. z = zA zB = p 2+ i p 6 2?2i = (p 2+ i p 6 ) (2+2i) (2?2i)(2+2i) = 2 p 2?2 p 6+2i p 2+2i p 6 4+4 = p 2? p 6 4 + i p 2+ p 6 4 . 2. a. On a |zA|2 = 2+6= 8= ( 2 p 2 )2 ?|zA| = 2 p 2. On peut écrire : zA = 2 p 2 ( 1 2 + i p 3 2 ) = 2 p 2 ( cos pi3 + i pi 3 ) . Un argument de zA est donc pi 3 . Demême |zB|2 = 4+4= 8= ( 2 p 2 )2 ?|zB| = 2 p 2. On peut écrire : zB = 2 p 2 (p 2 2 ? i p 2 2 ) = 2 p 2 ( cos ?pi4 + icos ?pi 4 ) .

  • génie mécanique

  • ?4sin x2

  • x?

  • aire de la surface hachurée

  • écriture trigonométrique de z

  • solution de l'équation différentielle

  • baccalauréat sti


Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 juin 2006
Nombre de lectures 20
Langue Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIjuin2006\
MétropoleGéniemécanique,civil
EXERCICE 1 5points
p p ¡p p ¢ p p p p
z 2?i 6 2?i 6 (2?2i) 2 2?2 6?2i 2?2i 6A
1. z? ? ? ? ?
z 2?2i (2?2i)(2?2i) 4?4Bp p p p
2? 6 2? 6
?i .
4 4
¡ p ¢ p22j j j j2. a. Ona z ?2?6?8? 2 2 ) z ?2 2.A A
à !p
p p ¡ ¢1 3 π πOnpeutécrire:z ?2 2 ?i ?2 2 cos ?i .A 3 32 2
π
Unargumentdez estdonc .A
3
¡ p ¢ p22Demêmejz j ?4?4?8? 2 2 )jz j?2 2.B B
à !p p
p p ¡ ¢2 2 ?π ?πOnpeutécrire:z ?2 2 ?i ?2 2 cos ?icos .B 4 42 2
π
Unargumentdez estdonc? .B
4
p¯ ¯
¯ ¯z jz j 2 2A A¯ ¯b. Delaquestionprécédenteondéduitque,jzj? ? ? ?1.p¯ ¯z jz jB A 2 2
π ?π 4π 3π 7π
Deplusarg(z)?arg(z ?arg(z ? ? ? ? ? .A B
3 4 12 12 12

12c. La question précédente donne l’écrituretrigonométrique dez?1e ?
7π 7πcos ?isin .12 12
3. n identifiant la dernière écriture avec celle du 1., on obtient, pour la partie
réelle: p p
7π 2? 6
cos ? ;
12 4
etpourlapartieimaginaire:
p p
7π 2? 6
sin ? .
12 4
4. a. Voiràlafindel’exercice.
p p
b. Onajz j?2 2?jz j?2 2?OA=OB,doncletriangleAOBestisocèleA B
enO.
?CommeAOB?105°,letrianglen’estpasrectangle.BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
A
2
1
O
?3 ?2 ?1 1 2
?1
?2
B
?3
EXERCICE 2 4points
π1. a. Calculons f(π)?2?sin ?2?1?1.
2
C contientS(π; 1).
b. Lafonction f estdérivablesur[0; 2π]etsurcetintervalle:
1 x0f (x)?? cos .
2 2
1 π 1
Enparticulier f (π)?? cos ?? ?0?0.
2 2 2
LatangenteàlacourbeC aupointSestparallèleàl’axedesabscisses.
1 x0c. Sur[0; 2π], f (x)?? cos donc
2 2µ ¶
1 1 x x00f (x)?? ? ? sin ?14sin .
2 22 2
00 x xDonc4f (x)?f (x)?2?sin ?2?sin ?2?0,2 2
00cequisignifieque f estsolutiondel’équationdifférentielle:4y ?y?2?0.
£ ¤2x x x2 22. a. g(x)?[f(x)] ? 2?sin ?4?sin ?4sin (1).
2 2 2
2 x 2 x 2 x 2 x 2 xOrcosx?cos ?sin ?1?sin ?sin ?1?2sin ()2 2 2 2 2
1?cosx 1 cosx2 xsin ? ? ? .
2 2 2 2
Enremplaçantdans(1):
1 cosx 9 cosxx xcosx?4? ? ?4sin ? ?4sin ? .
2 22 2 2 2
Métropole 2 juin2006
bbBaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
b. Onendéduitque:
Z Z · ¸ · ¸2π2π 2π 9 x cosx 9x x sinx
V=π g(x)dx?π ?4sin ? dx?π ?8cos ?2 ?
2 2 2 2 2 20 0 0µ ¶ · ¸
9?2π 2π sin2π 9?0 0 sin0
π ?8cos ?2 ?π ?8cos ?2 ?
2 2 2 2 2 2
π(9π?8?8)?π(9π?16)unitésdevolume.
3Comme1u.a.?2?2?2?8cm ,onafinalement:
3V?8π(9π?16)?308,488 cm .
PROBLÈME 11points
PartieA
2x 2 1
1. En écrivant pour x??1,et x6? 0, ? , comme lim ? 0, on en
1 x!?11?x x?1
x
2x
déduitque lim ?2.
x!?11?x
Comme lim ln(1?x)??1,onafinalement: lim f(x)??1.
x!?1 x!?1
2. a. PosonsX?1?x.Ona:
lim X lnX?0 () lim (1?x)ln(1?x)?0,donc
x!?1X!0
lim 2x?(1?x)ln(1?x)??2.
x!?1
1
Enfin lim ??1etparproduitdelimites lim f(x)??1.
x!?1 x!?11?x
b. LerésultatprécédentmontrequeladroiteD d’équationx??1estasymp-
toteverticaleàC auvoisinagede?1.
3. Endérivanttermeàterme:
2(1?x)?1?2x 1 2 1 2?(1?x) 1?x0f (x)? ? ? ? ? ? .
2 2 2 2(1?x) 1?x (1?x) 1?x (1?x) (1?x)
2 04. a. Commesur]?1;?1[,(1?x) ?0lesignede f (x)estceluidunuméra-
teur1?x.
0? 1?x?0 () 1?x () x?1;donc f (x)?0sur]?1; 1[;
0? 1?x?0 () 1?x () x?1;donc f (x)?0sur]1;?1[;
0? 1?x?0 () x?1,donc f (1)?0.
2
b. Ona f(1)? ?ln(1?1)?1?ln2.
1?1
c. Lafonctionestdonccroissantesur]?1; 1[etdécroissantesur]1;?1[.
D’oùletableaudevariations:
x ?1 1 ?1
1?ln2
f(x)
?1 ?1
PartieB
01. OnaM(x ; y)2T () y?f(0)? f (0)(x?0).
0Avec f(0)?0et f (0)?1,onobtient:
OnaM(x ; y)2T () y?x.
Métropole 3 juin2006BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
10
2. a. Onsaitque f(1)?1?ln2?0,31?0et f(5)? ?ln6??0,13?0.
6
Surl’intervalle[1;5]lafonction f estdécroissantede f(1)?0à f(5)?0.
Ilexistedoncunevaleuruniquedex telleque f(x)?0surcetintervalle.

Soit α cette solution. On a donc f(α)? 0 () ?ln(1?α) ()
1?α

?ln(1?α).
1?α
b. La calculatrice donne3,9?α?4, puis 3,92?α?3,93, la valeur la plus
procheétant3,92.
3. Onavuquesurl’intervalle[0;1]lafonctionestcroissantede0à1?ln2?0,31
etsurl’intervalle[1;α]elledécroitde1?ln2à0.Conclusion:sur[O ;α]f(x)>
0.
4. Figureàlafin.
PartieC
?3?x ?3?x?3?3x01. OnaF (x)??1ln(1?x)? ?3? ?ln(1?x)?
1?x 1?x
2x
?ln(1?x)? f(x).
1?x
CerésultatsignifiequeF estuneprimitivede f sur]?1;?1[.
2. a. Voirlafigure.
b. Onavuquesur[0;α],lafonction f estpositive,doncl’airedelasurface
hachuréeestégaleàl’intégraledelafonction f entre0etα:

αA(α)? f(x)dx?[F(x)] ?F(α)?F(0)?(?3?α)ln(1?α)?3α?[(?3?0
0
0)ln(1?0)?3?0]?3α?(3?α)ln(1?α).

Oronavuqueln(1?α)? ,donc:
1?α
2 22α 3α(1?α)?2α(3?α) 3α?3α ?6α?2α
A(α)?3α?(3?α)? ? ? ?
1?α 1?α 1?α
2α ?3α
u.a.
1?α
2Oruneunitéd’aireestégaleà1u.a.?2?1?2cm .
µ ¶2α ?3α
DoncA(α)?2
1?α
Métropole 4 juin2006BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil A.P.M.E.P.
y
3
T
2
1
C
O x
?2 ?1 1 2 3 4 5 6 7 8
?1
?2
?3
Métropole 5 juin2006

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