Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STI Métropole \ septembre 2008 Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points Partie A 1. a. P (3)= 33?32?2?3?12 = 27?9?6?12 = 0. On peut donc en déduire que P est factorisable par z?3. b. (z?3) ( az2+bz+c ) =P (z)= z3? z2?2z?12 ?? az3+bz2+cz?3z2? 3bz ?3c = z3? z2?2z ?12 ?? az3+ (b?3)z2++(c?3b)z?3c = z3? z2 ? 2z ? 12 ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 1 b?3 = ?1 c?3b = ?2 ?3c = ?12 ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 1 b?3 = ?1 c?3b = ?2 ?3c = ?12 ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 1 b = 2 c?3b = ?2 c = 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 1 b = 2 4?6 = ?2 c = 4 Donc P (z)= (z?3) ( z2+2z+4 ) . 2. a. z2+2z+4= 0 ?? (z+1)2?1+4= 0 ?? (z+1)2+3= 0 ?? (z+1)2? ( i p 3 )2 = 0 ??

• droite ∆ d'équation


• qualité


• supérieure ordinaire


• ?12


• ?? ?


• baccalauréat sti


• durée de vie moyenne


• ??


• feuille de papier millimétré

Sujets

• Qualité
• Durée de vie moyenne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2008
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTIMétropole\
septembre2008
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE 1 5points
PartieA
3 21. a. P(3)=3 −3 −2×3−12=27−9−6−12=0.
OnpeutdoncendéduirequeP estfactorisablepar z−3.
? ?
2 3 2 3 2 2b. (z−3) az +bz+c =P(z)=z −z −2z−12 ⇐⇒ az +bz +cz−3z −
3 2 3 2 33bz−3c= z −z −2z−12 ⇐⇒ az +(b−3)z ++(c−3b)z−3c= z − 
a = 1 a = 1   b−3 = −1 b−3 = −12z −2z−12 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
 c−3b = −2  c−3b = −2 
−3c = −12 −3c = −12
 
a = 1 a = 1  b = 2 b = 2
⇐⇒
 c−3b = −2  4−6 = −2 
c = 4 c = 4
? ?
2DoncP(z)=(z−3) z +2z+4 .
2 2 22. a. z +2z+4=0 ⇐⇒ (z+1) −1+4=0 ⇐⇒ (z+1) +3=0 ⇐⇒
?p ? ? p ?? p ?22(z+1) − i 3 =0 ⇐⇒ z+1+i 3 z+1−i 3 =0.
p p
L’équationadoncdeuxsolutionscomplexes:−1−i 3et−1+i 3.
p p
b. OnadoncP(z)=0 ⇐⇒ z=3 ou z=−1−i 3 ou z=−1+i 3.
PartieB
2| | | |1. a. z =1+3=4⇒ z =2.A A ? !p
? ?1 3 2π 2πOnpeutalorsécrirez =2 − +i =2 cos +isin .A 3 32 2
2π
Unargumentde z estdonc .A
3
2πi
3Finalement z =2e .A
p p
b. Onremarqueque z =z =−1+i 3=−1−i 3.B A
2. Voirplusbas
p p 3 −→ −→
a. Onaz−→=−3i 3etz−→=−2i 3,d’oùz−→= z−→ ⇐⇒ DC etAB sont
DC AB DC AB2
colinéaires,donclesdroites(DC)et(AB)sontparallèles.
b. ABCDadeuxcôtésopposésparallèles:c’estuntrapèze.A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique
A
1
→−
v
D
→−
−2 −1 1 2 3u
−1
B
−2
−3
−4
−5
C
−6
EXERCICE 2 4points
Qualité Qualité Qualité Total
supérieure ordinaire «premier
prix»
ProducteurLavigne 100 200 500 800
ProducteurOlivier 400 500 300 1200
Total 500 700 800 2000
Tableau2:répartitiondespiècesenfonctiondeleurorigineetdeleurqualité.
1. a. Voirplushaut.
b. Ilya 500 pièces «premier prix» dechez Lavigne et 500 pièces ordinaire
dechez Olivier soit en tout 1000 pièces ayantune durée de vie de deux
ans.
1000 1
2. a. D’aprèslaquestionprécédentelaprobabilitéest = =0,5.
2000 2
Métropole 2 septembre2008
bbbbA.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique
b. Ily a 500 pièces de duréede vie deux ans sur les 800 pièces dechez La-
800 5
vigne.Laprobabilitécherchéeestdoncde = =0,625.
800 8
3. a. Ilya200+400=600dontladuréedevieestdetroisans.La probabilité
600 3
cherchéeestdoncégaleà = =0,3.
2000 10
100 1
b. Onademême p(X=5)= = =0,05et
2000 20
p(X=1)=1−(0,625+0,3+0,05)=1−0,975=0,025.D’oùletableau:
X=x 5 3 2 1i
p(X=x ) 0,05 0,3 0,625 0,025i
c. E(X)=5×0,05+3×0,3+2×0,625+1×0,025=0,25+0,9+1,25+0,025=
2,425.
Cetteespérancereprésenteladuréedeviemoyenned’unepièce.
PROBLÈME 4points
PartieAÉtudedelafonction f
x1. a. Onsaitque lim e =0,donc lim f(x)=−1.
x→−∞ x→−∞
Cecimontrequeladroited’équation y=−1estasymptotehorizontaleà
C auvoisinagedemoinsl’infini.f
xb. Comme lim e =+∞, lim f(x)=+∞.
x→+∞ x→+∞
′u (x)
x ′ ′ x2. Enposantu(x)=1+e , f(x)=lnu(x)−1,donc f (x)= ,avecu (x)=e .
u(x)
xe′f (x)= .
x1+e
x xa. On sait que e >0 quel que soit le réel x, donc 1+e >1>0 et finale-
′mentlequotient f (x)estluiaussisupérieuràzéro:lafonctionestdonc
croissantesurR.D’oùletableaudevariations(avec f(0)=ln(2)−1:
x −∞ 0 +∞
′f (x) +
+∞
f(x) ln(2)−1
−1
1 1′b. Ona f (0)= = .
1+1 2
1 1
D’où M(x ; y)∈T ⇐⇒ y−(ln(2)−1)= (x−0) ⇐⇒ y= x+ln(2)−1.
2 2
x x3. a. PourtoutxdeR,ona: f(x)−(x−1)=ln(1+e )−1−x+1=ln(1+e )−x=
x xln(1+e )−ln(e ).
x1+ex xD’après la question précédente : f(x)=ln(1+e )−ln(e )=ln =xe? ?x1 e −xln + =ln(e +1).
x xe e
b. D’aprèslaquestionprécédente:
? ?−x
lim f(x)−(x−1)= lim ln e +1 .
x→+∞ x→+∞ ? ?−x −x −xOr lim e =0,donc lim e +1=1, lim ln e +1 =0.
x→+∞ x→+∞ x→+∞
Ceci montre que la droite d’équation y = x−1 est asymptote àC auf
voisinagedeplusl’infini.
Métropole 3 septembre2008A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique
c. D’après la question précédente la différence f(x)−(x−1) est égale à
−xln(e +1).
−x −x −xCommee >0, e +1>1,doncln(e +1)>ln1=0.
Ceci montre que, quel que soit x∈R, la courbeC est au dessus de laf
droiteΔd’équation y=x−1.
4. En prenant comme unité graphique 2 cm sur chaque axe, construiresur une
feuilledepapiermillimétréladroiteT,ladroiteΔ,ladroited’équation: x=1,
etlacourbeC .f
PartieBEncadrementd’uneaire
1.
2. Voirlafigure
3. Onvoitquesur[1 ;2]ladroiteDestaudessusdelacourbeC .f
? ?Z 222 x 1 1
4. a. I= (x−1)dx= −x =2−2− +1= (évidentsurlafigure).
2 2 21 1
Z2 ? ?22
J= (0,8x−0,2)dx= 0,4x −0,2x =1,6−0,4−0,4+0,2=1.1
1
b. Onendéduitd’aprèsl’hypothèsefaiteque
1
I6A6 J ⇐⇒ 6A61.
2
3
2
2
D1
1
→−

0
→−O
−3 −2 −1 ı 1 2
Cf T
-1
−1
-2
−2
Δ
-3
−3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Métropole 4 septembre2008