corrigé STI2D Bac Maths première partie

Description

Corrig´ du bac STMG 2018 Math´matiques 19 juin 2018, 14h-18h Exercice 1 (4 points) 1. b. 2. c. 3. a. 4. d.

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• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 19 juin 2018
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Extrait

Corrig´ du bac STI2D 2018
Math´matiques

19 juin 2018, 14h-18h

Exercice 1 (4 points)

1. b.
2. c.
3. a.
4. d.

Exercice 2 (6 points)

Partie A
1. Aubout d’une semaine il reste dans l’aquarium 280×0,98 = 274,4 litres
d’eau.
2. Non,ce n’est pas vrai. Une diminution de 2% d’une quantit´ correspondant
` une multiplication par (100−2)/100 = 0,98. Au bout de deux semaines,
la quantit´ d’eau sera multipl´e deux fois par 0,98, or 0,98×0,986= 0,96,
0,96 ´tant la quantit´ par laquelle il faudrait multiplier pour obtenir une
diminution de 4%.
3. Laquantit´ d’eau dans l’aquarium apr`snsemaine est une suite g´om´trique
8 7
de raisonq= 0,98. On av8= 280×0,98≈238 etv7= 280×0,98≈243,
donc la quantit´ d’eau sera insuffisante apr`s 8 semaines.

Partie B
1. Pourcalculer le termeu1, on multipleu0par 0,98, pour prendre en compte
l’´vaporation pendant la semaine, puis on ajoute 5. On proc`de ` nouveau
de la mˆme mani`re pour obteniru2, d’o` :

u2= (280×0,98 + 5)×0,98 + 5 = 278,812.

2. Laformuleun+1= 0,98uncorrespond bien ` une ´vaporation de 2%+ 5
(multiplication par 0,98), puis un ajout de 5 litres.

1

un+1
3. Pourune suite g´om´trique on a toujours=q. Ici on trouve
un
u1280×0,27998 + 5,4
= =≈0,997857143,
u0280 280
et
u2278,812
=≈0,99789549.
u1279,4
Comme ces deux quantit´s sont distinctes, la suite n’est pas g´om´trique.
4. a.On d´duit l’algorithme de la formule de r´currence de la suiteun:
U←280
Pourkallant de 1 ` 6
U←0,98×U+ 5
Fin Pour
b. En impl´mentant l’algorithme dans une calculatrice programmable et
−2
en l’ex´cutant, on trouve :u6≈276.58, arrondi ` 10.
5. a.On av0=u0−250 = 280−250 = 30.
b. Onapplique la formule du terme g´n´ral d’une suite g´om´trique,
n
vn=v0×q ,
ici :
n
vn= 30×0,98.
c. Onavn=un−250, d’o`un=vn+ 250,et en utilisant l’expression de
vntrouv´e ` la question pr´c´dente, on obtient bien
n
un= 30×0,98 +250.
n
d. Comme30×0,98 estpositif pour toutn, la quantit´ d’eauunsera
toujours d’au moins 250 litres, ce qui est sup´rieur au 240 litres pr´conis´s.

Exercice 3 (6 points)

Partie A
1. Ona
2,6
N= 120 + 4ln≈95 dB
2
13×10
(arrondi ` l’unit´).
2. Ona :

P
Nln= 120 + 4
2
13×D

P N−120
⇔ln =
2
13×D4

P N
⇔= exp−30
2
13×D4

N
2
⇔P= 13×D×exp−30.
4

2

2−2
Ici on obtientP= 13×10×exp(84/4−30)≈0,16W (arrondi ` 10
pr`s).

Partie B
1. a.On a

0,026
Nln= 120 + 4
2
13×D

0,026 1
= 120 + 4ln +ln
2
13D

2
= 120 + 4ln (0,002)−4 lnD .

2
b. Ona 4ln(D) = 8ln(D+ 4 ln (0), et 120,002)≈95,14, d’o` le r´sultat.
2. a.On a
8
′
f(x) =−
x
puisque la d´riv´e du logarithme est la fonction inverse.
′8
b. L’inversed’un nombre positif ´tant positif,f(x) =−est n´gatif pour
x
xdans [0,1; 20].
c. Onen d´duit que la fonctionfest d´croissante sur [0,1; 20],ce qui est
tout ` fait coh´rent puisqu’on parle d’un niveau de bruit en fonction de
la distance ` sa source.
3. Oncalcule le niveau de bruit ` trois m`tres de la source :

f(3) = 95,14−8 ln(3)≈86,25

dB, ce qui correspond ` un risque faible. Des protections individuelles
semblent donc justifi´es.
4. Ils’agit d’inverser la fonctionf. On a

f(x) = 95,14−8 ln(x),

d’o` :
95,14−y
−1
f(y) = exp,
8
qui est donc la fonction qui donne la distance pour un niveau de bruit donn´.

−1 95,14−90
On calculef(90) = exp≈1,9 m`tres, distance ` laquelle un
8
ouvrier de l’entreprise sort de la zone de risque ´lev´.

Partie C
1. Onrel`ve les ordonn´es des courbesCN=90CN=85pour l’abscisseP= 0,06W
et on obtient une distance comprise entre 2,9 et 4,14 m`tres.
2. Onrel`ve cette fois-ci les abscisses des courbesCN=79,8CN=74,9pour
l’ordonn´eD= 8met on obtient une puissance comprise entre 0,0108 et
0,036W.

3

Exercice 4 (4 points)

Partie A
1. Onutilise les tables de lois normales incluses dans une calculatrice
programmable pour trouverP(1500≤X≤4500)≈0,9545
2. OnchercheP(X≥2500) par la mˆme m´thode et on trouve que la
probabilit´ qu’une porte blind´e classique coˆte plus que 2500 euros est 0,7475.
3. a.Toujours ` l’aide des tables de lois normales on trouve :

a
3950
3960
3970

P(X≤a)
0,8974
0.8997
0.9021

b. Onutilise ` nouveau les tables de lois normales, mais cette fois-ci pour
trouveraen fontion du quantileP(X≤a). La calculatrice donne une
valeur de 3961 euros pour le quantile d’ordre 90%.
c. On calculeM= 3961×1,15 = 4555,15 euros qui correspond ` une
augmentation de 15% du montant minimal pr´c´dent.

Partie B
1. Onutilise la formule donn´e par l’´nonc´e. Ici la proportion, ou “fr´quence”
123
fvautf= =0,125, etn= 984 est la taille de l’´chantillon. On a donc
984
r r
f(1−f) 0,125×(1−0,125)
1,196 =,96× ≈0,0207,
n984
d’o` un intervalle de confiance ` 95% : [0,1043; 0,1457].
2. ´tantdonn´ l’estimation de la proportion r´alis´e et l’intervalle de confiance
donn´, il est vraisemblable de consid´rer qu’il y a 90% de chance que la
proportion de personnes favorables ` l’achat d’une porte “SECUR” soit
entre 0,1043 et 0,1457, soit bien loin de 20% de personnes : l’industriel n’a
clairement pas int´rˆt ` r´aliser son projet.

4