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Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2006 S.T.I (Génie Mécanique) Baccalauréat technologique

45 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2006. Retrouvez le corrigé Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2006 sur Bankexam.fr.
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[BaccalauréatSTI2006\
L’intégraledeseptembre2005àjuin
2006
Antilles-GuyaneGénieélectroniqueseptembre2005 ...3
Antilles-GuyaneGéniedesmatériauxseptembre2005 ..8
Nouvelle–CalédonieGéniemécaniquenovembre2005 11
Nouvelle–CalédonieGénieélectriquenovembre2005 .14
Nouvelle–CalédonieGéniemécaniquemars2006 .....17
AntillesGénieélectroniquejuin2006 ...................19
FranceArtsappliquésjuin2006 .........................23
FranceGénieélectroniquejuin2006 ....................25
FranceGéniemécanique,civiljuin2006 ................29
LaRéunionGénieélectroniquejuin2006 ...............32
LaRéunionGéniedesmatériauxjuin2006 .............36
PolynésieGéniemécaniquejuin2006 ..................40
PolynésieGénieélectroniquejuin2006 .................43L’intégrale2006
2Durée:4heures
[BaccalauréatSTIGénieélectroniqueAntilles\
septembre2005
EXERCICE 1 5points
Unprofesseurd’EducatiorsPhysiqueetSportives’adresseàungroupedevingtélèves
ausujetdeleursloisirsintérêtpourlefootballdanslapratiquedecesportoucomme
spectacleàlatélévision.
Parmicesvingtélèves,onsaitquequinzeregardentdesmatchesàlatelevision,huit
pratiquentcesportetcinqfontlesdeux.
1. Montrerquedeuxélèvesdanscegroupenes’intéressentaufootballnidansla
pratique,niàlatélévision.
2. Unélèvedecegroupeestchoisiauhasard.
a. Quelleestlaprobabilitéqu’ilnes’intéresseaufootballnidanslapratique
niniàlatélévision?
b. Quelleestlaprobabilitéqu’ils’intéresseaufootballàlatélévisionsansle
pratiquer?
3. Oninterrogeauhasardunélèvequiregardelesmatchesàlatélévision.
Quelleestlaprobabilitéqu’ilpratiquelefootball?
4. On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves. Une urne com-
porte20jetonsaveclesnumérosenquestion.
Ontiredeux fois auhasardonjeton enle remettant dansl’urne après lepre-
miertirage.
Àchaquetirage,l’élèvedésignégagneunbilletd’entréeaumatchdesonchoix
àconditionqu’ilpratiquelefootballetlesuiveàlatélévision.
a. Déterminerlenombretotaldetiragesdedeuxjetons.
b. Déterminerlenombretotaldetiragespermettantd’obtenirdeuxbillets,
SoitXlavariablealéatoiredéfinieparlenombredebilletsgagnants.
c. DéfinirlaloideprobabilitédeXetsonespérancemathématique.
EXERCICE 2 4points
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Pourchacunedesquatrequestions
suivantes,au moins une réponse estexacte.Indiquer la (ou les) réponse(s)exacte (s)
survotrecopie.Aucunejustificationn’estdemandée.
1. Onconsidèrel’équationdifférentielley

=−2+lnx.Parmilescourbesci-dessous,
où la droite T représente chaque fois la tangente à la courbe considérée au
point d’abscisse1,quelle estcelle susceptible dereprésenter unesolution de
cetteéquationdifférentielle?BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
a.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1
T
e
2
O
ı

b.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1
T
e
2
O
ı

Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1
T
e
2
O
ı

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct
³
O,
− →
ı ,
− →

´
, on
considèrelespointsAetBd’affixesrespectives ZA=−1+ietZB=I+i.
On appelleC le cercle de centreA et de rayonIetC

le cercle de centreB et
derayonI.
Soitn unentiernaturelnonnuletZn=
Ã

2
4

2
4
i
!
n
.
Pour quelles valeurs de n, parmi celles proposées ci-dessous, l’image de Zn
appartient-elleaudomainegrisé?
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
0
1
2
3
O
A B
− →
u
− →
v
C C

a. n=1.
b. n=2.
c. n=3.
3. Lasolutionparticulière f,définiesurR,del’équationdifférentielle
y
′′
+9y=0
telleque f(π)=−

3et f

(π)=3est:
a. f(x)=

3cos(3x)−sin(3x).
b. f(x)=−

3cos(3x)+3sin(3x).
c. f(x)=3sin
³
x
3
´
+

3cos
³
x
3
´
.
Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
4. Soit f lafonctiondéfiniesurRpar f(x)=e
2x
.
Lavaleurmoyennedelafonction f surl’intervalle[ln5; ln10]est:
a.=
2ln2
75
.
b.=
75
2ln5
.
c.=
75
ln4
.
PROBLÈME 11points
PartieA
Onconsidèrelafonctiong définiesurl’intervalle]0;+∞[par:
g(x)=x
2
+1−2lnx.
1. Ondésigneparg

lafonctiondérivéedeg.
Déterminerg

(x)etétudiersonsignesurl’intervalle]0;+∞[.
2. Dresserletableaudevariationsdelafonctiong.
(L’étude deslimites auxbornesdel’ensemble dedéfinition n’est pasdeman-
dée.)
3. Calculerg(1).Endéduirequeg eststrictementpositivesurl’intervalle]0; +∞[.
PartieB
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[,par:
f(x)=
µ
1+
1
x
2

lnx.
Leplanestmunid’unrepèreorthogonal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
d’unitésgraphiquesgraphiques
2cmsurl’axedesabscisseset4cmsurl’axedesordonnées.
On désigne parC la courbe représentative de f et parΓ la courbe d’équation y=
lnx.
1. Déterminerlalimitedelafonction f enzéro.Quepeut-onendéduirepourla
courbeC ?
2. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
3. Ondésignepar f

lafonctiondérivéede f.
a. Montrerque,pourtoutréelx strictementpositif:
f

(x)=
g(x)
x
2
.
b. étudierlesignede f

(x)etdresserletableaudevariationsdelafonction
f.
4. Ondéfinitsurl’intervalle]0;+∞[,lafonctionh par:
h(x)= f(x)−lnx.
a. Déterminerlalimiteen+∞delafonctionh.
b. étudierlesignedelafonctionh surl’intervalle]0;+∞[.
EndéduirelapositionrelativedelacourbeC etdelacourbeΓ.
5. DétermineruneéquationdelatangenteàlacourbeC aupointAd’abscisse
1.
6. TracerlescourbesC,Γetladroitedanslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
PartieC
1. SoitH lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[,par:
H(x)=−
µ
1+lnx
x

.
MontrerqueH estuneprimitivedeh surl’intervalle]0;+∞[.
2. Soitαunnombreréelstrictementsupérieurà1.
Calculer l’aireA(α),encm
2
,dudomaine limité parlacourbeC,lacourbeΓ
etlesdroitesd’équationsx=1etx=α.
3. DéterminerlalimitedeA(α)quandαtendvers+∞.
Antilles-Guyane 7 septembre2005[BaccalauréatSTIAntilles-Guyaneseptembre2005\
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE 1 4points
Danstout cet exercice, on note g la fonction numérique définie pour tout nombre
réelx,par:
g(x)=sin
³
x
2

π
3
´
.
1. Soit(E)l’équationdifférentielle:
4y
′′
=−y,
où y estunefonctiondelavariableréellex.
a. Donnerlasolutiongénéraledel’équationdifférentielle(E).
b. Onnote f lasolution particulière del’équation différentielle (E)quivé-
rifie: f(0)=−

3
2
et f

(0)=
1
4
.
Démontrerquelafonction f estégaleàlafonctiong.
2. Soirlavaleurmoyennedelafonctiong surl’intervalle
·

3
;
14π
3
¸
.
a. Calculer.
b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant des valeurs
exactes:
x

3

3

3
11π
3
14π
3
x
2

π
3
sin
³
x
2

π
3
´
c. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on noteC la courbe repré-
sentativedelafonctiong surl’intervalle
·

3
;
14π
3
¸
.
TracerlacoucheC.
d. Lavaleurdetrouvéeena.est-ellecohérenteaveclegraphiqueeffectué
enc?
Pourquoi?
EXERCICE 2 4points
Unjeuconsisteàtirerunebouledansuneurnequicontientdesboulesrouges,des
boulesvertesetdesboulesnoires.
Larègledujeuindiqueque:
• silabouletiréeestrouge,l’organisateurdujeudonneIeaujoueur
• silabouletiréeestverte,l’organisateurdujeudonne2eaujoueur
• silabouletiréeestnoire,l’organisateurdujeudonne0,50eaujoueur.
Onadmetque.lorsdechaquetirage.touteslesboulesontlamêmeprobabilitéd’être
tirées.
Onnote:
• pR
laprobabilitédetirertineboulerouge
• pV
laprobabilitédetirerunebouleverte
• pN
laprobabilitédetirertineboulenoire.BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique L’intégrale2006
PartieA
Danscettepartie,onsupposequelenombredeboulesrouges,lenombredeboules
vertesetlenombredeboulesnoirescontenuesdansl’urnesonttelsque
pV=2pR et pR=2pN
Onrappelleque,lesboulescontenuesdansl’urneétantsoitrouges,soirvertes,soit
noires,onal’égalité
pR+pV+pN=1
1. Calculer pR
, pV etpN
.(Donnerlesvaleursexactes.)
2. Sachantquel’urnecontient3boulesnoires,calculerlenombretotaldeboules
contenues dansl’urne,ainsiquelenombredeboulesrougesetlenombrede
boulesvertescontenuesdansl’urne.
3. Soit Xla variable aléatoire qui à chaque tirage d’une boule associe la somme
reçueparlejoueur.
a. DonnerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireX,puis calculerl’es-
pérancemathématiqueE(X)delavariablealéatoireX.
b. Sil’organisateurdujeuvendait1,50eunticketdonnantledroitd’effec-
tuer en tirage, quel bénéfice pourrait-il espérer avoir réalisé à l’issue de
1 000jeux.
PartieB
PROBLÈME 12points
Leplanestrapporteàunrepèreorthogonal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
(unitésgraphiques:2cmsur
l’axedesabscisseset1cmsurl’axedesordonnées).
PartieA-Étuded’unefonctionauxiliaire
Soieg lafonctionnumériquedéfiniepourtoutréelx strictementpositif,par:
g(x)=2x
2
+1−lnx.
1. Onnommeg

lafonctiondérivéedelafonctiong.
Calculer g

(x)pourtoutréelx strictementpositif.
2. a. étudierlesignedeg

(x)surl’intervalle]0;+∞[etdonnerletableaudes
variationsdelafonctiong (leslimitesen0eten+∞nesontpasdeman-
dées).
b. Préciserlavaleurexactedeg
µ
1
2

etendéduirelesignedeg
µ
1
2

.
c. Donnerlesignedeg(x)surl’intervalle]0;+∞[.
PartieB-Étuded’unefonctionettracédesacourbereprésentative
Soit f lafonctionnumériquedéfiniepourtoutréelx strictementpositif,par
f(x)=2x+1+
lnx
x
.
Onnotesacourbereprésentativedanslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en 0. Donner une interprétation
graphiquedecerésultat.
b. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
2. a. Onnote f

lafonctiondérivéedelafonction f.
Montrerque,pourtoutréelx del’intervalle]0;+∞[.
f

(x)=
g(x)
x
2
,
oùg estlafonctiondéfiniedanslapartieA.
Antilles-Guyane 9 septembre2005BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique L’intégrale2006
b. Donnerletableaudesvariationsdelafonction f.
3. Onnommeαl’uniquesolutiondel’équation f(x)=0surl’intervalle]0;+∞[.
a. àl’aided’unecalculatrice,donnerlavaleurapprochéedécimaledeαar-
rondieà10
−2
.
b. Préciser,dansuntableau,lesignede f(x)pourx réelstrictementpositif.
4. a. OnnommeD ladroited’équation y=2x+1danslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
MontrerqueladroiteD estasymptoteàlacourbeC en+∞.
b. LadroiteD etlacourbeC secoupentaupointI.
DéterminerlescoordonnéesdupointI.
c. étudierlapositionrelativedelacourbeC etdeladroiteD.
5. DétermineruneéquationdeladroiteT quiesttangenteàlacourbeC enson
pointd’abscisse1.
6. Surunmêmegraphique,placerlepointI,puistracerT ,D etC.
PartieC-Calculd’aire
SoitF lafonctionnumériquedéfiniepourtoutréelx strictementpositif,par:
F(x)=x
2
+x+
1
2
(lnx)
2
.
1. Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle
]0;+∞[.
2. SoitS lasurfaceplanelimitéeparlacourbeC,l’axedesabscisses,lesdroites
d’équationsrespectivesx=1etx=e.
a. OnnoteA l’airedela surfaceS exprimée en unités d’aires.Calculer la
valeurexactedeA.
b. Donnerunevaleurdécimaleapprochéeà10
−2
prèsdel’airedelasurface
S expriméeencm
2
.
Antilles-Guyane 10 septembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatSTINovembre2005\
GénieMécanique-GénieÉnergétique-GénieCivil
Nouvelle-Calédonie
Un formulaire de mathématiquesest distribué en mêmetemps que le sujet.Une
feuilledepapiermillimétréseramiseáladispositiondescandidats.
EXERCICE 1 5points
Leplancomplexeestrapportéáunrepéreorthonormaldirect
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
,unitégra-
phique2cm.
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
1. Résolutiond’uneéquation.
a. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation:
z
2
−2

3z+4=0
b. Calculerlemoduleetunargumentdechacunedessolutions.
Soient AetM lespointsd’affixesrespectivesa=

3+ietm=

3−i.
2. Miseenplaced’uneconfigurationgéométrique.
a. Placer A et M dans le repére
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
, en indiquant une méthode de
construction.
b. OnappelleB etC lespointsd’affixesrespectivesb=ia etc=ib.
Calculer b etc sous forme algébrique, puis placer B etC dans le repére
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
c. Démontrerqueletriangle ABC estrectangleetisocéle.
d. Déterminerl’affixedupointD telque ABCD soituncarré.PlacerD sur
lafigure.
3. SoientN etP lespointsd’affixesrespectivesn=e
2iπ
3 m etp=e
2iπ
3 n
a. Déterminerlaformealgébriqueden,puisdémontrerqueP=C.
b. DémontrerqueletriangleMNP estéquilatéral.
4. Calculer en cm
2
l’aire du carré ABCD, puis l’aire du triangle MNP. On don-
neralesvaleursexactespuislesvaleursapprochéesál’unité.
EXERCICE 2 4points
Unsaccontientdesboulesindiscernablesautoucher:1boulerouge,3boulesjaunes
etn boulesnoires.(n désigneunentiernaturelstrictementpositif).
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, á prélever dans le
sacune boule au hasard.Si la boule tirée est rouge,le joueur reçoit5e, si la boule
estjaune, ilreçoit2eetsilaboule estnoire,il reçoit1e.Pourparticiperaujeu,le
joueurdoitacheterunbilletd’entréecoûtant1,70e.
Onnote Xn
lavariablealéatoirequi,áchaquebouleprélevéedanslesac,associele
gainalgébriquedujoueurc’estádirelasommereçuediminuéeduprixdubillet.
1. Danscettequestionseulement,onsupposen=6.
a. QuellessontlesvaleursprisesparlavariablealéatoireX
6
?
b. DéterminerlaloideprobabilitédelavariableaaléatoireX
6
.
c. Calculerl’espérancemathématiquedelavariablealéatoireX
6
.BaccalauréatSTIGéniemécanique L’intégrale2006
Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que l’entier naturel n est quel-
conque.
2. ÉtudedelavariablealéatoireXn
.
a. DéterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireXn
.
b. Déterminer en fonction de n l’espérance mathématique de la variable
aléatoireXn
c. Le club souhaite que l’espérance de Xn
soit strictement négative. Quel
doitêtrelenombreminimaldeboulesnoirescontenuesdanslesacpour
quecetteconditionsoitremplie?
PROBLÉME 11points
Le plan est rapporté á un repére orthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
, unités graphiques : 2 cm
enabscisseset1cmenordonnées.
PartieA:
Onappelle f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par:
f(x)=
1
x
+lnx.
OnappelleC sacourbereprésentativedanslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
1. Déterminerlalimitede f en+∞.
2. Étudedelalimitede f en0
a. Enutilisantlerésultat: lim
x→0
xlnx=0,déterminerlalimitede f en0.
b. EndéduirequeC admetuneasymptotedontondonnerauneéquation.
3. Étudedesvariationsde f.
a. Calculer f

(x)pourtoutréelx appartenantál’intervalle]0;+∞[.
b. Étudierlesignede f

(x)surl’intervalle ]0; +∞[etdresserletableaude
variationde f.
4. TracerC danslerepére
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
PartieB:
k désigneunentiernaturelnonnul.Onappelle g lafonctiondéfiniesurl’intervalle
]0;+∞[par
g(x)=
1
x
+klnx.
OnappelleC
k
lacourbereprésentativedeg danslerepére
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.Enparticulier
lacourbeC
1 estlacourbetracéeálafindelapremiérepartie.
1. Étudedesvariationsdeg.
a. Calculerg

(x)pourtoutréelx appartenantál’intervalle]0;+∞[
b. Démontrer que g

(x) s’annule pour x=
1
k
. Exprimer g
µ
1
k

en fonction
dek.
c. Étudierlesignede g

(x)surl’intervalle ]0 ; +∞[etdresserletableaude
variationsdeg.Onadmettraqueg admeten0commeen+∞lesmêmes
limitesque f.
2. On pose x
k =
1
k
et y
k = g
µ
1
k

. On appelle S
k
le point de C
k
de coordon-
nées(x
k
;y
k
).
a. Déterminerlalimitedelasuite(x
k
).
Nouvelle-Calédonie 12 novembre2005BaccalauréatSTIGéniemécanique L’intégrale2006
b. Déterminerlalimitedelasuite
¡
y
k
¢
.
c. Vérifierque,pourtout entier naturelnon nulk,le pointS
k
estsitué sur
lacourbeΓd’équation y=
1+lnx
x
.
PartieC:
1. SoitH lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par:
H(x)=xlnx−x.
DéterminerlafonctiondérivéedeH etendéduireuneprimitivedelafonction
f surl’intervalle]0;+∞[.
2. Calculd’aire.
a. Démontrerquelafonction f estpositivesurl’intervalle[1; 2].
b. Calculerl’airedudomaineplancomprisentrelacourbeC,l’axedesabs-
cissesetlesdroitesd’équationx=1etx=2.Ondonneralerésultatfinal
arrondiaumm
2
.
Nouvelle-Calédonie 13 novembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatSTINovembre2005\
Génieélectrique
Nouvelle-Calédonie
Leformulaireofficieldemathématiquesestdistribuéenmêmetempsquelesujet.
EXERCICE 1 5points
Soitilenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.Pourtoutnombrecom-
plexez,onposeP(z)=2z
3
−10z
2
+21z−18.
1. Calculer P(2), puis déterminer les réels a,b et c tels que pour tout nombre
complexez onaitP(z)=(z−2)(az
2
+bz+c).
2. Résoudredansl’ensembleCdesnombrescomplexes,l’équation2z
2
−6z+9=0,
puisendéduirelessolutionsdel’équationP(z)=0.
3. Leplanestmunid’unrepèreorthonormal
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
(unitégraphique2cm).
On considère les points A et B, d’affixes respectives zA =
3
2
+
3
2
i et zB = zA
,
ainsiquelespointsC etD d’affixesrespectiveszC etzD
tellesquezC =−zA et
zD=izA
.
a. Écrirelesnombrescomplexes zC etzD
sousformealgébrique.
b. Surlacopie,placerlespoints A,B,C,etD danslerepère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
c. Quelleestlanatureduquadrilatère ABCD?Justifierlaréponse.
EXERCICE 2 4points
UneentreprisefabriquequatretypedepiècesnotéesP
1
,P
2
,P
3 etP
4 etpossèdetrois
machines A,B etC pourprocéderàleurconception.
• LafabricationdelapièceP
1 nécessite l’utilisation dechacunedesmachines
AetB.
• LafabricationdelapièceP
2 nécessite l’utilisation dechacunedesmachines
B etC.
• LafabricationdelapièceP
3 nécessite l’utilisation dechacunedesmachines
AetC.
• La fabrication de la pièce P
4 nécessite l’utilisation de chacune des trois ma-
chines A,B etC.
Onconsidèreunéchantillonde2000piècesoùilya700piècesdetypeP
1
,1000pièces
detypeP
2
,200piècesdetypeP
3 et100piècesdetypeP
4
.
Onchoisitauhasardunepiècedansl’échantillon.Ilyaéquiprobabilitédeschoix.
1. Calculerlaprobabilitédesévénementssuivants:
a. «lapiècechoisieestdetypeP
1
».
b. «lafabricationdelapiècechoisieanécessitél’utilisationdelamachineB
».
2. Pour produire une pièce, l’utilisation de la machine A coûte 5e, celle de la
machine B coûte 4e etcelle dela machineC coûte 2e. Onappelle X lava-
riablealéatoirequi,àchaquepiècechoisiedansl’échantillon,associesoncoût
deréalisation.AinsilaréalisationdelapièceP
1 coûte9e.BaccalauréatSTIGénieélectrique L’intégrale2006
a. DéterminerlecoûtderéalisationdechacunedespiècesP
2
,P
3 etP
4
.
b. Donner,sousformed’untableau,laloideprobabilitédelavariablealéa-
toireX.
c. Quelestlecoûtmoyendefabricationd’unepiècedansl’échantillon?
Nouvelle-Calédonie 15 novembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrique L’intégrale2006
PROBLÈME 11points
PartieA:
Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par:g(x)=x−2+
1
x
.
1. Déterminerleslimitesdelafonctiong auxbornesdel’intervalle]0;+∞[.
2. Calculer la dérivée g

de la fonction g et étudier le signe de g

(x) pour x ap-
partenantàl’intervalle]0;+∞[.
3. Construireletableaudevariationdelafonctiong.
4. Déterminer,enjustifiantvotreréponse,lesignedelafonctiong surl’intervalle
]0;+∞[.
PartieB:
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par f(x)=x
2
−4x−1+2lnx.
OnappelleC lacourbereprésentative delafonction f dansunplanmuni d’unre-
pèreorthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
d’unitégraphique1cm.
1. Déterminer la limite de la fonction f en 0. Interpréter graphiquement ce ré-
sultat.
2. Enremarquantque f(x)peuts’écrire f(x)=x
2
µ
1−
4
x

1
x
2
+
2lnx
x
2

,détermi-
nerlalimitedelafonction f en+∞.
3. Montrerquepourtoutx del’intervalle ]0;+∞[,ona f

(x)=2g(x)(donnerle
détaildescalculs).
4. Étudierlesvariationsdelafonction f etdressersontableaudevariationssur
l’intervalle]0;+∞[.
5. a. Montrer que l’équation f(x)= 0 admet une solution unique notée α
dansl’intervalle[3; 4].
b. Donnerunencadrementdeαà10
−1
près.
6. a. Préciser f

(1)etlatangenteT àlacourbeC aupointd’abscisse1.
b. Représentergraphiquement latangenteT etlacourbeC danslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
PartieC:
1. SoitlafonctionH définiesurl’intervalle]0;+∞[parH(x)=xlnx−x.
a. Montrer que la fonction H est une primitive de la fonction logarithme
népériensurl’intervalle]0;+∞[.
b. EndéduireuneprimitiveF delafonction f surl’intervalle]0;+∞[.
2. Calculerlavaleurmoyennede f surl’intervalle[1;3]:donnerlavaleurexacte,
puislavaleurarrondieaucentième.
Nouvelle-Calédonie 16 novembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatSTImars2006\
Géniemécanique-Génieénergétique-Géniecivil
Nouvelle-Calédonie
Un formulaire de mathématiquesest distribué en mêmetemps que le sujet.Une
feuilledepapiermillimétréseramiseáladispositiondescandidats.
EXERCICE 1 5points
OnnoteilenombrecomplexedemoduleIetd’argument
π
2
.
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
,unitégra-
phique:3cm.
1. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexes,l’équation
³
iz+1+i

3
´
¡
z
2
−2z+4
¢
=0,
etdonnerlessolutionssouslaformealgébrique.
2. Onconsidèrelesnombrescomplexes
a=1+i

3 et b=−

3+i
etonappelleAetBlespointsd’affixesrespectivesa etb.
a. Déterminerlaformetrigonométriquedea etb.
b. ConstruirelespointsAetBdanslerepère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
c. DémontrerqueletriangleOABestrectangleisocèle.
d. SoitKlemilieudusegment[AB].PlacerKetdéterminersonaffixek.
3. Onconsidèrelecomplexe
c=(1−

3)+i(1+

3),
etonappelleClepointdupland’affixec.
a. MontrerqueKestlemilieudusegment[OC]puisplacerC.
b. DémontrerquelequadrilatèreOACBestuncarré.
EXERCICE 2 4points
Un client d’un supermarché reçoit lors de son passage en caisse un ticket d’un jeu
dugrattage.Ceticket comportetroiscasesàgratter.Pourlapremièrecasedeuxré-
sultatssontpossiblesIou2,pourladeuxièmeetlatroisièmecasetroisrésultatssont
possibles1,2ou3.Leclientgrattelestroiscasesdesonticket.
1. Préciserlenombrederésultatspossibles.
2. Onconsidèrelesévènementssuivants:
• A:« Avoir3chiffresidentiques»
• B:« Avoiraumoinsunefoisun2».
a. DéterminerlaprobabilitédeAnotéep(A)etcelledeBnotéep(B).
b. Déterminerp(A∩B),puisdémontrerquep(A∪B)=
5
6
.
3. Leclientreçoit5elorsqu’ilobtienttroischiffresidentiques, 2elorsqu’ilob-
tientexactement2chiffresidentiqueset0edanslesautrescas.OnappelleX
lavariablealéatoirequiprendcommevaleurslesgainsprécédents.
a. DéterminerlaloideprobabilitédeX.BaccalauréatSTIGéniemécanique L’intégrale2006
b. Calculerl’espérancemathématiqueE(X)delavariablealéatoireX.
PROBLÈME 11points
Onappelle f la fonction définie pourtout nombreréel x appartenant àl’intervalle
]0;+∞[par
f(x)=x−1+
2lnx−1
x
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
,unitégraphique2cm.
PartieA-Étuded’unefonctionauxiliaire
Onappelle g la fonction définie pour tout nombreréel x appartenant àl’intervalle
]0;+∞[par
g(x)=x
2
−2lnx+3.
1. étudierlesvariationsdeg surl’intervalle]0;+∞[.
2. Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) pour tout réel x appartenant à
l’intervalle]0;+∞[.
PartieB-Étudedelafonction f
1. Déterminerleslimitesde f en0eten+∞.
2. Étuded’uneasymptote
a. DémontrerqueC admetpourasymptoteladroiteD d’équationy=x−1.
b. Déterminerlescoordonnéesdupointd’intersectiondeC etD.
c. ÉtudierlespositionsrelativesdeC etdeD .
3. Étudedesvariationsde f
a. Montrerquepourtoutréelx appartenantàl’intervalle]0;+∞[,
f

(x)=
g(x)
x
2
.
b. Endéduirelesensdevariationsde f surl’intervalle]0;+∞[.
c. Dresserletableaudevariationsde f.
4. ConstruireD etC danslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
PartieC-Calculd’aire
1. Soit h la fonction définie pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle
par:
h(x)=
2
x
lnx.
DémontrerquelafonctionH définiesurl’intervalle]0;+∞[par:
H(x)=(lnx)
2
,
estuneprimitivedeh surcetintervalle.
2. En déduire une primitiveΦ de la fonction ϕ définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[
par:
ϕ(x)=
2lnx−1
x
.
3. Soit la partieA du plan délimitée par la courbeC, la droiteD et les droites
d’équations
x=

e et x=e.
a. HachurerlapartieA.
b. Déterminerlavaleurexacteencm
2
,del’airedelapartieA.
Nouvelle-Calédonie 18 mars2006Durée:4heures
[BaccalauréatSTIAntilles-Guyane\
Génieélectroniquejuin2006
EXERCICE 1 4points
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
d’unité graphique 3
cm,onconsidèrelespoints AetBd’affixes respectives zA=

3+iet zB=1−i

3;i
estlenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
1. a. Écrire zA et zB
sous forme trigonométrique, puis sous forme exponen-
tielle.
b. En utilisant la règle et le compas, placer les points A et Bdans le repère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.Onlaisseraapparentslestraitsdeconstruction.
c. DémontrerqueletriangleOABestrectangleetisocèleenO.
2. Danscequisuit,onconsidèrelarotationdecentreOetd’angle
π
2
.Onappelle
Cl’imagedupointAparcetterotation.
a. Placer le point C dans le repère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
. On laissera apparents les
traitsdeconstruction.
b. Déterminerl’affixezC dupointCsousformeexponentielle.
c. Quelleestl’imagedupointBparlarotation?Justifier.
d. Endéduirel’imagedutriangleOABparlarotation.
EXERCICE 2 5points
Uncircuitélectriquecomprendensérieungénérateur,unconducteurohmiquede
résistance R (exprimée en ohms), un condensateur decapacitéC (exprimée en fa-
rads)etuninterrupteur.Onfermel’interrupteuràl’instantt=0etlegénérateurdé-
livrealorsunetensionconstanteE (expriméeenvolts).Onprocèdeainsiàlacharge
ducondensateur.
La charge q en coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps t
(expriméensecondes);l’intensitéi ducourant(expriméeenampères)estalorstelle
quei(t)=q

(t).
Onconsidèrel’équationdifférentielle:
y

+
1
RC
y=
E
R
danslaquelle y estunefonctiondelavariableréellet,définieetdérivablesurR.
Danstoutcequisuit,onprendR=1 000, C=10
−4
etE=10.
1. Écrirel’équationdifférentielleci-dessusenremplaçantR, C etE parleursva-
leursrespectives.
2. Onadmetquelafonctionq estdéfiniesur[0;+∞[par
q(t)=−10
−3
e
−10t
+10
−3
.
a. Déterminerlafonctiondérivéeq

delafonctionq,puisvérifierqueq est
solutionsur[0;+∞[del’équationdifférentielleétablieàlaquestion1.
b. Déterminer q(0), la limite de q en+∞ et le sens de variations de q sur
[0;+∞[.BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
3. On admet que l’intensité du courant i qui parcourt le circuit à l’instant t est
donnéepari(t)=10
−2
e
−10t
.
Déterminer la valeur exacte de l’instant t
0 à partir duquel l’intensité i(t) est
inférieureouégaleà10
−3
ampère.Précisersavaleurarrondieaucentièmede
seconde.
4. Onsaitenfinquel’énergieW dissipéedansleconducteurohmique,exprimée
enjoules,entrelesinstantst=0ett=0,23,estdonnéepar:
W =1 000
Z
0,23
0
i
2
(t)dt.
a. Préciser une primitive de la fonction h définie sur [0 ; +∞[ par h(t)=
e
−20t
.
b. CalculeralorsW etendonnerlavaleurarrondieà10
−3
près.
PROBLÈME 11points
On considère la fonction f définie et dérivable sur v dont la courbe représentative
C
f
dansunrepèreorthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
d’unité1cmestdonnéeenannexe.Cette
courbepasseparlepointA(1;4).
Dansla PartieI, le but est dedéterminer graphiquement certaines propriétés de la
fonction f.OnprouveensuitecespropriétésdanslaPartieIIàpartirdel’expression
de f(x).Enfin,danslaPartieIII,ons’intéresseàuncalculd’aire.
PartieI
Onrépondraauxquestions suivantes enutilisant lareprésentation graphiquedon-
née en annexe. Si cela n’est pas demandé explicitement, on ne justifiera pas la ré-
ponse.
1. a. On admet que la fonction f est décroissante sur ]0; 1[ et que l’axe des
ordonnéesestasymptoteàC
f
.Donner lim
x→0
f(x).
b. Peut-ondonner lim
x→+∞
f(x)àpartirdugraphique?Pourquoi?
2. a. Justifierquel’équation f(x)=0admet,surl’intervalle[1;15],deuxsolu-
tions;onnoteraαetβcessolutions,avecα<β.
b. Donnerunencadrementd’amplitude0,5pourchacundesdeuxnombres
αetβ.
c. Donnerlesignede f(x)suivantlesvaleursdex dansl’intervalle[1;15].
3. OnadmetqueladroitepassantparlespointsA(1;4)etB(2;−2)esttangente
àlacourbeC
f
aupointA.
a. Donnerlavaleurde f

(1).
b. Donner,enjustifiant,uneéquationdeladroite(AB).
PartieII
Onadmetmaintenantquelafonction f estdéfiniesur]0;+∞[par
f(x)=2(lnx)
2
−6lnx+4.
LebutdecettepartieestdedémontrerlesrésultatsobtenusàlaPartieI,enutilisant
l’expressionde f(x).
1. a. Calculer lim
x→0
f(x).QuellepropriétégraphiquedelacourbeC
f
retrouve-
t-onainsi?
b. Démontrer que pour x 1 on a f(x)= (lnx)
·
2lnx−6+
4
lnx
¸
puis en
déduire lim
x→+∞
f(x).
2. a. Démontrerque f

(x)=
4lnx−6
x
ou f

désigneladérivéede f.
Antilles-Guyane 20 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
b. Résoudredansl’intervalle]0;+∞[l’inéquation4lnx−6>0.
c. En déduire le sens de variations de f et dresser le tableau de variations
de f.Oncalculeralavaleurexacteduminimumde f sur]0;+∞[.
3. a. Enutilisantlesrésultatsdelaquestion2démontrerquel’équationf (x)=
0admetexactementdeuxsolutionssurl’intervalle[1;15].
b. Donnerlesvaleursexactesde f
¡
e
¢
, f(e)et f
¡
e
2
¢
.
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation f(x)= 0 sur l’inter-
valle[1;15].
4. DétermineruneéquationdelatangenteTàlacourbeC
f
aupointAd’abscisse
1.
PartieIII
1. Sur la feuille annexe àrendreaveclacopie,hachurer le domaine D délimité
parlacourbeC
f
,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équationsx=1etx=2.
2. DémontrerquelafonctionF définiesur]0;+∞[parF(x)=2x(lnx)
2
−10xlnx+
14x estuneprimitivede f sur]0;+∞[.
3. a. Endéduirel’expression del’aire,enunités d’aire,dudomaineDsous la
formed’uneintégrale.
b. Donnerlavaleurexactedecetteaireencm
2
,puissavaleurenmm
2
,ar-
rondieàl’unité.
Antilles-Guyane 21 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006
Feuilleannexeàrendreaveclacopie
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 −1
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
A
B
− →
ı
− →

O
Antilles-Guyane 22 juin2006[BaccalauréatSTIArtsappliqués–France\
juin2006
Coefficient:2 Durée:2heures
L’usaged’unecalculatriceréglementaireestautorisédurantl’ensemblede
l’épreuve.
Leformulaireofficieldemathématiquesestjointausujet.
EXERCICE 1 8points
Dansunrepèreorthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
onadessinéuneellipseE desommets:
A(4; 0) A

(−4; 0) B(0; 3) et B

(0;−3)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 −1 −2 −3 −4
1
2
3
−1
−2
−3
O
B
B

A A

1. Montrerqu’uneéquationdecetteellipsedans
³
O,
− →
ı ,
− →

´
est:
x
2
16
+
y
2
9
=1.
2. Construire géométriquement les deux foyers F et F

puis calculer leurs coor-
donnéesexactes.
3. PourtoutpointM del’ellipseE,parquellerelationMFetMF

sont-ilsliés?
4. DéterminerlesvaleursexactesdesabscissesdespointsdeE d’ordonnée2.
5. Les sommets d’un rectangle de centre O sont des points de l’ellipseE et ses
côtéssont parallèles auxaxes.Quelle doitêtrelalongueur ducôtéhorizontal
decerectanglepourquesahauteursoitégaleà2

7?
EXERCICE 2 12points
Pourlaconstructiond’unstandd’exposition,desétudiantsenBTSEVEContbesoin
decréeruneramped’accèsreliantleplancherdustandausolduhalld’exposition.BaccalauréatSTIArtsappliqués L’intégrale2006
Unerampeplane nepouvantpermettrel’accèsauxfauteuils roulants,lesélèves de
BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment
[OA]parlacourbeC quifaitl’objetduproblèmesuivant.
4m
Solduhall
1m
Plancherdustand A
O
Onchoisit le repèreorthonormé
³
O,
− →
ı ,
− →

´
danslequel le point Aapour coordon-
nées(4;1)etC lacourbereprésentativedelafonction f définiequel’intervalle [0;
4]par:
f(x)=
1
32
¡
−x
3
+6x
2
¢
.
1. VérifierqueOetAsontbiensurlacourbeC.
2. a. Calculerlafonctiondérivée f

de f.Montrerque f

(x)=
−3
32
x(x−4).
b. Étudier le signe de f

(x) sur [0; 4]. Donner ensuite le tableau de varia-
tionsde f sur[0;4].
3. a. Calculer f

(0) et f

(4). Donner une interprétation graphique de ces ré-
sultats.
b. Quelest le coefficient directeurdelatangente àC aupoint Id’abscisse
2?
4. a. Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au
centième).
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x) 0,96
b. On prendra comme unité graphique 5 cm. Représenter sur une feuille
depapiermillimétrélacourbeC ainsiquelestangentesauxtroispoints
d’abscisses0,2et4.
5. a. DétermineruneprimitiveF delafonction f surl’intervalle[0;4].
b. On noteS la partie située entre la courbeC, l’axe des abscisses et la
droited’équationx=4.
Calculerl’airedeS (enunitésd’aires).
c. Onprécisequ’uneunitéd’airesurlegraphiquecorrespondà1m
2
enréa-
lité. Sachant que le stand a une largeur de 4 m, quel volume de béton
devra-t-on utiliser pour construire la rampe d’accès? La formule don-
nant ce volume est V = B×h où V est le volume, B l’aire de la partie
correspondantàlapartieS dugraphiqueeth lalargeurdustand.
France 24 juin2006Durée:4heures
[BaccalauréatSTIGénieélectronique\
génieélectrotechnique,optique
Francejuin2006
EXERCICE 1 5points
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormal
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
d’unitégraphique2
cm.
Ondésigneparilenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
1. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesCl’équationz
2
−2z+4=0.
2. OnconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectiveszA=1+i

3etzB=1−i

3.
a. DéterminerlemoduleetunargumentdezA etzB
.
b. Donnerlaformeexponentielle dezA
.
c. PlacerlespointsAetBdansleplanmunidurepère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
3. OndésigneparR latransformationduplancomplexequiàtoutpointM d’af-
fixez faitcorrespondrelepointM

d’affixez

telque:
z

=e
i

3 z.
a. IndiquerlanaturedelatransformationR etprécisersesélémentscarac-
téristiques.
b. OnnommeCl’imagedupointAparlatransformationR.Déterminerla
formeexponentielle del’affixe zC dupoint C.Endéduiresaformealgé-
brique.
c. PlacerlepointC.
d. MontrerquelepointBestl’imagedupointCparlatransformationR.
4. QuelleestlanaturedutriangleABC?Justifiervotreréponse.
EXERCICE 2 4points
Pourlafêtedel’école,uneassociationproposeuneloterieselonleprincipesuivant:
– Lejoueurmise10euros.
– Ilfaittournerdeuxrouesidentiqueschacunes’arrêtantdevantunrepère.
Chaque roueest divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en
euros 10; 0; 5; 0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s’arrêter devant le
repère.La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les
quartierssurlesquelssesontarrêtéeslesroues.
5
0
10
0
10
0
5
0
Rouen
o
1 Rouen
o
2BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
Dansl’exempleci-dessus,lapartieassureaujoueurungainde15e.
1. Étudedugaind’unjoueurpourunemisede10euros.
OnnommeG lavariablealéatoirequiàchaquepartieassocielegaindujoueur
eneuros.
a. Reproduireetcompléterletableausuivantdonnantlesvaleursprisespar
lavariablealéatoireG selonlesquartierssurlesquelssesontarrêtéesles
roues:
````````````
Rouen
o
2
Rouen
o
1
10 0 5 0
10
0
5
0
b. Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou
égalàsamiseest50%.
c. DéterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireG.
d. Calculer la probabilité, notée p(G>10), qu’un joueur obtienne un gain
strictementsupérieuràsamise.
e. Calculerl’espérance mathématique delavariablealéatoireG,puisdon-
nersoninterprétation.
2. Étudedubénéficedel’associationpourunevalsedem euros.
Onsupposedanscettequestionquelamisedujoueurestm euros.
OnnoteB lavariablealéatoirequi,àchaquepartie,associelebénéfice(posi-
tif ounégatif) réalisé parl’association, c’est-à-direla différenceentrela mise
qu’elleaencaisséeetlegainéventuelqu’elleareverséaujoueur.
a. Exprimerenfonctiondeml’espérancemathématiquedelavariablealéa-
toireB.
b. Déterminermpourquel’espérancedebénéficedel’associationsoitd’au
moins5e.
PROBLÈME 11points
PartieA;Résolutiond’uneéquationdifférentielle
Onconsidèrel’équationdifférentielle
(E) : y

+y=−x−1
où y désigne une fonction de la variable x. définie et dérivable sur l’ensemble des
réelsR.
1. a. Résoudrel’équationdifférentielle y

+y=0.
b. Déterminer lasolution h de cette équation différentielle y

+y=O pre-
nantlavaleur
1
e
enx=1.
2. Déterminer le nombre réel a tel que la fonction u définie sur R par u(x)=
e
−x
+ax soitsolutiondel’équationdifférentielle(E).
PartieB:étuded’unefonctionauxiliaire f
Lafonction f estdéfiniesurRpar:
f(x)=e
−x
−x.
1. Déterminerleslimitesdelafonction f en+∞et−∞.
France 26 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
2. f

désignelafonctiondérivéedelafonction f.Calculer,pourtoutréelx, f

(x)
puisendéduireletableaudevariationsdelafonction f.
3. a. Montrerquel’équation f(x)=0admetunesolutionuniqueαdansl’in-
tervalle[0;1].
b. Donnerunencadrementdeαd’amplitude0,01.
4. Préciserlesignede f(x)surl’intervalle[0;1].
PartieC:Calculdel’aired’unepartieduplan
La représentation graphiqueC
f
de la fonction f dans le plan muni d’un repère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
esttracéesurlafeuillejointeenannexe,quiestàrendreaveclacopie.
1. Dansledemi-planconstituédespointsd’abscissespositives,hachurerlapar-
tieD limitéeparlacourbeC
f
l’axedesabscissesetl’axedesordonnées.
2. Calculer en fonction deα la mesure, en unités d’aire, de l’aire de la partieD
duplan.
PartieD:étuded’unefonction g etreprésentationgraphique
Lafonctiong estdéfiniesur]−∞; α[par:
g(x)=
x
e
−x
−x
(oùαdésignelenombreréeltrouvéàlapartieBetonnoteC
g
sacourbereprésen-
tativedansunrepèreduplan.
1. a. Vérifierque,pourtoutx∈]−∞; α[, g(x)=
xe
x
1−xe
x
.
b. Endéduirelalimitedelafonctiong en−∞etinterprétergraphiquement
cettelimite.
2. En utilisant les résultats trouvés danslapartie Bquestion 4, déterminer lali-
mitedelafonctiong enα.Interprétergraphiquementcettelimite.
3. a. La fonction g

désignant la dérivée de la fonction g, montrer que pour
toutx de]−∞; α[, g

(x)=
e
−x
(1+x)
(e
−x
−x)
2
.
b. En déduire les variations de la fonction g sur ]−∞ ; α[[ et dresser le
tableaudesvariationsdelafonctiong.
4. TracerlacourbereprésentativeC
g delafonctiong danslerepèrefigurantsur
lafeuilleannexeàremettreaveclacopie.
France 27 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
Feuilleannexeàremettreaveclacopie
1 2 −1 −2 −3 −4
1
2
3
4
5
6
−1
−2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
− →
ı
− →

C
f
France 28 juin2006Durée:4heures
[BaccalauréatSTIGéniemécanique,civilFrance\
juin2006
L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée.
Dupapiermillimétréestmis ladispositiondescandidats.
Lecandidatdoittraiterlesdeuxexercicesetleproblème.
EXERCICE 1 5points
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
Onconsidèrelesnombrescomplexessuivants:
zA=

2+i

6, zB=2−2i.
Onposez=
zA
zB
.
1. Écrirez sousformealgébrique.
2. a. CalculerlemoduleetunargumentdezA etdezB
.
b. Endéduirelemoduleetunargumentdez.
c. Ecrirez sousformetrigonométrique.
3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes
decos

12
etdesin

12
4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
d’unité gra-
phique2cm.
a. Surpapiermillimétré,construirelespointsAetB,imagesrespectivesde
zA etdezB
.
b. DéterminerlanaturedutriangleOAB.
EXERCICE 2 4points
On donne ci-dessous la représentation graphiqueC, dans un repère orthonormal
d’unité2cm,delafonction f définiesur[0 ; 2π]par:
f(x)=2−sin
x
2BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil L’intégrale2006
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
0
1
2
3
4
1
S
O
1. Vérifier,parlecalcul,que:
a. lacourbeC passeparlepointS(π; 1).
b. latangenteàlacourbeC aupointSestparallèleàl’axedesabscisses.
c. lafonction f estsolutiondel’équationdifférentielle:4y
′′
+y−2=0.
2. Onveutcalculerlavaleurexacteduvolumedusolidederévolutionengendré
parla courbeC lorsdesa rotationautour del’axe desabscisses. Onrappelle
quelavaleurVdecevolume,enunitésdevolume,estdonnéeparlaformule:
V=π
Z

0
[f(x)]
2
dx.
a. Onpose,pourtoutnombreréelx appartenantà[0 ; 2π], g(x)=[f(x)]
2
.
Démontrerquel’ona:g(x)=
9
2
−4sin
x
2

1
2
cosx.
b. Donnerlavaleurexactedecevolumeencm
3
,puissavaleurarrondieau
mm
3
près.
PROBLÈME 11points
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]−1;+∞[par:
f(x)=
2x
1+x
−ln(1+x).
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
d’unités graphiques 1 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des
ordonnées.
PartieA
1. Calculerlalimitede f en+∞.
2. a. En remarquant que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle
]−1;+∞[
France 30 juin2006BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil L’intégrale2006
f(x)=
1
1+x
[2x−(1+x)ln(1+x)],
calculerlalimitede f en−1(onpourrautilisersansdémonstration
lim
X→0
X lnX=0).
b. Endéduireuneéquationd’unedroiteD asymptoteàC.
3. Déterminerladérivée f

de f etmontrerque,pourtoutnombreréelx appar-
tenantàl’intervalle]−1;+∞[, f

(x)=
1−x
(1+x)
2
.(1+x)
4. a. Etudierlesignede f

(x)surl’intervalle]−1;+∞[.
b. Calculerlavaleurexactede f(1).
c. Dresserletableaudevariationsde f surl’intervalle]−1;+∞[.
PartieB
1. DétermineruneéquationdelatangenteT àlacourbeC aupointd’abscisse
0.
2. a. Justifier que l’équation f(x)=0 a une seule solution α dans l’intervalle
[1;5].
Démontrerqueln(1+α)=

1+α
.
b. Donnerunevaleurapprochéedeαà10
−2
près.
3. Déterminerlesignede f surl’intervalle[O ; α].
4. Tracer,danslerepère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
,latangenteT ,ladroiteD puislacourbeC.
PartieC
1. Démontrer que, sur l’intervalle ]−1 ; +∞[, la fonction F définie par F(x)=
(−3−x)ln(1+x)+3x estuneprimitivedelafonction f.
2. SoitH la partie du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les
droitesd’équations x=0etx=α.
a. HachurerlapartieH surledessin.
b. Calculer, enunités d’aireetenfonction deα,l’aireA(α)delapartieH
etdémontrerqueA(α)=2
µ
α
2
−3α
1+α

cm
2
.
France 31 juin2006Durée:4heures
[BaccalauréatSTILaRéunionjuin2006\
Génieélectronique,électrotechnique,optique
EXERCICE 1 4,5points
C est l’ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de mo-
dule1etd’argument
π
2
.
1. Résoudredansl’ensembleCl’équation:
z
2
−4z+16=0.
2. Onconsidèrelesnombrescomplexes:
z
1=2+2i

3 et z
2=2−2i

3.
a. Déterminerlemoduleetunargumentdez
1
.
b. écrirez
1
,puisz
2
sousformeexponentielle.
3. Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
d’unité1cm.
Onconsidèrelarotationr decentreOetd’angle−

3
.
a. Placer les points M
1
, et M
2 d’affixes respectives z
1 et z
2 dans le repère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
b. MontrerquelepointM
2 estl’imagedupointM
1 parlarotationr.
c. OnappelleM
3
lepointimagedupointM
2 parlarotationr.
Calculerl’affixez
3 dupointM
3
.PlacerlepointM
3 danslerepère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
d. DémontrerqueletriangleM
1 M
2M
3 estéquilatéral.
4. Vérifierquelesnombrescomplexes(z
1
)
6
et
(z
1
)
4
(z
2
)
2
sontdesentiersnaturels.
Onutiliseralaformedez
1 etz
2
laplusadaptée.
EXERCICE 2 4,5points
I.Onconsidèrel’équationdifférentielle:
(E
0
) : y
′′
+4y=0
où y désigne une fonction de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur
l’ensembleRdesnombresréels,ety
′′
sadérivéeseconde.
1. Résoudrel’équation(E
0
).
2. Déterminerlasolutionparticulière f de(E
0
)vérifiant:
f(0)=

3 et f

(0)=2
où f

désignelafonctiondérivéedelafonction f.
3. Montrerquepourtoutréelt, f(t)peuts’écriresouslaforme:
f(t)=2cos
³
2t−
π
6
´
.
4. Calculerlavaleurmoyennede f surl’intervalle
h
0;
π
2
i
.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
Il.Onconsidèremaintenantl’équationdifférentielle:
(E
1
) : y
′′
+4y=3sint
où y désigne une fonction de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur
l’ensembleR,ety
′′
sadérivéeseconde.
1. Montrerquesiunefonctiong estsolutiondel’équation(E
0
),alorslafonction
h définiesurRpar:h(t)=g(t)+sint estsolutiondel’équation(E
1
).
2. Donnerunesolution particulière,nes’annulant paspour t=0,del’équation
(E
1
).
PROBLÈME 11points
Surlafeuilleannexe,quidoitêtreremiseaveclacopie,ondonne,dansleplanmuni
d’un repère orthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
, la courbe représentativeC
f
d’une fonction f
définiesurl’intervalle]2;+∞[.
PartieADéterminationdelafonction f
OnsupposequelacourbepasseparlepointAdecoordonnées
µ
3;−
7
2
+3ln2

.
LadroiteDd’équationx=2estuneasymptoteverticaleâlacourbeC
f
.
Onnote f

lafonctiondérivéede f.
1. Quelleestlavaleurexactede f(3)?
2. Donnersansjustificationlalimitedelafonction f en2.
3. Onsupposeque,pourtoutréelx del’intervalle]2;+∞[,
f(x)=ax−5+3ln(x−1)−3ln(x−2).
Enutilisantlaréponsedelaquestion1,détermineralgébriquementlenombre
a.
PartieB:Étudedelafonction f
Onadmetquelafonction f estdéfiniesurl’intervalle]2;+∞[par:
f(x)=
1
2
x−5+3ln(x−1)−3ln(x−2).
1. a. Retrouverparlecalcullalimitedelafonction f en2.
b. Montrerque,pourtoutxréeldel’intervalle]2+∞[
f(x)=
1
2
x−5+3ln
µ
x−1
x−2

.
c. Endéduirelalimitedelafonction f en+∞.
2. Démontrerqueladroited’équation y=
1
2
x−5estuneasymptoteobliqueâ
lacourbeven+∞.Tracersurlafeuilleannexe.
3. a. Calculer f

(x)etmontrerquepourtoutréelx del’intervalle]2;+∞[
f

(x)=
x
2
−3x−4
2(x−1)(x−2)
.
b. étudierlesignede f

(x)surl’intervalle ]2;+∞[.
c. Dresserletableaudevariationsdelafonction f surl’intervalle]2;+∞[.
4. a. Montrerquel’équation f(x)=0admetunesolutionuniqueαdansl’in-
tervalle[2,1;3]etunesolutionuniqueβdansl’intervalle[9;10].
LaRéunion 33 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
b. Déterminerunencadrementd’amplitude10
−1
dechacunedessolutions
αetβ.
PartieCCalculd’aire
1. Onconsidèrelesfonctionsh etH définiessurl’intervalle]2;+∞[par
h(x)=ln
µ
x−1
x−2

et H(x)=(x−1)ln(x−1)−(x−2)ln(x−2).
a. Montrerquelafonction H estuneprimitive delafonctionh surl’inter-
valle]2;+∞[.
b. Endéduireuneprimitivedelafonction f surl’intervalle]2;+∞[.
2. OnconsidèreledomaineD duplancomprisentrelacourbeC
f
,l’axedesabs-
cissesetlesdroitesd’équationx=3etx=9.
a. HachurerledomaineD surlegraphiquedelafeuilleannexe.
b. OnnoteA lamesure,enunitésd’aire,del’airedudomaineD.Exprimer
A souslaformed’uneintégrale.
c. Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée à
10
−1
près.
LaRéunion 34 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
FEUILLEANNEXEÀRENDREAVECLACOPIE
Courbedelafonction f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 −1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
D
O − →
ı
− →

LaRéunion 35 juin2006Durée:4heures
[BaccalauréatSTILaRéunion\
Géniedesmatériaux,géniemécaniqueB,C,D,E
juin2006
EXERCICE 1 4points
PartieA
Ondésignepar(E)l’équationdifférentielle:2y

+y=0oùy estunefonctionnumé-
riquedéfinieetdérivablesurl’ensembledesnombresréels.
1. Résoudrel’équation(E).
2. Déterminerlasolutionparticulière f de(E)telleque f(0)=0,5.
PartieB
Ladirectiond’unmuséevientdefairel’acquisitiond’unenouvellestatueetellesou-
haiteréaliserunsocleenboispourydéposercelle-ci.OnappelleVlevolumedece
socledontlaformeestdonnéesurlafeuilleannexejointe.
Lesocleestconstituédedeuxparties.
1. Lapremièrepartieestuncylindrederévolutionde0,50mderayonetde0,50
mdehauteur.Calculerlavaleurexacte,enm
3
,duvolumeV
1 decettepremière
partie.
2. Le volume V
2 de la deuxième partie est celui du solide de révolution engen-
dré par la rotation autour de l’axe des abscisses, du domaine plan limité par
l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f d’équation y=
0,5e
−0,5x
etlesdroitesd’équationsx=0etx=0,5.
On précise que la valeur exacte, en m
3
, de ce volume est donnée par la for-
mule:
V
2=π
Z
0,5
0
[f(x)]
2
dx.
a. CalculerV
2
.
b. Endéduirequelavaleurexacte,enm
3
,duvolumedusocleest:
V=
π
¡
+−2e
−0,5x
¢
8
.
c. DonnerlavaleurarrondieduvolumeVà10
−3
près.
EXERCICE 2 5points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
(unité gra-
phique:2cm).
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
1. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexes,l’équationsuivante:
iz=−

3+i.
Exprimerlasolutionsousformealgébrique.
2. SoitAlepointd’affixezA définiparzA=2e
i
π
3
.
a. DéterminerlemoduleetunargumentdezA
.BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,géniemécaniqueB,C,D,E L’intégrale2006
b. Endéduirequel’écriturealgébriquedezA est1+i

3.
3. OndésigneparBetClespointsdontlesaffixeszB etzC
sontdéfiniespar:
zB=−zA et zC=z
2
A
.
a. EcrirezB etzC
sousformealgébrique.
b. PlacerlespointsA,BetCdansleplancomplexe.
c. MontrerqueletriangleABCestuntrianglerectangle.
4. OnnoteDlepointd’affixezD définieparzD=
4
zA
.
MontrerquezD=zA oùzA désignelenombrecomplexeconjuguédezA
.
5. OnnoteElepointdeladroite(AC)dontl’affixezE estunnombreréel.Calculer
zE
.
PROBLÈME 11points
OnnoteIl’intervalle]0;+∞[.
PartieA
Soienta etb deuxnombresréels.
Onconsidèrelafonctionnumérique f définie,pourtoutnombreréelx deI,par:
f(x)=x
2
+ax+b−2lnx.
OnnoteC lacourbereprésentative delafonction f dansle planmuni d’unrepère
orthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
(unité graphique : 2 cm). Soit A le point de coordonnées
(1;−3).
Calculer les valeurs respectives des nombres réels a et b pour que, d’une part la
courbeCpasseparlepointAetque,d’autrepart,latangenteàcettecourbeaupoint
Aadmetteuncoefficientdirecteurégalà0.
PartieB
Danstoutelasuiteduproblème,onétudieralafonctionnumérique f définie,pour
toutnombreréelx deI,par:
f(x)=x
2
−4−2lnx.
1. a. Déterminerlalimitedelafonction f en0.
b. Quepeut-onendéduirepourlacourbeC ?
2. a. Verifierque,pourtoutnombreréelx deI,ona f(x)=x
µ
x−
4
x
−2
lnx
x

.
b. Endéduirelalimitedelafonction f en+∞.
3. Déterminerlafonctiondérivée f

delafonction f puismontrerque,pourtout
nombreréelx deI,ona f

(x)=
2(x−1)(x+1)
x
.
4. Étudierlesignedelafonction f

surIetdresserletableaudevariationsdela
fonction f surI.
5. Déterminer le signe de f(x) quand le nombre réel x appartient à l’intervalle
[1;2].
6. TracerlacourbeC danslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
LaRéunion 37 juin2006BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,géniemécaniqueB,C,D,E L’intégrale2006
PartieC
SoitH lafonctionnumériquedéfinie,pourtoutnombreréelx deI,par:
H(x)=xlnx−x.
1. Calculer H

(x)oùH

désignelafonctiondérivéedeH.
2. EndéduireuneprimitiveF delafonction f surI.
3. On appelle la partie du plan limitée par la courbeC,l’axe des abscisses et
lesdroitesd’équations x=1etx=2.Hachurer.Calculerlavaleurexactede
l’airedeenunitésd’aire,puisencm
2
.
LaRéunion 38 juin2006BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,géniemécaniqueB,C,D,E L’intégrale2006
Annexedel’exercice1
0,50m
0,50m 0,50m
0,39m(*)
(*)Cettecoteaétéarrondieaucentième
LaRéunion 39 juin2006Durée:4heures
[BaccalauréatSTIPolynésiejuin2006\
Géniemécanique,énergétique,civil
EXERCICE 1 5points
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthononnaldirect
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
,unitégra-
phique:1cm.
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
1. OnnoteP lepolynômedéfinipourtoutnombrecomplexez par:
P(z)=z
3
−4z
2
+8z−8.
a. Démontrerque,pourtoutnombrecomplexez, P(z)=(z−2)
¡
z
2
−2z+4
¢
.
b. Résoudredansl’ensembleCdesnombrescomplexes,l’équation
P(z)=0.
2. OnnoteA,B,C,lespointsd’affixesrespectives:a=2; b=1+i

3; c=1−i

3.
a. Déterminerlemoduleetunargumentdea, b, c.
b. EndéduirelecentreetlerayonducerclecirconscritautriangleABC.
c. PlacerlespointsA,BetCenlaissantvisibleslestraitsdeconstruction.
d. DémontrerquelequadrilatèreOBACestunlosange.
3. Onposed=a+b etonnoteDlepointd’affixed.
a. ConstruirelepointDdanslerepère
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
.
b. DémontrerqueAestlemilieudusegment[CD].
c. Ecrired sousformeexponentielle.
d. DémontrerqueOCDestuntrianglerectangle.
EXERCICE 2 5points
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
PartieA:Calculd’uneprimitive
Onnoteg lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;2]par
g(x)=
x
x+1
1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x appartenant à l’intervalle
[0;2], g(x)=a+
b
x+1
.
2. Endéduireuneprimitivedeg surl’intervalle[O;2].
PartieB:Déterminationducentredegravitéd’uneplaquehomogène
Onnote f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;2]par:
f(x)=
1
x+1
Onconsidèreuneplaque homogène formée parl’ensemble despoints M(x ; y)du
plan dont les coordonnées vérifient les relations : 06 x6 2 et 06 y6 f(x). (Voir
schémaci-dessous).BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil L’intégrale2006
1. Soit S l’aire de la plaque exprimée en
unitéd’aire.DémontrerqueS =ln3.
2. SoitGlecentredegravitédelaplaque.On
admettraquelescoordonnées(X ; Y)deG
sontdonnéesparlesformulessuivantes:
X=
1
S
Z
2
0
xf(x)dx et
Y =
1
2S
Z
2
0
[f(x)]
2
dx.
a. Calculer la valeur exacte de X, puis
une valeur approchée arrondie au
centième.
b. Calculer la valeur exacte de Y, puis
une valeur approchée arrondie au
centième.
0 1 2
0
1
O
PROBLÈME 10points
PartieA:Résolutiond’uneéquationdifférentielle
Onconsidèrel’équationdifférentielle(1):y

+y=2e
−x
,danslaquelle y désigneune
fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur l’ensembleR des nombres
réels.
1. Résoudrel’équationdifférentielle(2):y

+y=0.
2. Soitlafonctionh définiesurRparh(x)=2xe
−x
.Vérifierqueh estsolutionde
l’équation(1).
3. On admet que toute solution de (1) s’écrit sous la forme g+h, où g désigne
unesolutiondel’équation(2).
a. Déterminerl’ensembledessolutionsdel’équation(1).
b. Déterminer la solutionf de l’équation (1) vérifiant la condition initiale
f(0)=−1.
PartieB.Étuded’unefonctionexponentielle
Onnote f lafonctiondéfiniepourtoutréelx par:
f(x)=(2x−1)e
−x
.
On noteC sa courbe représentative dans un repère orthogonal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
. Unités
graphiques:1cmenabscisseset2cmenordonnées.
1. Étudedeslimites.
a. Déterminerlalimitede f en−∞.
b. Enécrivant,pourtoutréelx, f(x)=2xe
−x
−e
−x
,déterminerlalimitede
f en+∞.
Quelleconséquencegraphiquepeut-onentirerpourlacourbeC ?
2. Étudedesvariationsde f
a. Calculerlafonctiondérivée f

delafonction f,puisdémonterque,pour
toutréelx, f(x)estdusignede(−2x+3).
b. Dresserletableaudevariationsdelafonction f
3. Représentationsgraphiques.
a. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbeC avec l’axe
desabscisses.
Polynésie 41 juin2006BaccalauréatSTIGéniemécanique,énergétique,civil L’intégrale2006
b. Détermineruneéquationdechacunedestangentes(T)et(T

)àlacourbe
C auxpointsd’abscisses
3
2
et
1
2
.
c. Tracer(T),(T

)etlacourbeC danslerepère
³
O,
− →
ı ,
− →

´
.
PartieC.Déterminationd’uneprimitive
1. Vérifierque,pourtoutréelx, f(x)=−f

(x)+2e
−x
.
2. Endéduireuneprimitivedelafonction f surR.
Polynésie 42 juin2006[BaccalauréatSTIGénieélectroniquePolynésie\
juin2006
EXERCICE 1 5points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
³
O,
− →
u ,
− →
v
´
(unité graphique : 2
cm).Soientlesnombrescomplexes z
1=

2+i

2etz
2=1+i

3.
1. a. Déterminerlemoduleetunargumentdesnombresz
1 etz
2
.
b. PlacerlespointsAetBd’affixesrespectivesz
1 etz
2
.
2. SoitZ lenombrecomplexetelqueZ=
z
2
z
1
.
ÉcrireZ sousformeexponentielle,endéduireunemesureenradiansdel’angle
θdelarotationdecentreOquitransformeAenB.
3. a. écrireZ sousformetrigonométrique.
b. Enutilisantlesformesalgébriquesdez
1 etz
2
,déterminerlaformealgé-
briquedeZ.
c. Endéduirelesvaleursexactesdecos
³
π
12
´
etdesin
³
π
12
´
.
EXERCICE 2 4points
Un commercialvendentre0et 4voitures d’uncertainmodèle enunesemaine.
SoitX lavariablealéatoirequi,pourunesemaine,donnelenombredevoituresven-
dues.X suitlaloideprobabilitéci-dessous:
Nombredevoituresvendues 0 1 2 3 4
p(X=k) 0,26 0,23 0,15 0,05
1. Calculerlaprobabilitédevendreexactementdeuxvoituresenunesemaine.
2. Justifierquelaprobabilitédevendreaumoins deuxvoituresenunesemaine
estégaleà0,51.
3. DonnerunereprésentationgraphiquedelafonctionderépartitionF decette
loidansunrepèreconvenablementchoisi.
4. Calculer l’espérance mathématique de cette variable aléatoire. En déduire le
nombremoyendevoituresvenduesenuneannée(c’est-à-dire52semaines).
5. Le prix de vente d’une voiture est de 13 500e. Le vendeur perçoit une com-
missionde0,4%surleprixdeventepourchaquevoiturevendue.Déterminer
lemontantmoyendelacommissionperçueenunan.
PROBLÈME 11points
Leplanestrapportéàunrepèreorthononnal
³
O,
− →
ı ,
− →

´
(unitégraphique:2cm).
Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On adéterminé expérimentalement
desvaleursde f quiontpermisd’obtenirunepartiedelacourbe(C),représentative
delafonction f,etsatangente(T)aupointO(voirfeuilleannexe).
PartieA
1. Àl’aidedugraphique,déterminer f(0)et f

(0).
2. Onadmetquel’expression de f(x)estdelaforme f(x)=ax+b−ln(10x+1)
oùa etb sontdesréels.
a. Déterminer f

(x)enfonctiondea.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
b. Enutilisantlesrésultatsdu1.,déterminerlesréelsa etb.
PartieB
Onadmetdésormaisquelafonction f estdéfiniesurl’intervalle I=]−0,1; 10]par
f(x)=0,5x−ln(10x+1).
1. Calculer lim
x→−0,1
x>−0,1
f(x).Quepeut-onendéduirepourlacourbe(C)représentant
f ?
2. Calculer lafonction f

dérivéedelafonction f.Montrerque f

(x)alemême
signeque5x−9,5surl’intervalle I.
Étudierlesignede f

(x)surl’intervalle I.
3. Dresserletableaudevariationsdelafonction f.
4. Justifierquel’équation f(x)=0adansl’intervalle[6;10]unesolutionunique,
quel’onnoteraα.
Déterminerunencadrementdeαd’amplitude10
−2
.
5. SoitF lafonctiondéfiniesurl’intervalleI=]−0,1; 10]par:
F(x)=0,25x
2
+x−(x+0,1)ln(10x+1)
a. DémontrerqueF estuneprimitivedelafonction f surl’intervalleI.
b. Calculerl’intégraleJ=
Z
1
0
f(x)dx.Ondonneralavaleurexacte.
c. Onconsidèredanslerepèredéfiniinitialement,l’ensembledespointsM
decoordonnées(x ; y)telsque:
½
0 6 x 6 1
f(x) 6 y 6 O
Utiliserlaquestionprécédentepourdéterminerl’aireA encm
2
decette
région.Onendonneralavaleurdécimalearrondieà10
−2
près.
Polynésie 44 juin2006BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2006
Annexe(problème)
1 2 3 4 5 6 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0,5
(C)
−4,75
M
(T)
x
y
Polynésie 45 juin2006