Lycée Blaise Pascal Épreuve de mathématiques mars BAC BLANC sujet réservé aux candidats n

Lycée Blaise Pascal Épreuve de mathématiques mars BAC BLANC sujet réservé aux candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique

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Niveau: Secondaire, Lycée
1 Lycée Blaise Pascal Épreuve de mathématiques mars 2010 BAC BLANC (sujet réservé aux candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique). Le sujet comporte quatre exercices à rédiger sur feuille séparée Durée 4 heures Le sujet comporte trois pages numérotées de 1 à 3 EXERCICE 1 : Analyse- Fonction exponentielle. (5 points) On considère la fonction f définie sur r par xe)xx(x)x(f ?++?= 342 . On désigne par ( ? ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal )j,i;O( ?? . Partie A-Étude d'une fonction auxiliaire g Soit g la fonction définie sur r par : 1122 +?+= ?xe)xx()x(g 1. Étudier les limites de g en ∞? et en ∞+ (on pourra utiliser +∞= +∞?x x elim x 2 ) 2. Calculer )x('g et montrer que )x('g et )x( 23 ? ont même signe. 3. En déduire le tableau de variations de g. 4. a) Montrer que l'équation 0=)x(g admet deux solutions dans r. Vérifier que 00 =)(g . On note ? la solution non nulle. b) Prouver que 3242 ,, ?

  • courbe

  • points d'affixes respectives

  • réel solution de l'équation

  • courbe représentative dans le plan rapporté

  • nature des triangles


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Publié le 01 mars 2010
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Langue Français

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Lycée Blaise PascalÉpreuve de mathématiques2010 mars BAC BLANC(sujet réservé aux candidatsn’ayant passuivilaspécialitémathématique). Le sujet comporte quatreexercices à rédiger sur feuille séparée Durée4 heures Le sujet comporte trois pages numérotées de 1 à 3 EXERCICE 1: Analyse Fonction exponentielle. (5 points) 2x On considère la fonctionfdéfinie surr parf ( x )=x( x+4x+3) e. → → On désigne par () sacourbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal( O ;i , j). Partie AÉtude d’une fonction auxiliaireg2x Soit g la fonction définie surrpar :g( x )=( x+2x1) e+1x e lim 1. Étudierles limites degen− ∞et en+ ∞(on pourra utiliser2= +∞) x x→ +∞ 2 2. Calculerg' ( x )et montrer queg' ( x )et(3x )ont même signe. 3. Endéduire le tableau de variations deg. 4. a)Montrer que l’équationg( x )=0admet deux solutions dansr. Vérifier queg(0)=0. On noteαla solution non nulle. b) Prouverque2,4< α < −2,35. Endéduire le signe deg( x )suivant les valeurs dexPartie BÉtude de la fonctionf1. Déterminerles limites def en− ∞et en+ ∞2. a)Montrer que pour tout réelx,f '( x )=g( x )b) Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 3. a)Démontrer que la droite (D) d’équationy=xest asymptote à la courbe (). b) Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe () EXERCICE 2 :Nombres complexes (5points)→ → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directu ,v )( O ;; unité graphique 2 cm. 3 1. a)Déterminer un réel solution de l’équationz=83 2 b) Trouver deux nombres réelsαqueet telsz8=( z2)( z+ αz+ β)3 c) Résoudre danscl’équationz=82. SoitA,B,Cles points d’affixes respectivesa=2;b= −1+i3;c= −1i3SoitB',C 'les points d’affixesb'=2+3+3i;c'=2+33ia) Placer les pointsA,BetCb) Démontrer queAB=AB'etAC=AC '3 33 3 c) Déterminer une mesure de), AB'( ABet de)( AC, AC 'd) En déduire la nature des trianglesABB'etACC 'puis placer les pointsB'etC '. 3. OnappelleNle milieudu segment,[BB']. On noten sonaffixe. 1+3 Montrer quen=(1+i3). En déduire que les pointsO,NetCsont alignés. 2
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EXERCICE 3 :Suites numériques Partie A (3 points) Pour chaque question, il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher au plus deux cases (celles qu’il juge correctes). Aucune justification n’est demandée. À chaque question est affecté un certain nombre de points. Chaque réponse exacte rapporte la moitié des points affectés ; chaque réponse fausse enlève le quart des points affectés. Cocher trois cases ou plus à une question, ou n’en cocher aucune, rapporte zéro point à cette question.Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est remis à zéro. On considère trois suites( u),)( vet)( wqui vérifient la propriété suivante : n nn « Pour tout entier naturelnstrictement positif :uvw». n nn 1. Si la suite( v)tend vers− ∞alors : n la suite( w) tend vers− ∞ ; n la suite( u)est majorée ; n la suite)( u tend vers− ∞; n la suite( w)n’a pas de limite. n 2. Siu1,w=2uet lim( u)=alors : n nn n lim)( v=n la suite)( wtend vers+ ∞n la suite( wu )converge vers; n n on ne sait pas dire si la suite( v)a une limite ou non. n 3. Si lim)( u= −2et lim( w)=2alors : n n ( v)es la suitet majorée ; n lim( v)=0; n la suite)( vn’a pas de limite ; n on ne sait pas dire si la suite)( va une limite ou non. n Partie B(3 points) u=1 0 u ) On considère la suite(ndéfinie par :pour tout entier natureln. u=u+2n+3 n+1n 1. Étudier la monotonie de la suite)( u. n 2 2. a) Démontrer que, pour tout entier natureln,u>n. n b) Quelle est la limite de la suite)( u? n Conjecturer une expression de 3.uen fonction den, puis démontrer cette conjecture. n
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EXERCICE 4: Géométrie dans l’espace(4 points) On considère un tétraèdreABCD. On noteI,J,K,L,M,Nles milieux respectifs des arêtes : [AB],[CD],[BC],[AD],[AC]et[BD]. On désigne parGl’isobarycentre des pointsA, B, CetD1. Montrerque les droites(IJ),(KL) et(MN) sont concourantes enG. Dans la suite de l’exercice, on suppose queAB=CD, BC=ADetAC=BD(on dit que le quadrilatère est équifacial, car ses faces sont isométriques) 2.a) Quelle est la nature du quadrilatèreIKJL? On admettra de même que les quadrilatèresIMJNetKNLMsont de même nature.b) En déduire que les droites(IJ)et(KL)sont orthogonales. On admettra de même que les droites(IJ)et(MN)sont orthogonales et que les droites(KL)et (MN)sont orthogonales. 3. a)Montrer que la droite(IJ)est orthogonale au plan (MKN). 3 3 b) Quelleest la valeur du produit scalaireMKIJ .? En déduire que(IJ)est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que(IJ)est orthogonale à la droite(CD). c) Montrerque G appartient aux plans médiateurs de[AB]et[CD]. d)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Comment démontreraiton queGest le centre de la sphère circonscrite au tétraèdreABCD?
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