Mathématiques 1999 Scientifique Baccalauréat général

Mathématiques 1999 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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Ajouté le 06 mars 2007
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[Baccalauréat S 1999\ L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus
Antilles-Guyane septembre 1998. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
France septembre 1998. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Polynésie septembre 1998. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Sportifs de haut-niveau octobre 1998. . . . . . 12. . . . . . . . . . . . .
Amérique du Sud novembre 1998. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Nouvelle-Calédonie décembre 1998. . . . . . . . . . . . 18. . . . . . . .
Pondichéry avril 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Amérique du Nord juin 1999. . . . . . . . . . 24. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antilles-Guyane juin 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Asie juin 1999 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Centres étrangers juin 1999. . . . . . . . . . . . . . . 33. . . . . . . . . . . . . .
France juin 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Liban juin 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
La Réunion juin 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Polynésie juin 1999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tapuscrit : Denis Vergès : Denis.Verges@wanadoo.fr
Baccalauréat
S
2
L’in
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égrale
de
sept
embre
1998
à
juin
1999
Durée : 4 heures [Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998\
Exercice 1 4 points Enseignement obligatoire Un meuble est composé de 10 tiroirs T1, T2 T, . . . ,10. Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée detrouver le tiroir contenant la bouleà l’aide de la stratégie suivante : la personne ouvre le tiroir T1. Si la boule est dans le tiroir T1, la recherche est ache-vée, sinon la personne ouvre le tiroir T2ainsi de suite . . . en respectant l’ordre des, et numéros de tiroirs. On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T10n’est jamais ouvert. Pourientier compris entre 1 et 10 (16i610), on appelle Bil’évènement « La boule se trouve dans le tiroir Ti». On noteXla variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie. 1.Donner l’ensemble des valeurs possibles deX. 2. a.Montrer que, pouricompris entre 1 et 8 (1entier 6i68), l’évènement (Xi) est l’évènement Bi. b.Justifier que l’évènement (X9) est la réunion des évènements B9et B10. c.Déterminer la loi de probabilité deX. d.Calculer l’espérance mathématique deX. Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³O,u−→,v−→´. On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à me sure, les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.) 1. a.Résoudre l’équation (E) :z22z340. b.On considère les nombres complexesz13i etz23i et on dé-signe par M et N les points d’affixes respectivesz1etz2. Déterminer le module et l’argument dez1etz2; placer M et N sur la figure. c.Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par la translation de vecteurw −2u. Placer P et Q sur la figure. Montrer que MNPQ est un carré. 2. tationP par rapport à O, E l’image de P par la roSoit R le symétrique de  de π centre O et d’angle 2 , S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rapport 3. Placer ces points sur la figure. Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN]. 3.On poseα23.
Baccalauréat S L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999
a.Montrer que 1α24αet 1α22α3. b.Exprimer les affixesZde PR etZde PS en fonction deα. c.Montrer que|Z|  |Z|et queZZeiπ3 . d.Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.
Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³O,u,v−→´. On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à me sure les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.) 1. a.Résoudre l’équation (E) :z22zp340. b.On considère les nombres complexesz13 + i etz23 - i et on désigne par M et N les points d’affixes respectivesz1etz2. Déterminer le module et l’argument dez1et dez2; placer M et N sur la figure. c.et P images respectives de M et N parDéterminer les affixes des points Q la translation de vecteurw −2u. Placer P et Q sur la figure. Montrer que MNPQ est un carré. 2.Soit R le symétrique de  de tationP par rapport à O, E l’image de P par la ro centre O et d’angle 2πl’image de E par l’homothétie de centre O et de rap- , S port 3. Placer ces points sur la figure. Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN]. 3.On poseα23. a.Montrer que 1α24αet 1α22α3. b.Exprimer les affixesZ etde PRZde PS fonction de enα. Z c.Montrer que|Z|  |Z|etZeiπ3. d.Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.
11 points
Problème Commun à tous les candidats Partie A Étude d’une fonction auxiliaire La fonctiondest définie sur ]1 ;∞[ par : x d(x)ex1. 1.Calculer la fonction dérivéed. En déduire les variations ded. 2.Déterminer les limites deden - 1 et en∞. 3.Montrer que, pour toutx −1, on a : 0d(x)e. Partie B Étude de la fonctionf Dans cette partie on s’intéresse à la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ] - 1 ; +[ par : x f(x)x1ex1. On appelle (C) la courbe représentative defdans un repère orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm. On désigne parfetf′′les dérivées première et seconde de f.
Antilles-Guyane4spetmebre9189
Baccalauréat S
L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999
1.Démontrer que la droite (D) d’équationyxe1 est asymptote à la courbe (C). Préciser la position relative de (D) et (C). 2. a.Pourx]1 ; ∞[, calculerf(x) etf′′(x). Vérifi r quef′′( 2x1x x1 . e ) (x1)4ex En déduire le sens de variations def. b.Dresser le tableau de variations def. limf1.) (On admettra quexlim1fx→∞ 3.Démontrer que l’équationf(x)0 admet sur ]1 ;∞[ deux solutions dont l’une est 0. Dans la suite du problème, on noteraαla solution non nulle. Donner une valeur approchée deαau centième près. 4. a.Étudier les variations def. b.Calculer les limites defaux bornes de son ensemble de définition. c.Dresser le tableau de variations def Partie C Prolongement de la fonctionfen1 On considère la fonctiongdéfinie sur ]1 ;∞[ par : ½gg((x)1)0f(x) pour toutx −1. On appelle (C) la courbe représentative de la fonctiongdans le repère de lapartie B. 1. a.Montrer que l’on peut écrire g(x)g(1x x())111x³xxex1´. 1 b.Pourx]1 ;∞[, déterminer la limite lorsquextend vers -1 dex x1 xx puis de1 ex1. x c.En déduire quegdérivable en - 1 et préciser son nombre dérivéest g(1). 2.Construire (D) et (C). Préciser les tangentes à (C) aux points d’abscisses 1,α, 0.
Antilles-uGyane5spetembre1998
Durée : 4 heures [Baccalauréat S France septembre 1998\
Exercice 1 4 points L’espace est muni d’un repère orthonormal direct³O,ı−→,,k−→´. Il n’est pas demandé de faire de figure. Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2. On considère les quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives : A21B161C222I1011 1. a.Calculer le produit vectorielABAC. b.Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points A, B et C. 2.Soit (Q) le plan d’équation : xy3z20 et (Q) le plan de repère³O,ı−→,,k´. a.Pourquoi (Q) et (Q) sont-ils sécants ? −→ b.Donner un point E et un vecteur directeurude la droite d’intersection (¢) des plans (Q) et (Q). 3.Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et d e rayon 2. 4.On considère les points J et K de coordonnées respectives : J200K101Déterminer avec soin l’intersection de la sphère (S) et de la droite ( JK).
5 points
Exercice II 1.On considère le polynômePdéfini par : P(z)z36z212z16. a.Calculer P(4). b.Résoudre dansCl’équation : P(z)0. 2.Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct³O,u−→,v−→´tel que :k~uk  kv~k 2 cm. Soient A,B, C les points d’affixes respectives : a4b1i 3c1i 3 a. au longPlacer les points A, B, C sur une figure que l’on complètera tou t de l’exercice.
Baccalauréat S
L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999
b.Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 3.Soit K le point d’affixek −3i π On appelle F l’image de K par la rotation de centre O et d’angle de mesure 3 et G l’image de K par la translation de vecteur OB . a.Quelles sont les affixes respectives de F et de G ? b.Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires. 4.Soit H le quatrième sommet du parallélogramme COFH. a.Montrer que le quadrilatère COFH est un carré. b.Calculer l’affixe du point H. c.Le triangle AGH est-il équilatéral ?
11 points
Problème Partie A 1.Résoudre l’équation différentielle : y′′4y4y0. 2.Déterminer la solutionϕde cette équation, définie surRet qui vérifie les conditions : ϕ(0)0 etϕ(0) −e
Partie B
Fra
1.On considère la fonctionfdéfinie surRpar : f(x) −xe2x1. a.Quel est, suivant les valeurs dex, le signe def(x) ? b.Étudier le sens de variation de def. c.Déterminer les limites defen ∞et en− ∞. d.Dresser le tableau de variations def. e.On appelle (C) la représentation graphique defdans un repère ortho-normé³O,ı−→,−→´(unité graphique : 4 cm). Quelle est la tangente à (C) au point O ? Écrire une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse (- 1). f.On appelle (Γ) la représentation graphique dans le repère³O,ı,−→´de la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)ex. Quelle est la tangente à (Γ) au point d’abscisse (1) ? 2.On appellehla fonction définie surRpar : h(x)1exex.
nce7septmerbe1998
Baccalauréat S
L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999
a.Étudier le sens de variation deh. En déduire le signe deh(x) suivant les valeurs dex. b.Étudier la position de (C) par rapport à (Γ). c.Tracer, sur le même graphique, les courbes T, (C) et (Γ). 3.Soitmun réel quelconque etMle point de la courbe (Γ) d’abscissem. a.Écrire une équation de la tangente D à (Γ) enM. b.La tangente D coupe les axes de coordonnées enAetB. Calculer, en fonction dem, les coordonnées du milieuJdu segment [AB]. c.Prouver queJappartient à (C). d.Tracer (D) etJpourm0. Partie C 1.Soitxun réel quelconque. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale : I(x)Z0xte2tdt. 2.Soitxun réel négatif. Calculer l’aireA(x), exprimée en cm2, de l’ensemble des pointsNdu plan dont les coordonnées (u,v) vérifient : ½x6u60 06v6f(x) 3.CalculerA(1). 4.A(x) admet-elle une limite quandxtend vers moins l’infini ? Si oui laquelle ?
rFanec8spetmebre1998
[Baccalauréat S Polynésie septembre 1998\ Durée : 4 heures
Exercice 1 5 points Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct³O,u,v−→´(unité graphique : 2 cm). À tout pointMdu plan (P) est associé le nombre complexez, affixe du pointM. 1. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com -plexes 1i 3 z1 −1,z22 ,z3 −1i 3. b.Déterminer le module et un argument de chacun des cubesz13,z23,z33 des complexes ci-dessus, puis la partie réelle et la partie imaginaire de z31, dez32et dez33. 2. a.Sizxiyρeiθest un nombre complexe (avec ,yetθréels etρrel supérieur à zéro), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire dez3 en fonction dexety, puis le module et un argument dez3en fonction deρetθ. b.Déterminer l’ensemble (E) des pointsMd’affixezcaractérisé par :z3est un nombre réel. c.Déterminer et tracer l’ensemble (E) des pointsMd’affixez, caractérisé par :z3est un nombre réel et 16z368.
Exercice 2 5 points Dans l’espace muni du repère orthonormal direct³O,ı−→,−→,k−→´, nous considérons les points A de coordonnées (0 ; 6 ; 0), B de coordonnées (0 ; 0 ; 8 ), C de coordonnées (4 ; 0 ; 8). 1. a.figure comportant les points définis dans l’exercice (unité gra-Réaliser la phique : 1 cm). b.Démontrer que : les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ; les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ; la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB). c.Déterminer le volume, en cm3, du tétraèdre OABC. d.Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une s phère dont vous déterminerez le centre et le rayon. 2.À tout réelk; 8[, est associé le pointde l’intervalle ouvert ]0 M(0 ; 0 ;k). Le plan (π) qui contientM droite (OB) rencontre les droites laet est orthogonal (OC), (AC), (AB) respectivement enN,P,Q. a.Déterminer la nature du quadrilatère (M N PQ). b.La droite (P M ? Pour quelle valeurest-elle orthogonale à la droite (OB)) dek, la droite (M P) est-elle orthogonale à la droite (AC) ? c.téreDrimenM P2en fonction dek. Pour quelle valeur dek, la distance P Mest-elle minimale ?
Baccalauréat S
L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999
Problème 10 points L’objectif est d’étudier quelques propriétés de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [1 ;∞[ par : f(x)(1x2)ex. Partie A Variations defet tracé de la courbe (F) Soitfla fonction définie sur l’intervalle [1 ;∞[ par : f(x)(1x2)ex. Dans le plan (P) muni du repre orthonormal³O,ı,´(unité graphique : 2 cm) la représentation graphique de la fonctionfest note (F). 1.Déterminer la limite en∞def: interpréter graphiquement ce rsultat. 2. a.Déterminer, suivant les valeurs dexde l’intervalle [1 ;∞[, le signe de x22x1 et celui def(x). b.Déterminer la fonction dérivéefdef. En déduire le sens de variations defpuis dresser son tableau de variations ; préciser les valeurs exactes du minimum et du maximum. 3.Déterminer une équation de la tangente note (T) la courbe (F) au point A de (F) dont l’abscisse est 0. 4. a.Déterminer la valeur exacte et une valeur décimale approchée à 0,1 près de chacun des coefficients directeurs des tangentes à la cour be (F) en B(1 ; 0) et C(1 ; 0). b. ; 0) et C(Tracer les trois tangentes à la courbe (F) en A, B(11 ; 0) et la courbe (F). Partie B Intégrales et aires Les surfacesSetS1(u) du plan (P), oùuest un réel donné de l’intervalle [1 ;∞[ sont définies par : Sest l’ensemble des pointsM(x;y) tels que : 06x61 et 06y6f(x), S1(u) est l’ensemble des pointsM(x;y) tels que 16x6uetf(x)6y60. Les aires respectives de ces surfaces sont notéesA,A1(u). Leurs valeurs exactes seront exprimées en unités d’aire. raleZ1x(t) dtxest un réel positif. 1.Justifier l’existence de l’intégf En procédant deux intégrations par parties successives, déterminer cette in-tégrale. 2.En déduire la valeur exacte deZ10f(t) dt. En déduire la valeur exacte de l’aireA. 3.Déterminer, en fonction deuu>1, l’aireA1(u) puis la limite, lorsqueu tend vers∞, deA1(u). Interpréter graphiquement ce résultat. 4.L’objectif est de déterminer le réelαsupérieur ou égal à 1 pour lequelA1(α)A. a.Démontrer que, sur l’intervalle [1 ;∞[, l’équationA1(x)Aest équi-valente à :x2 ln(1x).
Polynésie01septmerbe1998
Baccalauréat S
L’intégrale de septembre 1998 à juin 1999
b.Étudier le sens de variations de la fonctionhdéfinie sur l’intervalle [1 ;∞[ parh(x)x2 ln(1x). Démontrer que, sur l’intervalle [1 ;∞[, l’équationx2 ln(1x) admet exactement une solution et que celle-ci, noteα, vérifie la condition 2α3. c.Déterminer, en indiquant la méthode utilisée, un encadrement d’ampli-tude 103deα. Déterminerf(α) sous la forme d’une fonction rationnelle deαpuis l’en-cadrement def(α), que vous pouvez déduire du précédent, d’amplitude 2×104.
Polynésie
11
septembre 1998