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Mathématiques 2007 Scientifique Baccalauréat général

3 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006
EXERCICE1 Commun à tous les candidats
4 points
1.Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : xLa fonctionxe estl’unique fonctionϕdérivable surRtelle queϕ=ϕ, et ϕ(0)=1. Soitaun réel donné. ax a.Montrer que la fonctionfdéfinie surRparf(x)=solution dee est l’équationy=a y. b.Soitgune solution de l’équationy=a.y. Soithla fonction définie surR ax parh(x)=g(x)e .Montrer quehest une fonction constante. c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équationy=a y. 2.On considère l’équation différentielle (E) :y=2y+cosx. a.Déterminer deux nombres réelsaetbtels que la fonctionf0définie sur Rpar :f0(x)=acosx+bsinxsoit une solutionf0de (E). b.Résoudre l’équation différentielle (E0) :y=2y. c.Démontrer quefest solution de (E) si et seulement siff0est solution de (E0). d.En déduire les solutions de (E).   π e.Déterminer la solutionkde (E) vérifiantk=0. 2
EXERCICEpoints2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité   Le planPest rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. 1.On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelleSla réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB).   Montrer que l’imageMparSd’un pointMd’affixeza pour affixez= −z+ 1+i. 2.On noteHl’homothétie de centre A et de rapport2. Donner l’é criture com plexe deH. 3.On notefla composéeHS. a.Montrer quefest une similitude. b.Déterminer l’écriture complexe def.  4.On appelleMl’image d’un pointMparf.  a.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM= −2AM est la droite (AB).  b.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM=2AM est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
Baccalauréat S
EXERCICE2 5points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité   Le planPO,est rapporté à un repère orthonormal directu,v. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. Soitfl’application qui à tout pointMde P d’affixe non nullezassocie le pointM d’affixe :   1 1 z=z+. 2z 1.Soit E le point d’affixezE= −i. Déterminer l’affixe du point E , image de E par f 2.Déterminer l’ensemble des pointsMtels queM=M. 3.On note A et B les points d’affixes respectives 1 et1. SoitMun point distinct des points O, A et B. a.Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de 0, 1 et1, on a :   2 z+1z+1 =. z1z1
MBMB b.En déduire une expression deen fonction depuis une expres MAMA    −→−→ −−→−−→   sion de l’angleMA ,MB enfonction de l’angleMA ,MB 4.SoitΔla médiatrice du segment [A, B]. Montrer que siMest un point deΔ distinct du point O, alorsMest un point deΔ. 5.SoitΓle cercle de diamètre [A, B]. a.Montrer que si le pointMappartient àΓalors le pointMappartient à la droite (AB). b.Tout point de la droite (AB) atil un antécédent parf?
EXERCICEpoints3 5 Commun à tous les candidats   L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. −→ 1.On considère le point A de coordonnées (2 ; 8 ; 4) et le vecteurude coor données (1 ; 5 ;1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et −→ de vecteur directeuru. 2.On considère les plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives xyz=7 etx2z=11. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représenta tion paramétrique de leur droite d’intersection, notée (d). Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ;1 ; 1) est un vecteur directeur de (d). 3.Démontrer que les droites (d) et (d) ne sont pas coplanaires. 4.On considère le point H de coordonnées (3 ; 3 ; 5) et le point Hde coordon nées (3 ; 0 ;4).   a.Vérifier que H appartient à (dappartient à () et que Hd).   b.Démontrer que la droite (HH ) est perpendiculaire aux droites (d) et (d). c.Calculer la distance entre les droites (d) et (d), c’estàdire la distance HH . −−−→−→   5.Déterminer l’ensemble des pointsMde l’espace tels queMHHH=126.
Amérique du Sud
2
novembre 2006
Baccalauréat S
EXERCICE4 Commun à tous les candidats
6 points
  2 1.On considère la fonctionf1définie sur [0 ;+∞[ parf1(x)=2x2+lnx+1 . a.Déterminer la limite def1en+∞. b.Déterminer la dérivée def1. c.Dresser le tableau de variations def1. 2.Soitnun entier naturel non nul. On considère la fonctionfn, définie sur [0 ;+∞[ par   2 lnx+1 fn(x)=2x2+. n a.Déterminer la limite defnen+∞. b.Démontrer que la fonctionfnest strictement croissante sur [0 ;+∞[. c.Démontrer que l’équationfn(x)=0 admet une unique solutionαnsur [0 ;+∞[ d.Justifier que, pour tout entier natureln, 0<αn<1. 3.Montrer que pour tout entier naturel non nuln,fn(αn+1)>0. 4.Étude de la suite (αn) a.Montrer que la suite (αn) est croissante. b.En déduire qu’elle est convergente.   2 lnα+1 n c.Utiliser l’expressionαn=1pour déterminer la limite de 2n cette suite.
Amérique du Sud
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novembre 2006