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Mathématiques Spécialité 2002 Littéraire Baccalauréat général

32 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2002 sur Bankexam.fr.
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Baccalauréat L 2002 L’intégrale de septembre 2001 à juin 2002
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France septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Amérique du Nord juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Antilles juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Centres étrangers juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 France juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Japon juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 La Réunion juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Liban juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Polynésie juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Baccalauréat L

L’année 2002

2

Baccalauréat L France septembre 2001

Durée de l’épreuve : 3 heures

Coefficient : 4

Une feuille de papier millimétré, qui sera utilisée dans le problème, est remise au candidat avec le sujet. L’usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

E XERCICE 1
   u + 1v = 0  2 1. Résoudre le système  1 3   u− v = 4 2 2. Soit f une fonction définie sur R par

4 points

(u et v réels).

f (x) = aex +

b ex + 1

(a

et b réels).

Trouver les valeurs des réels a et b, sachant que la courbe représentative de → → − − la fonction f dans un repère O, ı ,  passe par O et que la tangente à la 3 courbe en ce point est parallèle à la droite ∆ d’équation y = x − 2. 2 3. Soit g la fonction définie sur R par g (x) = ex − b. Résoudre dans R l’inéquation g (x) 2 ex + 1 1. .

a. Résoudre dans R l’équation g (x) = 0.

E XERCICE 2 5 points Dans cet exercice, les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Une urne A contient trois pièces de monnaie en cuivre et deux pièces en argent. Une urne B contient quatre pièces de monnaie en cuivre et une pièce en argent. On considère que dans chaque urne, toutes les pièces étant indiscernables au toucher, chaque pièce a la même probabilité d’être tirée. 1. On enlève une pièce de l’urne A et une pièce de B. Quelle est la probabilité pour que, à l’issue de ces deux opérations, les deux urnes aient la même composition ? 2. Les urnes ont la composition donnée au début de l’exercice. On tire simultanément trois pièces de l’urne A ; ces pièces sont ensuite placées dans B. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de pièces en cuivre contenues dans B à l’issue de ces opérations. a. Montrer que la valeur minimale prise par X est 5. b. Déterminer la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X .

Baccalauréat L

L’année 2002

3. Les urnes ont à nouveau la composition donnée au début de l’exercice. On tire une pièce de A, que l’on place dans B, puis on enlève une pièce de B. Quelle est la probabilité pour que l’urne B ne contienne que des pièces en cuivre à l’issue de ces opérations ?

P ROBLÈME 11 points On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés. On considère la fonction f définie sur ]1 ; +∞[ par f (x) = 2x + ln(x − 1) − ln x. → → − − Le plan étant rapporté à un repère orthogonal O, ı ,  , on appelle C la courbe représentative de f . Partie A : étude de la fonction f et de la courbe C 1. Montrer que f ′ (x) = 2 + 2. ]1 ; +∞[. 1 x(x − 1) et en déduire le sens de variations de f sur

a. Calculer la limite de f en 1. 1 x et en déduire la limite de f en +∞.

b. Vérifier que f (x) = 2x + ln 1 −

3. Dresser le tableau de variations de f . 4. Montrer que la droite d’équation y = 2x est asymptote à la courbe C en +∞. Étudier la position de C par rapport à ∆. 5. Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 3], l’équation f (x) = 4 admet une unique solution α. Donner une valeur approchée de α au centième près. 6. Construire la courbe C et la droite ∆ sur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées). 7. a. Montrer que la fonction F définie par F (x) = x 2 + (x − 1) ln(x − 1) − x ln x est une primitive de f sur ]1 ; +∞[.

b. En déduire l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine du plan compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 2 et x = 3. Partie B : étude d’une suite On considère la suite (un )n supérieur ou égal à 2).

2

de terme général un = f (n) − 2n (n entier naturel

1. Étudier le signe de un en fonction de n. 2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose S n = u2 + u3 + . . . + un . 3. 1 a. Montrer que S n = ln . n b. Déterminer la limite de la suite (S n )n

2.

France

4

septembre 2001

Baccalauréat L Amérique du Nord juin 2002
Durée : 3 heures LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L’EXERCICE 1 ET L’EXERCICE 2 ET AU CHOIX SOIT L’EXERCICE 3 SOIT L’EXERCICE 4. L’usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve. L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies. Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition du candidat

E XERCICE 1 OBLIGATOIRE

8 points

Partie A Soit g la fonction définie sur [-1 ; 8] par g (x) = x 2 − 6x + 5 et représentée cidessous.

-2

22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 → − 0 -1 -1 0 → O − ı -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.

a. Résoudre graphiquement l’équation g (x) = 0.

Baccalauréat L

L’année 2002

b. En déduire le signe de g (x) sur l’intervalle [- 1 ; 8]. 2. a. La fonction g admet-elle un minimum sur [- 1 ; 8] ? b. Vérifier que g (x) = (x − 1)(x − 5) pour x appartenant à [- 1 ; 8]. c. Retrouver le signe de g (x) â l’aide d’un tableau. c. Résoudre graphiquement l’équation g (x) = −3.

Partie B Soit f la fonction définie sur [-1 ; 8] par f (x) = 0, 2x 3 − 1, 8x 2 + 3x + 4. On appelle (C ) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère ortho→ → − − normal O, ı ,  (unité de longueur 1 cm). a. Calculer la dérivée de f notée f ′ . b. Vérifier que f ′ (x) = 0, 6g (x) pour tout x de [- 1 ; 8] (g est la fonction étudiée dans la partie A). En déduire le signe de f ′ (x) et le tableau des variations de la fonction f sur [- 1 ; 8]. → → − − c. Tracer (C ) dans le repère O, ı ,  .

E XERCICE 2

7 points

Un hypermarché, à l’occasion de son 25e anniversaire, organise le jeu suivant : Dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter. Chaque client doit gratter seulement 3 cases. - si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d’achat de 100 euros, - si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d’achat de 5 euros, - dans tous les autres cas, le bulletin est perdant. Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu’un seul bulletin dans cette urne. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. Calculer les probabilités des évènements suivants : a. A « un client du magasin gagne un bon d’achat de 100 euros après un passage en caisse ». b. B « un client du magasin gagne un bon d’achat de 5 euros après un passage en caisse ». 2. En déduire que la probabilité de l’évènement « un client ne gagne rien au grat3 tage » est . 4 3. Monsieur M. effectue quatre passages en caisse durant la période du jeu. Determiner la probabilité que Monsieur M. gagne exactement deux bons d’achats. 4. Pour la loterie, 30 000 bulletins ont été déposés dans l’urne. On tire successivement et sans remise 100 bulletins de l’urne. Chaque bulletin tiré gagne un bon d’achat de 100 euros. a. Déterminer la probabilité qu’un bulletin déposé dans l’urne soit gagnant lors de ce tirage. b. Démontrer que la probabilité qu’un bulletin soit perdant après le grat1 . tage et gagnant après le tirage est 400
Amérique du Nord

6

juin 2002

Baccalauréat L

L’année 2002

E XERCICE 3

5 points

Partie A : Étude d’une suite Soit la suite (un ) définie par u0 = 1 500 000 et un+1 = 1, 013un + 1 300 pour tout entier naturel n. 1. Calculer u1 et u2 . 2. On pose pour tout entier naturel n, v n = un + 100 000. a. Calculer v 0 . b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 = 1, 013v n . En déduire la nature de la suite (v n ). c. Déterminer v n en fonction de n. d. Calculer u18 . Le résultat sera arrondi à l’entier le plus proche. Partie B Application Pour cette partie, tous les résultats numériques seront arrondis à l’entier le plus proche. Une étude de la population d’un département laisse apparaître les informations suivantes : – la population est estimée à 1 500 000 habitants en 2002, – le taux d’accroissement naturel est de 1, 3 % par an, – le flux migratoire (différence entre le nombre de personnes entrant dans le département et le nombre de personnes en sortant) est estimé à 1 300 habitants par an. On estime que ces données resteront constantes au fil des ans. 1. Déterminer la population estimée de ce département en 2003 et en 2004. 2. On pose w 0 = 1 500 000. Pour tout entier naturel n, on désigne par w n une estimation du nombre d’habitants de ce département durant l’année (2002 + n). a. Vérifier que w n+1 = 1, 013w n + 1 300 pour tout entier naturel n. En déduire que un = 1 600 000 × (1, 013)n − 100 000.

b. En utilisant la partie A, déduire une estimation de la population de ce département en 2020. E XERCICE 4 5 points

Partie A : Étude de fonction Soit f la fonction définie sur [0 ; 200] par f (x) = 100x + 49. On appelle (C ) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal → → − − O, ı ,  (unité : 1 mm). 1. Calculer la dérivée de f , notée f ′ . 2. Étudier le signe de f ′ (x) et en déduire le sens de variations, de la fonction f sur [0 ; 200]. 3. Tracer (C ). 4. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 130. Partie B Application La distance de freinage jusqu’à l’arrêt d’un véhicule automobile est fonction de sa vitesse avant le freinage.

Amérique du Nord

7

juin 2002

Baccalauréat L

L’année 2002

En notant x cette distance exprimée en m (x variant de 10 à 200) et y cette vitesse exprimée en km·h−1 . Les experts d’assurance automobile estiment que v = f (x) où f est la fonction étudiée dans la partie A. 1. Quelle est la vitesse d’un véhicule pour lequel une distance de 100 m est nécessaire pour s’arrêter ? 2. a. Quelle est la distance de freinage jusqu’à l’arrêt d’un véhicule roulant à 130 km·h−1 ? b. Le code de la route impose un délai de 2 secondes entre chaque véhicule. Ce délai est-il suffisant si le véhicule roule à 130 km·h−1 ? (Justifier votre réponse.)

Amérique du Nord

8

juin 2002

Baccalauréat L Antilles-Guyane juin 2002

Durée : 3 heures

7 points E XERCICE 1 OBLIGATOIRE Les trois parties de l’exercice sont indépendantes. Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Dans cet exercice, on effectue selon différentes modalités, des tirages au hasard parmi les huit cartes que constituent les quatre dames et les quatre rois d’un jeu de cartes. Préliminaire : Écrire le triangle de Pascal donnant les nombres n pour n inférieur ou égal à 8. p I - Première modalité On tire simultanément au hasard trois cartes parmi les huit cartes. 1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 2. Déterminer le nombre de tirages qui comprennent trois rois. 3. Déterminer la probabilité de réaliser, un tirage de trois cartes de même niveau, c’est-à-dire trois rois ou trois dames. II. Deuxième modalité : on pourra s’aider d’un arbre. On tire successivement au hasard deux cartes parmi les huit cartes. Le tirage est sans remise. 1. Calculer la probabilité de l’événement R1 « La première carte tirée est un roi ». 2. Sachant que la première carte tirée est un roi, calculer la probabilité d’obtenir encore un roi pour la deuxième carte. 3. Déterminer la probabilité d’obtenir deux rois. 4. Quelle est la probabilité d’obtenir deux figures de même niveau, c’est-à-dire deux rois ou deux dames ? 5. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir deux figures de même niveau ? III. Troisième modalité On tire une carte que l’on remet dans le paquet de huit cartes avant d’effectuer le tirage suivant. Les tirages sont indépendants. 1. Calculer la probabilité d’obtenir un c ?ur quand on tire une carte parmi les huit choisies. 2. On effectue quatre tirages successifs. a. Déterminer la probabilité p 1 d’obtenir quatre fois un coeur. b. Déterminer la probabilité p 2 d’obtenir exactement deux fois un coeur. 3. À l’aide de la calculatrice, donner le nombre de tirages nécessaires pour que la probabilité de n’obtenir que des c ?urs soit inférieure à 10−6 .

E XERCICE 2 OBLIGATOIRE Partie A On considère les fonctions f et g définies sur R par : f (x) = 1 10 x 3 − 6x 2 + 120x ; g (x) = 40x.

6 points

Baccalauréat L

L’année 2002

1.

a. Calculer le nombre dérivé f ′ (x) et vérifier que f ′ (x) = b. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R. c. Calculer f (10), f (20) et f (40).

3 10

(x − 20)2 .

2. La courbe (C f ) représentative de la fonction f est tracée sur la feuille annexe que l’on remettra avec la copie. a. Déterminer une équation de la tangente TA à la courbe (C f ) au point A d’abscisse 10. b. Tracer sur la feuille annexe la courbe (C g ) représentative de la fonction g. c. Montrer que la courbe (C f ), la courbe (C g ) et la droite TA se coupent au point d’abscisse 40. En déduire le tracé de la tangente TA que l’on réalisera sur la feuille annexe. Partie B Le coût exprimé en euros d’une production est fonction du nombre d’unités x fabriquées est égal à f (x) où f est la fonction étudiée dans la partie A. On prendra x dans l’intervalle [0 ; 45]. 1. Montrer que pour x unités produites et vendues 40 euros l’unité, le bénéfice en euros s’exprime par g (x) − f (x). a. Déterminer graphiquement les solutions de l’équation f (x) = g (x) sur l’intervalle [0 ; 45]. On fera les traits de construction utiles et on vérifiera que les valeurs entières lues sont solutions.

2.

b. Déterminer l’intervalle auquel doit appartenir le nombre d’unités fabriquées x pour que l’entreprise soit bénéficiaire.

AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4 E XERCICE 3 6 points Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes. Les résultats demandés seront arrondis au centième. Pour effectuer un achat dont le coût s’élève à 1 600 euros un client a le choix entre deux formes de paiement. I. Dans cette question, le premier versement s’élève à 150 euros et on effectue une suite de versement notée (an ) qui vérifie a0 = 150 et, pour tout entier n : an+1 = 0, 95an + 100. 1. Calculer le deuxième versement a1 et le troisième a2 . 2. Montrer qu’avec cinq versements, la somme de 1600 euros est remboursée. II. Dans cette question, le premier versement s’élève à 200 euros, puis chaque versement est égal au précédent diminué de 5 %. On note (b n ) la suite des versements avec b 0 = 200. 1. Vérifier que b 1 = 190 et calculer b 2 et b 3 2. Exprimer le terme b n+1 en fonction de b n . En déduire la nature de la suite (b n ) et donner l’expression du terme général b n en fonction de n. 3. Calculer en fonction de n la somme S n égale à b 0 + b 1 + · · · + b n des (n + 1) premiers versements. Calculer les sommes S 8 et S 9 et interpréter le résultat.
Antilles-Guyane

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juin 2002