Sujet bac ES 2004 Maths Obligatoire

Education Nationale

Description

Fonctions, Probabilités
Sujet du bac 2004, Terminale ES, Liban

Sujets

• sujet du bac
• sujets bac
• bac es
• sujet bac
• bac

Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 473
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESLibanjuin2004
L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée.
Desélémentsdeformulairesontjointsausujet.
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Sur le document réponse n° 1 ci-joint, la courbeC représente, dans le plan muni1
d’unrepèreorthogonal,unefonction f définiedansl’intervalle[−1; 6].
OnsaitquelacourbeC :1
• coupe l’axe des ordonnées en le point A, d’ordonnée 3, et l’axe des abscisses
enlepointB,d’abscisseb,
• admetunetangenteparallèleàl’axedesabscissesaupointd’abscisse2,
• admetladroiteT pourtangenteaupointA.A
PartieAÉtudegraphiquedelafonction f
Répondre sans justification aux questions A.1, A.2, A.3 et A.4 sur le document ré-
ponsen°1.
PartieBÉtudedelafonction g =lnf
Onétudiemaintenant lafonction g quià x associe g(x)=ln[f (x)],oùlndésignela
fonctionlogarithmenépérien.
Chacunedesréponsesdevraêtrejustifiéeavecsoinsurlacopie.
B.1Préciserl’intervallededéfinitionIdelafonction g.
B.2Déterminerlalimitedelafonction g quand x tendversb.
B.3 Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle I. Dresser son tableau de
variations.
′ ′B.4Calculer g (0)puis g (2).
B.5Résoudre,dansI,l’inéquation g(x)>−ln2.
OnutiliseralesrésultatsdelapartieA.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
−3Lesrésultatsapprochésserontdonnéssousformedécimale,arrondisà10 .
Pourrépondreauxquestionsonpourras’aiderd’arbrespondérés.
Uncentred’entraînementréputésevoitconfierdetrèsnombreuxchevaux,juments
etmâles,spécialisésentrotteursouengalopeursselonleursaptitudes.Ainsilecentre
comprend62%degalopeurs,30%dejumentsdont35%fontdugalop.
Ondéfinitlesévènements suivants:
• J:«Lechevalestunejument»,
• T:«Lechevalestuntrotteur».
Unlad,chargédessoins,choisitauhasardunchevalducentre.
1. Quelleestlaprobabilitéquelechevalchoisisoituntrotteur?
2. a. Quelleestlaprobabilitéquelechevalchoisisoitunejumentquifassedu
galop?
b. Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un mâle qui fasse du
galop?
3. Leladachoisiunmâle.Quelleestlaprobabilitéquecenesoitpasuntrotteur?
Tôt le matin, il faut transporter quatre chevaux, du centre d’entraînement à
l’hippodrome. Pourcela,unapprentichoisit leschevaux auhasardetdema-
nière indépendante; on admet que le nombre de chevaux dans ce centre estBaccalauréatESjuin2004
suffisamment grand pour assimiler le choix des quatre chevaux à des tirages
successifsavecremise.
4. a. Calculer la probabilité qu’il y ait exactement deux trotteurs parmi les
quatrechevauxchoisis.
b. Calculer la probabilitéqu’ilyaitaumoins ungalopeur parmilesquatre
chevauxchoisis.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Lors d’une partie defléchettes, un joueur envoie une à une des fléchettes vers une
cible.La tentative est réussie quand la fléchette atteint la cible,elle échoue dansle
cascontraire.
rePourla1 fléchette,leschancesderéussiteoud’échecsontégales.
Pour chaque lancer suivant, la probabilité qu’il réussisse dépend uniquement du
résultatdulancerprécédent:
• Elleestde0,7quandlelancerprécédentatteintlacible;
• Elleestde0,4quandilaéchoué.
Onnote:
e
• C l’évènement «Lan fléchetteatteintlacible»,n
e
• E l’évènement «Len lanceraéchoué».n
1. La partie necomporte que deux fléchettes. Traduirela situation à l’aide d’un
earbre pondéré. En déduire la probabilité pour que la 2 fléchette atteigne la
cible.
Danstoutelasuitedel’exercice,n désigneunentiersupérieurouégalà1et
onconsidèrequelejeusedérouleavecn fléchettes.
eOndésigneparc laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsdun lanceretparen n
laprobabilitéquecelanceréchoue.
eOnnoteP =[c e ]lamatricelignequitraduitl’étatprobabilistelorsdunn n n
lancer.
eLamatriceP =[0,5 0,5]traduitdoncl’étatprobabilisteinitiallorsdu1 lan-1
cer.
2. a. Représenterlasituationàl’aided’ungrapheprobabiliste.
b. Donnerl’étatP .2
3. a. À l’aide de la relation P = P ×A où A est la matrice de transitionn+1 nµ ¶
0,7 0,3
,exprimer la probabilité c d’atteindre la cible lorsdu (n+n+10,4 0,6
e1) lancerenfonctiondesprobabilitésc ete .n n
b. Montrerquepourtoutentier n>1,onac =0,3c +0,4.n+1 n
4
4. Soitlasuite(u )définie,pourtoutentiernatureln>1,paru =c − .n n n 7
a. Montrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquederaison0,3.n
b. Endéduireu puisc enfonctionden.n n
c. Calculerlalimitedec quandntendversl’infini.Interprétercettelimite.n
EXERCICE 3 10points
Communàtouslescandidats
PartieAÉtudedepropriétésdequelquesfonctions
Onconsidèrelesfonctions f et g définiessurl’intervalle[0;900]par:
0,002x 0,002xf(x)=7 500e et g(x)=15e .
BaccalauréatLiban 2BaccalauréatESjuin2004
1. Montrerque f estuneprimitivedelafonction g.
f(x)
2. Soitlafonctionh définiesur[0;900]parh(x)= .
x
a. Calculerlalimitedeh en0.
b. Calculer la dérivée de h et montrer que la fonction h admet un mini-
mum,notéb,pourunevaleurdex,notée a.
oDans le repère orthogonal ci-joint (document réponse n 2) sont tracées les
courbesC etC représentativesdesfonctionsg ethdansl’intervalle[0;900]g h
ainsiqueladroite(D)d’équation y=45.
3. Montrer que les courbes C et C représentatives des fonctions g et h seg h
coupentaupoint I(a ; b).
4. a. Résoudre dans [0; 900] l’équation g(x)=45. Soit x la solution de cette0
équation.
b. Justifier,quel’équation h(x)=45possèdeexactementdeuxsolutions x1
et x dansl’intervalle ]0;900] (x désigneralapluspetitedesdeuxsolu-2 1
tions, x laplusgrande).2
Donnerunevaleurarrondieàl’unitéde x et x .1 2Zx1
5. Montrerque [45−g(x)]dx= f(0).
0
On note E le point d’intersection de la droite (D) avecC , R et F les pointsg
d’intersection de cette droite (D) avecC , tandis que B et L désignent lesh
pointsd’intersectiondel’axedesordonnéesavecrespectivementladroite(D)
etlacourbeC .g
6. Placersurl’axedesabscisseslesnombresa, x , x et x .0 1 2
PartieBÉtudedecoûts
Rappels:
• Le coût marginal d’une production q assez grande est le coût de l’unité sui-
evante,c’estàdiredela(q+1) unité.Lafonction«coûtmarginal»C estconsidéréem
commeladérivéedelafonction«coûttotal»C .T
C (q)T
• Lecoûtmoyenunitaired’uneproductionq estlequotient .
q
Uneentreprisepeutproduirejusqu’à900unitésparjour.
Sescoûtsfixesjournalierss’élèventà7 500€;
• Toutesaproductionjournalièreestvendueauprixunitairede45€;
• Pour tout x de l’intervalle ]0; 900], le coût marginal de x unités est modélisé
par:
C (x)=g(x),oùg estlafonctiondéfiniedanslapartieA.m
1. a. Justifierquelecoûttotaljournalier deproductionestdéfiniparla fonc-
tion f étudiéedanslapartieA.
b. EnutilisantlerésultatdelaquestionA.5.,endéduireledomaineduplan
dont l’aire représente les coûts fixes journaliers. (On hachurera le do-
mainesurledocumentréponse).
2. Quereprésentelavaleurh(x)?
3. Justifier, à partir du graphique, que le bénéfice journa1ier de l’entreprise est
positiflorsquelaproductionestcompriseentrex et x .1 2
−1 e4. a. Calculer,à10 près,lebénéficeréalisésurlafabricationdela401 unité.
Onferaapparaîtrecebénéficesurlegraphiqué.
b. En déduire ce que représente l’aire du domaine, délimité par la droite
d’équation x=x ladroited’équation x=x etlescourbes(D)etC .1 0 g
BaccalauréatLiban 3BaccalauréatESjuin2004
oDocument-réponsen 1,àrendreaveclacopie(exercice1)
8y
(T )A7
6
5
4
A3
2
1
1
xB0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6O 1 6
-1
-2
-3
C1-4
A.1.Liregraphiquement:
f(−1)= ; f(0)= ;f(2)= ; f(5)= ;f(6)=
A.2.Résoudregraphiquementsur[−1; 6].
1
a. f(x)=0 x=??? b. f(x)> x∈???
2
A.3.Déterminergraphiquement:
′ ′a. f (0)= b. f (2)=
A.4.Résoudregraphiquementsur[−1; 6]:
′f (x)>0 x∈???
BaccalauréatLiban 4BaccalauréatESjuin2004
oDocument-réponsen 2,àrendreaveclacopie(exercice3)
y
Cg
Ch
(D)R F
B
E y=45
I
L
10
x
O 100 900
BaccalauréatLiban 5