Sujet du bac ES 2005: Mathématique Obligatoire

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Description

Probabilités, Etude de courbe, QCM, Suites
Sujet du bac 2005, Terminale ES, Amérique du Nord

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

Durée:3heures
er
[BaccalauréatESAmériqueduNord1 juin2005\
EXERCICE1 3points
Commun touslescandidats
Lesdeuxquestionssontindépendantes.
−2Lesrésultatsserontarrondisà 10 .
Legouvernementd’unpaysenvisagedebaisserunimpôtde30%encinqans.
1. Onsupposequelepourcentagedebaisseestlemêmechaqueannée.
Vérifierquecepourcentagedebaisseannuelestalorségalàenviron6,89%.
2. Lapremièreannéecetimpôtbaissede5%,ladeuxièmeannéelabaisseestde
1%etlatroisièmeannéede3%.
a. Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois
premièresannées?
b. Pouratteindresonobjectifquelpourcentageannueldebaissedoitdéci-
dercegouvernement,ensupposantquecepourcentageestlemêmesur
lesdeuxdernièresannées?
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Letableausuivantdonnel’évolutionduchiffred’affaires(C.A.),enmillionsd’eu-
ros,surlapériode1994-2003.
Année 1994 1997 1999 2001 2003
Rangx 1 4 6 8 10i
C.A.y 176 209 284 380 508i
1. LenuagedepointsM (x )estreprésentéci-dessousdansunrepèreortho-i i ; yi
gonal.Unajustementaffinesemble-t-iladapté?
y
M5500
400
M4
300 M3
M2200
M1
100
x
2 4 6 8 10
2. Onposez =lny .i i
−2a. Calculer, enarrondissantà10 près,pouri variantde1à5,lesvaleurs
z ,associéesauxrangsx dutableau.i i
b. Construire le nuage de points N (x ; z ) dans le repèreorthogonal sui-i i i
vant:
-surl’axedesabscisses,onplaceraOàl’origineetonchoisira1cmpour
représenter1année,
-surl’axedesordonnées,onplacera5àl’origineetonchoisira1cmpour
représenterlenombre0,1.erBaccalauréatES1 juin2005
3. a. Détermineraveclacalculatriceuneéquationdeladroited d’ajustement
de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients ar-
−3rondisà10 près)ettracerladroited danslerepèreprécédent.
xb. Endéduireunerelationentrey etx delaformey=A×k .(arrondirA à
−2l’entierprèsetk à10 près)
4. a. Tracerladroited danslemêmerepèrequeceluidunuagedepoints(N ).i
b. Donneruneestimation, arrondieaumillier d’euros,duchiffred’affaires
en2005.
c. Àpartirdequelleannéepeut-onprévoirquelechiffred’affairesserasu-
périeurà1milliardd’euros?
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsayantsuivilaspécialitémathématique
y
4
3
H H1 2
2
1
1
0
O 0 1 2 3 4 5 6x 71
Les courbesH etH représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont res-1 2
pectivementpouréquation
1 2
y= et y= .
x x
OnnoteD ledomainedélimitéparlescourbesH etH etlesdroitesd’équa-2 1 2
tionx=2etx=3.
′On noteD le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbeH et les12
droitesd’équationx=2etx=3.
′1. Colorier lesdomainesD etD d’unecouleur différenteetmontrerqu’ilsont2 2
lamêmeaire.
Soitn un entier naturelstrictement positif. Onnoteu l’airedudomaineDn n
délimitéparlescourbesH etH etlesdroitesd’équationx=n etx=n+1.1 2
2. Exprimeru enfonctionden.n
3. Montrerquelasuite(u )estdécroissante.n
2Onpourracomparerlesnombres n(n+2)et (n+1) .
AmériqueduNord 2erBaccalauréatES1 juin2005
4. Étudierlaconvergencedelasuite(u ).n
5. Déterminer la plus grande valeur de n telle que l’aire du domaineD resten
1
supérieureà d’unitéd’aire.SoitN cettevaleur.
10
6. Calculer l’aire du domaine délimité par les courbesH etH et les droites1 2
d’équationx=1etx=N.
EXERCICE3 6points
Communàtouslescandidats
Pourchacunedesquestionsci-dessous,uneseuledesréponsesproposéesestexacte.
L’exerciceconsisteàcochercetteréponseexactesansjustification.
Barème: Une bonne réponse rapporte 1 point; une mauvaise réponse enlève 0,5
point.L’absencederéponsen’apportenin’enlèveaucunpoint.
Siletotaldepointsestnégatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest0.
COMPLÉTERLEDOCUMENTRÉPONSEDONNÉENANNEXE
QUESTIONS RÉPONSES
1.Soitunesériestatistiqueàdeuxvariables
(x ; y).Lesvaleursdex sont1,2,5,7,11,13etune (6,5;30,575)
équationdeladroitederégressiondey enx parla (32,575;6,5)
méthodedesmoindrescarrésesty=1,35x+22,8. (6,5;31,575)
Lescoordonnéesdupointmoyensont:
2.(u )estunesuitearithmétiquederaison−5 Pourtoutentiern, u −u =5n n+1 n
Laquelledecesaffirmationsestexacte? u =u +4010 2
u =u +203 7
Pourtoutx de]−∞;−1[∪]1;+∞[
23.L’égalitéln(x −1)=ln(x−1)+ln(x+1)estvraie Pourtoutx deR−{−1; 1}.
Pourtoutx de]1;+∞[
1
−
2
x −xe −1 e −1
4.Pourtoutréelx,lenombre égalà:
x −xe +2 e +2
−x1−e

−x1+2e
2
ln
3Z Z xln3 ln31 e 3
5.OnposeI= dx etJ= dx ln
x xe −1 e −1 2ln2 ln2
3
alorslenombreI−Jestégalà
2 " "
ln(0,5)
S= −∞;
ln(0,98)" "
ln(0,5)
6.L’ensembledessolutionsdel’inéquation S= ;+∞
ln(0,98)Ã ! " "x
2 0,5
60,5est S= ;+∞1− ln
100 0,98
AmériqueduNord 3erBaccalauréatES1 juin2005
EXERCICE4 6points
Communàtouslescandidats
Onareprésentéci-dessouslacourbereprésentativeΓ,dansunrepèreorthonormal,
d’unefonction f définiesurR.La courbeΓpasse par les points A(0;2) etC(−2 ; 0)
et la droite(AB) est la tangente en A àΓ. La tangente àΓ en son point D d’abscisse
−1estparallèleàl’axedesabscisses.
3D
A
2
1
C B
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1. Parmilestroisreprésentationsgraphiquesci-dessous,unereprésentelafonc-
′tiondérivée f de f etuneautrereprésenteuneprimitiveF de f surR.
Courbe1 Courbe2 Courbe3
4
O
−4 −2 2
O
−4 −2 22 −2
−2
−4
O
−4 −2 2 −4
−2 −6
′Déterminer la courbe associée à Ia fonction f et celle qui est associée à la
fonctionF.
Vousexpliquerezavecsoinlesraisonsdevotrechoix
2. a. Déterminer,àl’aidedesrenseignementsfournisparl’énoncé,lesvaleurs
′de f(0)etde f (0).
αxb. Onsupposeque f(x)estdelaforme f(x)=(x+K)e oùK etαsontdes
constanteréelles.
′Calculer f (x), puis traduire les renseignements trouvés à la question
précédenteparunsystèmed’équationsd’inconnuesK etα.
−xEndéduireque f estdéfiniepar f(x)=(x+2)e .
−x3. a. Montrerquelafonctionϕdéfinieparϕ(x)=(−x−3)e estuneprimitive
de f.
b. En déduire la valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface
hachurée.
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du ré-
sultat.
AmériqueduNord 4