Sujet du bac ES 2006: Mathématique Obligatoire

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Probabilités, Courbes, QCM
Sujet du bac 2006, Terminale ES, Polynésie

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Publié le 01 janvier 2006
Nombre de lectures 61
Langue Français
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Baccalauréat ES Polynésie juin 2006
EXERCICE14 points Commun à tous les candidats Pour chacune des quatre questions de ce Q.C.M., une seule des trois propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la bonne affirmation. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte1point. Une réponse inexacte enlève0,5point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à0. 1.Si la fonctionfest strictement croissante surRalors l’équationf(x)=0 ad met : Au moins une solution. Au plus une solution. Exactement une solution. 2.Si la fonctionfest continue sur [a;b] et sif(a) etf(b) sont de signes contraires, alors l’équationf(x)=0 admet : Au moins une solution. Au plus une solution. Exactement une solution. 3.Si la fonctionfest continue et positive sur [a;b] etCfsa courbe représenta tive dans un repère orthogonal. En unités d’aire, l’aireAdu domaine délimité parCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=best donnée par la formule : a Af(x) dx. b b Af(x) dx. a A=f(b)f(a). 4.%. Si l’onUn produit coûte initialement 500 euros. Son prix augmente de 20 veut revenir au prix initial, il faut: Diminuer le prix de 20 %. 1 Diminuer le prix de%. 20 Diminuer le prix de 100 euros.
EXERCICE25 points On sait que la courbeCfd’une fonction numériquefdéfinie sur ]2 ;+ ∞[, passe par les points O(0 ; 0) et A(1 ;0), que la tangente àCfen O a pour coefficient direc teur ln(2) et la tangente àCfen A a pour équationy=x+1. 1. a.À l’aide des données cidessus, donner la valeur def(0), def(0), de f(1) et def(1). b.Donner une équation de la tangente en O àCf. 2.Nous savons qu’il existe des réelsa,betctels que pour toutx> −2 :   2 f(x)=a x+b x+cln(x+2).
a.Exprimerf(0) à l’aide dea,betc. b.Exprimerf(x) à l’aide dea,betc.   c.En déduiref(0) etf(1) à l’aide dea,betc. d.En déduire les valeurs dea,betc.
Baccalauréat ES juin 2006
EXERCICE25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela conduit au grapheGsuivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes :
E
D
C
F B G A 1.Le grapheGestil complet? Quel est l’ordre deG? 2. a.Sur les cartes d’embarquement, la compagnie attribue à chaque aéro port une couleur, de sorte que deux aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes. Proposer un coloriage adapté â cette condition. b.Que peuton en déduire sur le nombre chromatique deG? 3. a.Quelle est la nature du sous graphe formé par les sommets A, B, C et D? b.Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser pour pouvoir attribuer une couleur à chaque aéroport en respectant les conditions du 2.? 4. a.En considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, construire la ma triceMassociée àG. b.On donne :   6 9459 9248 7648 7649 3583 7665 786 9 92414 34512 63612 63613 3905 4868 310 8 76412 63611 17811 17711 8074 8297 369 8 M=8 76411 17712 63611 80711 1787 3694 829 9 35813 39011 80711 80712 6345 0957 807     3 7665 4864 8294 8295 0952 1163 181 5 7868 3107 3697 3697 8073 1814 890 Combien y atil de chemins de longueurs 8 qui relient B à D? 5. a.Pourquoi estil impossible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une et une seule fois? b.Montrer qu’il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n’existe pas déjà et que l’on précisera.
EXERCICE35 points Une enquête est réalisée auprès des clients d’une compagnie aérienne. Elle révèle que 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35 % des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons. Sur l’ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe. En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe.
On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d’être choisi. On note :
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A l’évènement « le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles » T l’évènement « le client interrogé voyage pour des raisons touristiques » D l’évènement « le client interrogé voyage pour des raisons autres que profession nelles ou touristiques » V l’évènement « le client interrogé voyage en première classe ».
Si E et F sont deux évènements, on notep(E) la probabilité que E soit réalisé, etpF(E) la probabilité que E soit réalisé sachant que F est réalisé. D’autre part, on notera E l’évènement contraire de E.
1.Déterminer :p(A),p(T),p(V),pA(V) etpT(V). 2. a.Determiner la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles. b.Déteiminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des misons tostiques. c.En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques. 3.Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons pro fessionnelles sachant qu’il a choisi la première classe. 4.Soit un entiernsupérieur ou égal à 2. On choisitnclients de cette compagnie aérienne d’une façon indépendante. On notepnla probabilité qu’au moins un de ces clients voyage en seconde classe. n a.Prouver que :pn=10,4 . b.Déterminer le plus petit entiernpour lequelpn>0,9999.
EXERCICE46 points On considère la fonctionfdéfinie pour toutxRpar :   2x f(x)=x+x+1 e .   Dans le repère orthonormalO,ı,d’unité graphique 2 cm sur chaque axe, on noteCfsa représentation graphique etCexpla représentation graphique de la fonc tion exponentielle. 1. a.Déterminer la limite defen+∞. 2x x b.limDonner les valeurs dexe etde limxe . x→−∞x→−∞ c.limEn déduire quef(x)=?0. Que peuton en déduire graphiquement x→−∞ 2. a.On notefla fonction dérivée defsurR, montrer que x f(x)=(x+1)(x+2)e . b.Étudier le signe def(x) surR. c.En déduire le tableau de variations de la fonctionf. 3.Déterminer le signe defsurR. 4. a.Préciser les positions relatives deCfet deCexp.   b.Construire ces deux courbes dans le repèreO,ı,.   2x 5.SoitFla fonction définie pour toutxRpar :F(x)=xx+2 e . Prouver queFest une primitive defsurR. 2 6. a.Déterminer la valeur exacte de l’aire en cmdu domaineDdélimité par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= −1 etx=0. 2b.du domaineDéterminer la valeur exacte de l’aire en cmDdélimité par lesDetCexp, et les droites d’équationsx= −1 etx=0.
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