Sujet du bac ES 2009: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Nuage de points et droite d'ajustement, loi de probabilité, QCM général et étude de fonctions et d'intégrales.
Sujet du bac 2009, Terminale ES, Asie

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
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• Langue: Français

Extrait

Bac ES – Asie – juin 2009 EXERCICE 1 (5 points) Commun  tous les candidats Le tableau ci-dessous donne le prix du kilogramme de pain dans un quartier dune grande ville depuis 2001 (les prix sont relevs au premier janvier). Anne 20002001 2002 2003 2004 2005 Rangx i  12 3 4 5 6 Prixy i du kilogramme de pain en euro 1,90 1,94 2,01 2,07 2,13 2,16 1.Calculer le pourcentage dvolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier entre les annes 2000 et 2005. On donnera une valeur arrondie au centime. 2.Reprsenter le nuage de points associ  la srie (x i ;y i ) dans un repre du plan. 3.(a) Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifi ? (b) Dterminer une quation de la droite (D) dajustement affine deyetxobtenue par la −3  mthodedes moindres carrs. Les coefficients seront arrondis  10prs. (c) Reprsenter la droite (D) dans le repre prcdent. (d) En admettant que le modle prcdent est valable pour les annes suivantes, calculer  leprix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au  centime). 4.On considre maintenant un autre modle pour tudier lvolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier. Les relevs de prix entre 2005 et 2008 ont permis de constater que le prix du kilogramme de pain a augment de 1,5 % par an. En admettant que le prix du kilogramme de pain continue daugmenter chaque anne de 1,5 %, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centime). 5.Pour chacun des modles prcdents, dterminer  partir de quelle anne le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dpassera 2,60 euros.

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EXERCICE 2 (5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Une association propose  ses adhrents une sortie payante. Les adhrents peuvent choisir demporter leur pique-nique ou de payer  lassociation un supplment pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les diffrents tarifs suivant lge des adhrents. A : adultesB : jeunesC : enfants catgorie (plus de 18 ans)de 10  18 ansde moins de 10 ans prix de la sortie20 €15 €8 € prix du repas6 €5 €3 € Lassociation a inscrit 87 participants pour cette sortie, dont 58 adultes et 12 enfants de moins de 10 ans. La moiti des adultes, un quart des enfants de moins de 10 ans et 10 jeunes de 10  18 ans ont emmen leur pique-nique. On choisit un participant au hasard, et on note : -Alvnement « le participant fait partie de la catgorie A » ; -Blvnement « le participant fait partie de la catgorie B » ; -Clvnement « le participant fait partie de la catgorie C » ; -Rlvnement « le participant choisit le repas propos par lassociation ». 1.Reprsenter la situation  laide dun arbre pondr, qui sera complt au cours de la rsolution de lexercice. 2.(a) Calculer la probabilit de lvnementB. (b) Calculer la probabilit de lvnementRA. 15 (c) Montrer que la probabilit de lvnementR.est gale  29 (d) Sachant que le participant choisi a pris le repas propos par lassociation, quelle est la  probabilitque ce participant soit un adulte ? 3.On noteXle prix pay  lassociation par un participant. (a) Dterminer les diffrentes valeurs que peut prendre le prixX. (b) tablir la loi de probabilit du prixX.

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EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Un enfant joue aux flchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si lenfant atteint la cible lors dun lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilit gale 3  . 4 Si lenfant natteint pas la cible lors dun lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec 1 une probabilit gale . 8 1 Lors du premier lancer, lenfant atteint la cible avec une probabilit gale . 10 1.On noteCltat : « lenfant atteint la cible » et on noteRltat : « lenfant natteint pas la cible ». (a) Reprsenter la situation par un graphe probabiliste. (b) crire la matrice de transitionMde ce graphe en considrant les tats dans lordre  alphabtique. 2.On dsigne parnun nombre entier naturel non nul. SoientC n lvnement : « lenfant atteint la cible aun-ime lancer », etR n lvnement : « lenfant natteint pas la cible aun-ime lancer ». Ltat probabiliste lors dun-ime lancer est donn par la matrice ligneE n = (c n r n ) oc n dsigne la probabilit de lvnementC n etr n la probabilit de lvnementR n . (a) crire la matrice ligneE 1 de ltat probabiliste initial. (b) Dterminer la matrice ligneE 3 et donner une interprtation du rsultat obtenu. 3.SoitE= (cr) la matrice ligne de ltat stable. (a) Dterminercetr. (b) Ladulte affirme quaprs un trs grand nombre de lancers, lenfant a deux fois plus  dechance de manquer la cible que de latteindre. Cette affirmation est-elle justifie ?

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EXERCICE 3 (4 points) Commun  tous les candidats Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des quatre propositions (a), (b), (c) ou (d) est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numro de la question et la lettre correspondant  la rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une rponse exacte rapporte un point. Un rponse inexacte ou une absence de rponse nenlve aucun point. 1.Une ville ne pleine expansion a vu sa population augmenter de 20 % pendant quatre annes conscutives, puis de 7 % durant chacune des cinq annes suivantes, et enfin de 6 % la dixime et dernire anne. Le taux daugmentation annuel moyen (arrondi au dixime) durant la dcennie qui vient de scouler slve  : (a)33 % (b)12,1 % (c)11,9 % (d)11,0 % 2.La population de la ville voisine a diminu de 5 % en 2008. Quel pourcentage daugmentation (arrondi au dixime) devrait-elle connatre en 2009 pour que le nombre er er dhabitants le 1janvier 2010 soit gal au nombre dhabitants  la date du 1janvier 2008 ? (a)10,0 % (b)5,3 % (c)5,0 % (d)4,7 % 3.Le double du logarithme dun nombre est gal au logarithme de la moiti de ce nombre. Quel est ce nombre ? (a)–1 (b)0 (c)0,5 (d)2 4.Une fonction, dfinie et drivable sur lintervalle [0 ;+∞[, est strictement croissante sur lintervalle [0 ; 5] et strictement dcroissante sur lintervalle [5 ;+∞[. Sa courbe reprsentativeCdans un repre du plan admet une tangente T au point dabscisse 6. Laquelle des quations suivantes est celle de la tangente T ? (a)y= –3x+ 3 (b)y=x (c)y= 6x–36 (d)x= 6

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EXERCICE 4 (6 points) Commun  tous les candidats On considre les fonctionsetgdfinies sur lintervalle [0 ;+∞[ par : x−4  x+ 5  (x) = (4 –x)e etg(x) = 2 ln.   x+ 1 Partie A : tude des fonctionsetg. 1.(a) Dterminer la limite de la fonctionen+∞. (b) Montrer que, pour tout nombre relxde lintervalle [0 ;+∞[, on a : x−4 (x) = (6 –x)e . (c) tudier les variations de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[ et tablir son tableau de  variation. x+ 5 2.(a) Soithla fonction dfinie sur ]−∞; –1 [] –1 ;+∞[ par :h(x) =. x+ 1  Letableau de variation de la fonctionhest donn ci-dessous : x −∞  –1 +∞ h(x) – −  1 +∞ h(x) −∞  1  Dterminer,en le justifiant, le sens de variation de la fonctiongsur lintervalle  [0;+∞[. (b) Dterminer la limite de la fonctiongen+∞. Quelle en est la consquence graphique ? 3.Les courbes reprsentatives des fonctionsetgsont donnes dans le repreOci- dessous.

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(a) Laquelle de ces deux fonctions est reprsente par la courbeC 1 ? (b) Dterminer graphiquement une valeur approche arrondie  lunit des solutions de  lquation(x) =g(x) sur lintervalle [0 ;+∞[. (c)Dans cette question, toute tentative dexplication de la dmarche ou de la mthode  utilisesera valorise. 3   Leprofesseur a demand  Perrine et Elliot de calculer(x) dx.  0  Voicides extraits de leurs productions : Production de Perrine: x−4  Uneprimitive deestFtelle queF(x) = (8 –x)e , 3 –1–4   donc(x) dx= 5e– 8e≈1,69.  0 Production dElliot: 1 2x−4  Uneprimitive deestFtelle queF(x) = (7x–x)e , 2 3 –1   donc(x) dx= 16,5e≈6,07.  0  Lorsde la correction, le professeur indique que lun des deux sest tromp. Est-ce  Perrineou Elliot ? Justifier le choix. Partie B : Application conomique. Sur lintervalle [0 ; 5], la fonctionmodlise la fonction doffre des producteurs dun certain produit et la fonctiongmodlise la fonction demande des consommateurs pour ce mme produit. La quantitxest exprime en millier de tonnes et le prix(x) oug(x) est en euro par kg. On rappelle que le prix dquilibre est le prix qui se forme sur le march lorsque loffre est gale  la demande. La quantit dquilibre est la quantit associe au prix dquilibre. Par lecture graphique, donner une valeur approche de la quantit dquilibrex 0 , ainsi quune valeur approche du prix dquilibrey 0 .

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