Sujet du bac ES 2009: Mathématique Spécialité
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Taux d'accroissement d'une population, QCM analyse de courbe, calculs de primitives et matrice probabiliste.
Sujet du bac 2009, Terminale ES, Antilles, seconde session

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Publié le 01 janvier 2009
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Langue Français

Exrait

Bac ES – Antilles-Guyane – septembre 2009 Exercice 1 (5 points) (Commun  tous les candidats) 1)« Un accroissement de population de 1,8par an peut paratre faible, il correspond pourtant  un doublement de la population en 40 ans ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier. 2)Daprs lINED (Institut National dEtudes Dmographiques), la population mondiale a suivi lvolution suivante : Anne 19601970 1980 1990 2000 Rang :xi 010 20 30 40 Population :y6 0804 4535 2013 0143 683en millions dhabitants i a. CalculerT, le taux dvolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir  0,1 % prs). b. On appelletle taux dvolution moyen annuel, en %, entre 1960 et 2000. t 40  Montrerquetvrifie1 +2,017. 100  Endduire une valeur approche det(arrondie au dixime de pourcentage). 3)On suppose qu partir de lan 2000, le taux dvolution annuel de la population reste consant et gal  1,8 %. Donner une estimation de la population mondiale en 2008  100 millions prs. 4)a. On dcide de modliser les donnes du tableau ci-dessus avec un ajustement affine.  Alaide de la calculatrice, dterminer une quation de la droite dajustement deyenxpar la mthode  desmoindres carrs. b. Calculer la population mondiale en millions dhabitants qui aurait d tre atteinte en 2008 daprs ce  modle( 100 millions prs). 5)En fait, en 2008 on vient de dpasser 6,5 milliards dhabitants. Des deux estimations prcdentes, laquelle est la plus proche de la ralit ?
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Exercice 2 (4 points) (Commun  tous les candidats) Pour chaque question, une seule rponse est exacte. Aucune justification nest demande. Reporter sur votre copie le numro de la question suivi de la rponse choisie. Une bonne rponse rapporte 1 point, une mauvaise rponse enlve 0,5 point. Labsence de rponse ne rapporte ni nenlve aucun point. Si le total de lexercice est ngatif, la note attribue  lexercice est ramene  0.
On considre la fonctiondfinie sur ]0 ; e[]e ;+ ∞[ et reprsente par la courbeci-dessus. La fonctionest drivable sur chacun des intervalles de son ensemble de dfinition. 1 Les points A (1 ; –1) et B (2 ;) appartiennent . 2ln2 – 2 On dsigne par C le point dedordonne 4. La courbe admet pour asymptotes les axes du repre ainsi que la droitedparallle  laxe des ordonnes passant par le point E (e ; 1). Pour chacun des questions ci-dessous une seule est exacte ; indiquer sur votre copie le numro de la question et recopier la bonne affirmation sans justifier votre choix. 1)(–1) = 1(x) = 0 possde une solution sur ]0 ; e[]e ; 6[(1) = –1 2)Une quation dune des asymptotes deest :y= ex= ey= –1 3)(4) < 0(4) = 0,7(4) = 2,9 6 56  1 4)(x) dx<(x) dx(x) dx> Lavaleur moyenne desur [4 ; 5] est 2.  5 452
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Exercice 3 (6 points) (Commun  tous les candidats) x On considre une fonctiondfinie sur lintervalle [–2 ; 3] par :(x) =ae +bx+c oa,betcsont des rels fixs. Une partie de la courbereprsentative deest reprsente ci-dessous :
On dispose des renseignements suivants : passe par A (0 ; 1) ; B est le point de coordonnes (1 ; 3) ; la droite (AB) est tangente au point A ; admet une tangente horizontale au point D dabscisse ln3. 1)On dsigne parla drive de la fonction. Traduire les renseignements prcdents par trois galits utilisanto. 2)En rsolvant un systme, dterminera,betc. x 3)On admet  partir de maintenant que(x+ 3) = –ex+ 2 a. Etudier les variations desur lintervalle [–2 ; 3]. b. Montrer quesannule exactement une fois sur [–2 ; ln3] en un relα.  Donner,en justifiant, une valeur approche au centime prs deα. c. Pour la suite, on admet quesannule exactement une fois sur [ln3 ; 3] en un relβ.  Dterminerle signe desur lintervalle [–2 ; 3]. 4)a. Dterminer une primitive desur lintervalle [–2 ; 3]. b. On considre la surface S dlimite par laxe des ordonnes, laxe des abscisses, la courbeet la  droitedquationx= ln3.  HachurerS sur la figure. c. Dterminer, en justifiant avec soin, laire de S, en units daire.  Ondonnera la valeur exacte et la valeur dcimale arrondie au centime.
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Exercice 4 (5 points) (Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit) Partie ADans une rsidence de vacances dt, les touristes vont tous les jours  la plage. Ils disposent pour se dplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le sjour dure un mois pour tous les vacanciers. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80 % des touristes choisissent le minibus. On considre quensuite, chaque jour, 30 % de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15 % des vacanciers qui avaient emprunt la bicyclette la veille, choisissent le minibus. Soitnun entier entre 1 et 31. On appelle Pn= (ab) la matrice traduisant ltat probabiliste reliant aun-ime jour, o : n n areprsente la proportion de vacanciers choisissant le minibus le journ; n breprsente la proportion de vacanciers choisissant la bicyclette le journ. n 1)Reprsenter cette situation par un graphe probabiliste. 2)Ecrire la matrice de transition, note M, associe  cette situation. 3)Dterminer ltat initial P1. 4)a. Calculer P2(faire apparatre les calculs). Interprter le rsultat obtenu. 50,367 0,63360,352 0,648b. On suppose que M= et M= , les coefficients ayant t arrondis 0,317 0,683 0,324 0,676 aumillime. me  Enutilisant la matrice qui convient, dterminer la rpartition prvisible le 6jour.  Ondonnera le rsultat en pourcentage arrondi  1 % prs. 5)Soit P = (xy) la matrice correspondant  ltat stable. Dterminerxety; en donner une interprtation. 6)Montrer que pournentier compris entre 1 et 30 on a :a= 0,55a+ 0,15. n+1n Partie BPournentier,n1, on dfinit la suite (u) par :u= 0,55uet+ 0,15u= 0,8. n n+1n1 1 1)On poseU=un n 3 Montrer que la suite (U) est gomtrique ; On prcisera la raison et le premier terme de cette suite. n 2)Exprimerupuis un en fonction den. n 3)En dduire la limite de la suite (u). Quel rsultat retrouve-t-on ? n
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