Taux d'accroissement d'une population, QCM analyse de courbe, calculs de primitives et matrice probabiliste. Sujet du bac 2009, Terminale ES, Antilles, seconde session
Bac ES – Antilles-Guyane – septembre 2009 Exercice 1 (5 points) (Commun tous les candidats) 1)« Un accroissement de population de 1,8par an peut paratre faible, il correspond pourtant un doublement de la population en 40 ans ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier. 2)Daprs lINED (Institut National dEtudes Dmographiques), la population mondiale a suivi lvolution suivante : Anne 19601970 1980 1990 2000 Rang :xi 010 20 30 40 Population :y6 0804 4535 2013 0143 683en millions dhabitants i a. CalculerT, le taux dvolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir 0,1 % prs). b. On appelletle taux dvolution moyen annuel, en %, entre 1960 et 2000. t 40 Montrerquetvrifie1 +≈2,017. 100 Endduire une valeur approche det(arrondie au dixime de pourcentage). 3)On suppose qu partir de lan 2000, le taux dvolution annuel de la population reste consant et gal 1,8 %. Donner une estimation de la population mondiale en 2008 100 millions prs. 4)a. On dcide de modliser les donnes du tableau ci-dessus avec un ajustement affine. Alaide de la calculatrice, dterminer une quation de la droite dajustement deyenxpar la mthode desmoindres carrs. b. Calculer la population mondiale en millions dhabitants qui aurait d tre atteinte en 2008 daprs ce modle( 100 millions prs). 5)En fait, en 2008 on vient de dpasser 6,5 milliards dhabitants. Des deux estimations prcdentes, laquelle est la plus proche de la ralit ?
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Exercice 2 (4 points) (Commun tous les candidats) Pour chaque question, une seule rponse est exacte. Aucune justification nest demande. Reporter sur votre copie le numro de la question suivi de la rponse choisie. Une bonne rponse rapporte 1 point, une mauvaise rponse enlve 0,5 point. Labsence de rponse ne rapporte ni nenlve aucun point. Si le total de lexercice est ngatif, la note attribue lexercice est ramene 0.
On considre la fonctiondfinie sur ]0 ; e[]e ;+ ∞[ et reprsente par la courbeci-dessus. La fonctionest drivable sur chacun des intervalles de son ensemble de dfinition. 1 Les points A (1 ; –1) et B (2 ;) appartiennent . 2ln2 – 2 On dsigne par C le point dedordonne 4. La courbe admet pour asymptotes les axes du repre ainsi que la droitedparallle laxe des ordonnes passant par le point E (e ; 1). Pour chacun des questions ci-dessous une seule est exacte ; indiquer sur votre copie le numro de la question et recopier la bonne affirmation sans justifier votre choix. 1)(–1) = 1(x) = 0 possde une solution sur ]0 ; e[]e ; 6[(1) = –1 2)Une quation dune des asymptotes deest :y= ex= ey= –1 3)(4) < 0(4) = 0,7(4) = 2,9 6 56 1 4)(x) dx<(x) dx(x) dx> Lavaleur moyenne desur [4 ; 5] est 2. 5 452
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Exercice 3 (6 points) (Commun tous les candidats) x On considre une fonctiondfinie sur lintervalle [–2 ; 3] par :(x) =ae +bx+c oa,betcsont des rels fixs. Une partie de la courbereprsentative deest reprsente ci-dessous :
On dispose des renseignements suivants : •passe par A (0 ; 1) ; •B est le point de coordonnes (1 ; 3) ; la droite (AB) est tangente au point A ; •admet une tangente horizontale au point D dabscisse ln3. 1)On dsigne parla drive de la fonction. Traduire les renseignements prcdents par trois galits utilisanto. 2)En rsolvant un systme, dterminera,betc. x 3)On admet partir de maintenant que(x+ 3) = –ex+ 2 a. Etudier les variations desur lintervalle [–2 ; 3]. b. Montrer quesannule exactement une fois sur [–2 ; ln3] en un relα. Donner,en justifiant, une valeur approche au centime prs deα. c. Pour la suite, on admet quesannule exactement une fois sur [ln3 ; 3] en un relβ. Dterminerle signe desur lintervalle [–2 ; 3]. 4)a. Dterminer une primitive desur lintervalle [–2 ; 3]. b. On considre la surface S dlimite par laxe des ordonnes, laxe des abscisses, la courbeet la droitedquationx= ln3. HachurerS sur la figure. c. Dterminer, en justifiant avec soin, laire de S, en units daire. Ondonnera la valeur exacte et la valeur dcimale arrondie au centime.
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Exercice 4 (5 points) (Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit) Partie ADans une rsidence de vacances dt, les touristes vont tous les jours la plage. Ils disposent pour se dplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le sjour dure un mois pour tous les vacanciers. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80 % des touristes choisissent le minibus. On considre quensuite, chaque jour, 30 % de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15 % des vacanciers qui avaient emprunt la bicyclette la veille, choisissent le minibus. Soitnun entier entre 1 et 31. On appelle Pn= (ab) la matrice traduisant ltat probabiliste reliant aun-ime jour, o : n n areprsente la proportion de vacanciers choisissant le minibus le journ; n breprsente la proportion de vacanciers choisissant la bicyclette le journ. n 1)Reprsenter cette situation par un graphe probabiliste. 2)Ecrire la matrice de transition, note M, associe cette situation. 3)Dterminer ltat initial P1. 4)a. Calculer P2(faire apparatre les calculs). Interprter le rsultat obtenu. 50,367 0,63360,352 0,648 b. On suppose que M= et M= , les coefficients ayant t arrondis 0,317 0,683 0,324 0,676 aumillime. me Enutilisant la matrice qui convient, dterminer la rpartition prvisible le 6jour. Ondonnera le rsultat en pourcentage arrondi 1 % prs. 5)Soit P = (xy) la matrice correspondant ltat stable. Dterminerxety; en donner une interprtation. 6)Montrer que pournentier compris entre 1 et 30 on a :a= 0,55a+ 0,15. n+1n Partie BPournentier,n1, on dfinit la suite (u) par :u= 0,55uet+ 0,15u= 0,8. n n+1n1 1 1)On poseU=u– n n 3 Montrer que la suite (U) est gomtrique ; On prcisera la raison et le premier terme de cette suite. n 2)Exprimerupuis un en fonction den. n 3)En dduire la limite de la suite (u). Quel rsultat retrouve-t-on ? n