Sujet du bac ES 2009: Mathématique Spécialité
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QCM analyse de fonctions, calcul de probabilités évenementielles, étude de courbe, système d'équations graphique.
Sujet du bac 2009, Terminale ES, Liban

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Publié le 01 janvier 2009
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Langue Français

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Sujet du bac 2009, Terminale ES, Liban
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Bac ES – Liban – juin 2009 EXERCICE 1 (4 points) Commun  tous les candidats Pour chacune des questions, une seule des rponsesA, BouCest exacte. Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant  la rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une rponse exacte rapporte 1 point. Une rponse inexacte enlve 0,5 point. Labsence de rponse ne rapporte aucun point et nen enlve aucun. Si le total des points est ngatif, la note est ramene  0. 1)Dans, lquation ln(x+ 4) + ln(x– 2) = ln(2x+ 1)  A : na pas de solution.  B : admet exactement une solution.  C : admet exactement deux solutions. 2)On connat la reprsentation graphique de deux fonctionsetgdfinies sur lintervalle [0 ; 7].
fonction fonctiong  A : Les fonctionsetgont le mme sens de variation sur lintervalle [0 ; 7].  B : La fonctionest la drive de la fonctiong.  C : La fonctionest une primitive de la fonctiong. 3)On sait queest une fonction strictement positive surlimet que (x) = 0. x→ − ∞  A : lim ln(x)= 1. x→ − ∞  B : La limite de ln() en−∞nexiste pas.  C : lim ln(x)=−∞. x→ − ∞ 0 x 4)Lintgrale e dxest gale  : 1  A : e – 1.  B : 1 – e.  C : 1 + e.
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EXERCICE 2 (5 points) Commun  tous les candidats Un magasin de vtements dmarqus a reu un lot important de chemisiers en coton. Le propritaire du magasin constate que les chemisiers peuvent prsenter deux types de dfauts : un dfaut de coloris ou un bouton manquant. Il note aussi que : 4 % de ces chemisiers prsentent un dfaut de coloris, 3 % des chemisiers ont un bouton manquant, 2 % des chemisiers ont  la fois un dfaut de coloris et un bouton manquant. Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considre les vnements suivants :  B : « le chemisier a un bouton manquant »,  C : « le chemisier prsente un dfaut de coloris ». 1)Calculer la probabilit des vnements suivants : D : « cette cliente prend un chemisier ayant un moins un dfaut », E : cette cliente prend un chemisier ayant un seul dfaut », F : « cette cliente prend un chemisier sans dfaut ». 2)On sait que le chemisier qui intresse la cliente prsente un dfaut de coloris. Quelle est la probabilit quil manque un bouton  ce chemisier ? 3)Une autre cliente prend au hasard deux chemisiers dans le lot. Ces choix peuvent tre assimils  un tirage avec remise dans le lot de chemisiers. Quelle est la probabilit que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant ? 4)Le propritaire du magasin vend un chemisier sans dfaut 40 euros, il fait une remise de 20 % si le chemisier a un seul dfaut, et de 50 % sil a les deux dfauts. a)tablir la loi de probabilit du prix de vente en euros, not X, dun chemisier. b)Quel chiffre daffaires le propritaire peut-il esprer faire sur la vente de cent chemisiers ?
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EXERCICE 3 (6 points) Commun  tous les candidats Partie A x On considre la fonction dfinie sur [0 ;+∞[ par :(x) = 10 + (x.– 3)e 1)a)Dterminer la limite deen+∞. x b)Dmontrer que(x) = (xet tudier le signe de– 2)e (x) sur lintervalle [0 ;+∞[. c)Dresser le tableau de variations desur lintervalle [0 ;+∞[. d)En dduire le signe de(x) sur lintervalle [0 ;+∞[. x 2)a)Dmontrer que la fonction G :x (x– 4)e est une primitive sur [0 ;+∞[ de la x  fonctiong:x (x– 3)e . b)En dduire une primitiveFde la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. c)tudier le sens de variation deFsur lintervalle [0 ;+∞[. Partie B Une entreprise fabriquextonnes dun certain produit, avecx[0 ; 4]. Le cot marginal de fabrication pour une production dextonnes est donn par(x) exprim enmilliers deuros, o est la fonction dfinie dans lapartie A. 1)Les cots fixes de lentreprise slvent  20 000 euros. On assimile le cot totalC une primitive du cot marginal. En utilisant les rsultats de la questionA.2), dterminer le cot total de fabricationC(x), exprim en milliers deuros. 2)Lentreprise dsire adapter sa production pour atteindre un cot marginal de 11 292 euros a)En utilisant la partieA, dmontrer quil est possible datteindre un cot marginal de  11 292 euros.Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou  dinitiative non fructueuse, serra prise en compte dans lvaluation. b)Dterminer la production correspondante,  10 kg prs. c)Quel est alors le cot moyen de fabrication ? C(x)  On rappelle que le quotient est appel cot moyen de fabrication pour une x  production dextonnes de produit.
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EXERCICE 4 (5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Le tableau ci-dessous donne lvolution de la production dnergie dorigine olienne en France, exprime en milliers de tonnes dquivalent ptrole (Ktep) : Anne 2000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de lannexi2 3 4 5 6 7 0 Productionyi23 34 51 83  7 188 348 Source : Insee avril 2008 1)a)Calculer le pourcentage daugmentation de la production entre 2000 et 2007. b)Justifier que le pourcentage daugmentation annuel moyen de la production entre 2000  et 2007 est 74,72 %, valeur arrondie au centime. c)En utilisant ce pourcentage daugmentation annuel moyen de 74,72 %, dterminer la  valeur obtenue en partant de lanne 2000 pour la production dnergie dorigine  olienne en 2005. On donnera la valeur arrondie  lunit.  Quel est le pourcentage derreur par rapport  la valeur relle ? 2)Dans cette question, on se propose de raliser un ajustement de type exponentiel. On posez= lny. a)Recopier et complter le tableau suivant. Les rsultats seront arrondis au centime. xi 0 2 3 4 5 6 7 zi= lnyib)Dterminer lquation rduite de la droite de rgression dezenxobtenus par la  mthode des moindres carrs  laide de la calculatrice ; les rsultats seront arrondis au  centime. x c)En dduire que :y= 6,821,72 , les rsultats tant arrondis au centime. d)En utilisant cet ajustement, dterminer la valeur arrondie  lunit obtenue pour 2005. 3)On a reprsent le nuage de points (xi;yi) ainsi que lajustement prcdent dans un repre semi-logarithmique donn en annexe. a) laide du graphique, estimer la production pour lanne 2009. Placer le point correspondant sur le graphique. b) laide du graphique, dterminer  partir de quelle anne la production de 2007 sera multiplie par dix. On mettra en vidence sur le graphique tout trac utile pour la rponse.
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EXERCICE 4 (5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Une entreprise de services  la personne propose dans ses services lentretien des jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours  des employs  temps partiel pour une dure globale dexheures, et elle loue le matriel ncessaire pour une dure globale deyheures. La surface de jardin traite en une semaine, exprime en centaines de m, est donne par la fonction(x;y) = 2xy oxetysont exprims en heures. Une heure de travail cote 15 euros et une heure de location du matriel cote 30 euros. Les contraintes matrielles imposent que 0x120 et 0y100. La figure 1 donne en annexe reprsente la surfacedquationz=(x;y). La figure 2 donne en annexe reprsente la projection orthogonale de la surfacesur le plan (xOy), les courbes de niveau de cette surface tant reprsentes pourzvariant de 10 en 10. 1)a)Les points A (20 ; 40 ;z) et B (60 ;y; 60) sont des points de la surface. A B  Dterminer pour chacun la coordonnes manquante. b)Lire sur la figure 1 les coordonnes du point C et en donner une interprtation  concrte. c)Placer sur la figure 1 le point D de coordonnes (10 ; 80 ; 40). d)Donner la nature de la courbe de niveauz= 50. 2)Les contraintes financires imposent de fixer le cot hebdomadaire correspondant  2 400 euros. 1 a)Dmontrer quexetysont lis par la relationy= –x+ 80. 2 b)Quelle est la nature de lensemble () des points M (x;y;z) de lespace dont les 1  coordonnes vrifienty= –x+ 80 ? 2 c)Reprsenter lensemble () sur la figure 2 de lannexe. d)En dduire graphiquement la surface de jardin maximum quon peut traiter avec un  cot hebdomadaire de 2 400 euros. 1 3)a)Vrifier que, sous la contraintey= –x+ 80,zpeut scrire sous la formez=g(x),g2 2  tant la fonction dfinie sur [0 ; 120] parg(x) = 160xx. 80 –x b)Dmontrer que sur ]0 ; 120],g(x,) = gdsignant la fonction deg, puis 2 160xx dmontrer que la fonctiongadmet un maximum sur lintervalle [0 ; 120]. c)En dduire le temps de travail et la dure de location hebdomadaires qui permettent de  traiter une surface maximum.
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Annexe ( remettre avec la copie)
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 120 110 100 90 100 80 90 80 70 70 60 60 50 50 40 40 30 30 20x 20 y10 10 0 Figure 1
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x Figure 2
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