QCM analyse de fonctions, calcul de probabilités évenementielles, étude de courbe, système d'équations graphique. Sujet du bac 2009, Terminale ES, Liban
Bac ES – Liban – juin 2009 EXERCICE 1 (4 points) Commun tous les candidats Pour chacune des questions, une seule des rponsesA, BouCest exacte. Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant la rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une rponse exacte rapporte 1 point. Une rponse inexacte enlve 0,5 point. Labsence de rponse ne rapporte aucun point et nen enlve aucun. Si le total des points est ngatif, la note est ramene 0. 1)Dans, lquation ln(x+ 4) + ln(x– 2) = ln(2x+ 1) A : na pas de solution. B : admet exactement une solution. C : admet exactement deux solutions. 2)On connat la reprsentation graphique de deux fonctionsetgdfinies sur lintervalle [0 ; 7].
fonction fonctiong A : Les fonctionsetgont le mme sens de variation sur lintervalle [0 ; 7]. B : La fonctionest la drive de la fonctiong. C : La fonctionest une primitive de la fonctiong. 3)On sait queest une fonction strictement positive surlimet que (x) = 0. x→ − ∞ A : lim ln(x)= 1. x→ − ∞ B : La limite de ln() en−∞nexiste pas. C : lim ln(x)=−∞. x→ − ∞ 0 −x 4)Lintgrale e dxest gale : −1 A : e – 1. B : 1 – e. C : 1 + e.
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EXERCICE 2 (5 points) Commun tous les candidats Un magasin de vtements dmarqus a reu un lot important de chemisiers en coton. Le propritaire du magasin constate que les chemisiers peuvent prsenter deux types de dfauts : un dfaut de coloris ou un bouton manquant. Il note aussi que : •4 % de ces chemisiers prsentent un dfaut de coloris, •3 % des chemisiers ont un bouton manquant, •2 % des chemisiers ont la fois un dfaut de coloris et un bouton manquant. Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considre les vnements suivants : B : « le chemisier a un bouton manquant », C : « le chemisier prsente un dfaut de coloris ». 1)Calculer la probabilit des vnements suivants : D : « cette cliente prend un chemisier ayant un moins un dfaut », E : cette cliente prend un chemisier ayant un seul dfaut », F : « cette cliente prend un chemisier sans dfaut ». 2)On sait que le chemisier qui intresse la cliente prsente un dfaut de coloris. Quelle est la probabilit quil manque un bouton ce chemisier ? 3)Une autre cliente prend au hasard deux chemisiers dans le lot. Ces choix peuvent tre assimils un tirage avec remise dans le lot de chemisiers. Quelle est la probabilit que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant ? 4)Le propritaire du magasin vend un chemisier sans dfaut 40 euros, il fait une remise de 20 % si le chemisier a un seul dfaut, et de 50 % sil a les deux dfauts. a)tablir la loi de probabilit du prix de vente en euros, not X, dun chemisier. b)Quel chiffre daffaires le propritaire peut-il esprer faire sur la vente de cent chemisiers ?
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EXERCICE 3 (6 points) Commun tous les candidats Partie A x On considre la fonction dfinie sur [0 ;+∞[ par :(x) = 10 + (x.– 3)e 1)a)Dterminer la limite deen+∞. x b)Dmontrer que(x) = (xet tudier le signe de– 2)e (x) sur lintervalle [0 ;+∞[. c)Dresser le tableau de variations desur lintervalle [0 ;+∞[. d)En dduire le signe de(x) sur lintervalle [0 ;+∞[. x 2)a)Dmontrer que la fonction G :x (x– 4)e est une primitive sur [0 ;+∞[ de la x fonctiong:x (x– 3)e . b)En dduire une primitiveFde la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. c)tudier le sens de variation deFsur lintervalle [0 ;+∞[. Partie B Une entreprise fabriquextonnes dun certain produit, avecx∈[0 ; 4]. Le cot marginal de fabrication pour une production dextonnes est donn par(x) exprim enmilliers deuros, o est la fonction dfinie dans lapartie A. 1)Les cots fixes de lentreprise slvent 20 000 euros. On assimile le cot totalC une primitive du cot marginal. En utilisant les rsultats de la questionA.2), dterminer le cot total de fabricationC(x), exprim en milliers deuros. 2)Lentreprise dsire adapter sa production pour atteindre un cot marginal de 11 292 euros a)En utilisant la partieA, dmontrer quil est possible datteindre un cot marginal de 11 292 euros.Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative non fructueuse, serra prise en compte dans lvaluation. b)Dterminer la production correspondante, 10 kg prs. c)Quel est alors le cot moyen de fabrication ? C(x) On rappelle que le quotient est appel cot moyen de fabrication pour une x production dextonnes de produit.
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EXERCICE 4 (5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Le tableau ci-dessous donne lvolution de la production dnergie dorigine olienne en France, exprime en milliers de tonnes dquivalent ptrole (Ktep) : Anne 2000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de lannexi2 3 4 5 6 7 0 Productionyi23 34 51 83 7 188 348 Source : Insee avril 2008 1)a)Calculer le pourcentage daugmentation de la production entre 2000 et 2007. b)Justifier que le pourcentage daugmentation annuel moyen de la production entre 2000 et 2007 est 74,72 %, valeur arrondie au centime. c)En utilisant ce pourcentage daugmentation annuel moyen de 74,72 %, dterminer la valeur obtenue en partant de lanne 2000 pour la production dnergie dorigine olienne en 2005. On donnera la valeur arrondie lunit. Quel est le pourcentage derreur par rapport la valeur relle ? 2)Dans cette question, on se propose de raliser un ajustement de type exponentiel. On posez= lny. a)Recopier et complter le tableau suivant. Les rsultats seront arrondis au centime. xi 0 2 3 4 5 6 7 zi= lnyib)Dterminer lquation rduite de la droite de rgression dezenxobtenus par la mthode des moindres carrs laide de la calculatrice ; les rsultats seront arrondis au centime. x c)En dduire que :y= 6,821,72 , les rsultats tant arrondis au centime. d)En utilisant cet ajustement, dterminer la valeur arrondie lunit obtenue pour 2005. 3)On a reprsent le nuage de points (xi;yi) ainsi que lajustement prcdent dans un repre semi-logarithmique donn en annexe. a) laide du graphique, estimer la production pour lanne 2009. Placer le point correspondant sur le graphique. b) laide du graphique, dterminer partir de quelle anne la production de 2007 sera multiplie par dix. On mettra en vidence sur le graphique tout trac utile pour la rponse.
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EXERCICE 4 (5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Une entreprise de services la personne propose dans ses services lentretien des jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours des employs temps partiel pour une dure globale dexheures, et elle loue le matriel ncessaire pour une dure globale deyheures. La surface de jardin traite en une semaine, exprime en centaines de m, est donne par la fonction(x;y) = 2xy oxetysont exprims en heures. Une heure de travail cote 15 euros et une heure de location du matriel cote 30 euros. Les contraintes matrielles imposent que 0x120 et 0y100. La figure 1 donne en annexe reprsente la surfacedquationz=(x;y). La figure 2 donne en annexe reprsente la projection orthogonale de la surfacesur le plan (xOy), les courbes de niveau de cette surface tant reprsentes pourzvariant de 10 en 10. 1)a)Les points A (20 ; 40 ;z) et B (60 ;y; 60) sont des points de la surface. A B Dterminer pour chacun la coordonnes manquante. b)Lire sur la figure 1 les coordonnes du point C et en donner une interprtation concrte. c)Placer sur la figure 1 le point D de coordonnes (10 ; 80 ; 40). d)Donner la nature de la courbe de niveauz= 50. 2)Les contraintes financires imposent de fixer le cot hebdomadaire correspondant 2 400 euros. 1 a)Dmontrer quexetysont lis par la relationy= –x+ 80. 2 b)Quelle est la nature de lensemble () des points M (x;y;z) de lespace dont les 1 coordonnes vrifienty= –x+ 80 ? 2 c)Reprsenter lensemble () sur la figure 2 de lannexe. d)En dduire graphiquement la surface de jardin maximum quon peut traiter avec un cot hebdomadaire de 2 400 euros. 1 3)a)Vrifier que, sous la contraintey= –x+ 80,zpeut scrire sous la formez=g(x),g2 2 tant la fonction dfinie sur [0 ; 120] parg(x) = 160x–x. 80 –x b)Dmontrer que sur ]0 ; 120],g(x,) = gdsignant la fonction deg, puis 2 160x–x dmontrer que la fonctiongadmet un maximum sur lintervalle [0 ; 120]. c)En dduire le temps de travail et la dure de location hebdomadaires qui permettent de traiter une surface maximum.