Sujet du bac S 2006: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Géométrie 3D, nombres complexe, probabilités, fonctions et courbes
Sujet du bac 2006, Terminale S, Amérique du Sud

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006\

E X E R C IC E points1 3 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ Dans l’espace rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k, on considère les points : A de coordonnées (3 ; 1 ;−5), B de coordonnées (0 ; 4 ;−5), C de coordonnées (−1 ;2 ;−5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).

Pour chacune des six affirmations cidessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Au cune justification n’est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention« VRAI »ou« FAUX ».On attribue0,5point par réponse correcte et on retranche0,25point par réponse incorrect. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à0. 1.Les points A, B et D sont alignés. 2.La droite (AB) est contenue dans le plan d’équation cartésienne :x+y=4. 3.Une équation cartésienne du plan (BCD) est : 18x−9y−5z+11=0. 4.Les points A, B, C et D sont coplanaires. 5.La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD). 6.Une représentation paramétrique de la droite (BD) est :  x=1−2k   7 y= +k, k∈R 2 1   z= −−9k 2

E X E R C IC E points2 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO,u,v. On prendra pour unité graphique I cm. 1.Question de cours −→−→ On rappelle que : « Pour tout vecteurwnon nul, d’affixezon a :|z| = kwket ³ ´ −→−→ arg (z)=u,w». SoientM,NetPtrois points du plan, d’affixes respectivesm,netptels que m6=netm6=p. ³ ´³ ´ p−m −→−−→− a.Démontrer que : arg=M N,M P. n−m p−m b.Interpréter géométriquement le nombre ¯ ¯ n−m 2.On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives z A =4+i,z B =1+i,z C =5i etz D = −3−i. Placer ces points sur une figure. 3.Soitfl’application du plan dans luimême qui, à tout pointMd’affixezasso ′ ′ cie le pointMd’affixeztel que : ′ z=(1+2i)z−2−4i.

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a.Préciser les images des points A et B parf. b.Montrer quefadmet un unique point invariantΩ, dont on précisera l’affixeω. 4. a.Montrer que pour tout nombre complexez, on a : ′ z−z= −2i(2−i−z). ′ M M b.En déduire, pour tout pointMdifférent du pointΩ, la valeur deet ΩM ³ ´ −−→ −−−→ ′ une mesure en radians de l’angleMΩ,M M ′ c.Quelle est la nature du triangleΩM M? d.Soit E le point d’affixez E = −1−i 3.Écrirez E sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du ′ point Eassocié au point E.

E X E R C IC E 2 5points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Rappel : Pour deux entiers relatifsaetb, on dit queaest congru àbmodulo 7, et on écrit a≡bmod 7 lorsqu’il existe un entier relatifktel quea=b+7k. 1.Cette question constitue une restitution organisée de connaissances a.Soienta,b,cetddes entiers relatifs. Démontrer que : sia≡bmod 7 etc≡dmod 7 alorsac≡bdmod 7. b.En déduire que : pouraetbentiers relatifs non nuls n n sia≡bmod 7 alors pour tout entier natureln,a≡bmod 7. 2.Poura=2 puis poura=3, déterminer un entier naturelnnon nul tel que n a≡7.1 mod 3.Soitaun entier naturel non divisible par 7. 6 a.Montrer que :a≡7.1 mod b.On appelleordredeamod 7, et on désigne park, le plus petit entier na k turel non nul tel quea≡7. Montrer que le reste1 modrde la division r euclidienne de 6 parkvérifiea≡1 mod7. En déduire quekdivise 6. Quelles sont les valeurs possibles dek? c.Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiersacompris entre 2 et 6. 4.À tout entier natureln, on associe le nombre

n n n n n A n =2+3+4+5+6 . Montrer queA 2006 ≡6 mod7.

E X E R C IC E 3 4points Commun à tous les candidats Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées. 1 La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à. 4 1 La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à. 2 Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soitnun entier naturel vérifiant 0 6 n 6 50. Dn définit les évènements suivants :

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– A: « le jardinier a choisi le lot 1 » – B: « le jardinier a choisi le lot 2 » –J n : « le jardinier obtientntulipes jaunes ». 1.Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1. a.Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à par tir de 50 bulbes du lot 1 ? b.Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ? c.Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtiennentu lipes jaunes, d.Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l’arrondi au millième du résultat. 2.Probabilités conditionnelles ¡ ¢ 50 −50 a.Montrer que :P B ( J n ) =2 . n b.En déduire la probabilité que le jardinier obtiennentulipes jaunes. c.On notep n la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que J n est réalisé. Établir que :

50−n 3 p n =. 50−n50 3+2 d.Pour quelles valeurs denatonp n > 0, 9 ? Comment peuton interpréter ce résultat ?

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8 points

1.Pour tout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionf n définie sur ]0 ;+∞[ par : x f n (x)=lnx+ −1. n a.Déterminer les limites def n en 0 et en+∞puis étudier le sens de varia tions def n . b.Montrer que l’équationf n (x)=0 admet une unique solution dans ]0 ;+∞[. On noteα n cette solution. Montrer qu’elle appartient à l’intervalle [1 ; e]. ³ ´ −→−→ 2.O,Le plan est rapporté à un repère orthonormalı,. On note (Γ) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. a.Soitnteun entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droi Δ n passant par le point A de coordonnées (0; 1) et le pointB n de coor données (n; 0). b.Faire un croquis représentant la courbe (Γ) et les droitesΔ 1 ,Δ 2 etΔ 3 . c.Montrer queα n est l’abscisse du point d’intersection de (Γ) avecΔ n . d.Préciser la valeur deα 1 puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite (α n ). 3. a. ( Exprimer lnα n ) en fonction denet deα n . b.Exprimerf n+1 ( α n ) en fonction denet deα n et vérifier que : f n+1 ( α n ) <0. c.Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite (α n ). d.Montrer que la suite (α n ) converge. On noteℓsa limite. Établir que : lnℓ=1 et en déduire la valeur deℓ.

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4.On désigne parD n le domaine délimité par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équation :x=α n etx=e. a.Calculer l’aire du domaineD n en fonction deα n et montrer que cette 2 α n aire est égaie à. n b.Établir que : 2 α n (e−α n ) lnα n 6 6 (e−α n ) . n c.En déduire un encadrement den(e−α n ). d.La suite de terme généraln(e−α n ) estelle convergente ? Ce résultat permet il d’apprécier la rapidité de la convergence de la suite (α n ) ?

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