Sujet du bac S 2009: Mathématique Obligatoire
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Description

Arbre de probabilités, nombre complexe et géométrie, étude de fonction et de dérivée, calcul de suite et de limites
Sujet du bac 2009, Terminale S, Antilles

Sujets

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Publié le 01 janvier 2009
Nombre de lectures 41
Langue Français

Exrait

Baccalauréat S AntillesGuyane 23 juin 2009
EX E R C IC Epoints1 4 Commun à tous les candidats Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions. On dispose de deux dés tétraédriques identiques : les quatre faces sont numérotées A,B,C et D. 1.On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés. Déterminer la probabilité des évènements suivants : E0: « ne pas obtenir la lettre A », E1: « obtenir une fois la lettre A », E2: « obtenir deux fois la lettre A ». 2.On organise un jeu de la façon suivante : – Lejoueur lance les deux dés simultanément. – Siles deux dés reposent sur les faces « A », le jeu s’arrête. – Siun seul dé repose sur la face «A », lejoueur relance l’autre dé et le jeu s’arrête. – Siaucun dé ne repose sur la face « A », le joueur relance les deux dés et le jeu s’arrête. a.Recopier et compléter l’arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. Nombre deNombre de faces « A »faces « A »
0
1
2
0 1 2 0 1
er e 1 lancer2 lancer b.sent sur lesLe joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les deux dés repo faces « A ». 49 Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de. 256 c.Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est remboursé. Sinon, il perd sa mise. Le jeu estil favorable au joueur ?
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
EX E R C IC Epoints2 5 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse. ³ ´ 1.O,Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalu,v. On considère l’applicationfdu plan dans luimême qui, à tout pointMd’af p ′ ′fixez, associe le pointMd’affixeztelle quez=(1+i 3)z+2 3. On noteAle point d’affixe 2i. π Affirmation :fest la similitude directe, de centreA, d’angleet de rapport 2. 3 2009 2. Affirmation:19912 (7). 3.aetbsont deux entiers relatifs quelconques,netpsont deux entiers naturels premiers entre eux. Affirmation :ab(p) si et seulement sin anb(p). ³ ´ 4.O,L’espace est muni d’un repère orthonormalı,,k. Eest l’ensemble des pointsMde l’espace dont les coordonnées (x;y;z) véri 2 2 fient l’équation :z=x+y. On noteSla section deEpar le plan d’équation y=3. Affirmation :Sest un cercle. ³ ´ 5.L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. 2 22 Pest la surface d’équationx+y=3z. Affirmation :O le seul point d’intersection dePavec le plan (yOz) à coordonnées entières.
EX E R C IC E2 5points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse. ³ ´ 1.O,Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalu,v. Soit le pointAd’affixe 3, le pointBd’affixe4i et l’ensembleEdes pointsM d’affixeztels que|z3| = |z+4i|. Affirmation :Eest la médiatrice du segment [AB]. ³ ´ 2.Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,u,v. On considère trois pointsA,BetCdeux à deux distincts, d’affixes respectives ca a,betc, tels que=2i. ba Affirmation :Aappartient au cercle de diamètre [BC]. π i 7 3.On considère le nombrez=2e . 2009 Affirmation :zest un nombre réel positif. 4.On considère trois pointsA,BetCnon alignés de l’espace. Le pointGest le centre de gravité du trangleABC. −→−→−→ On noteFl’ensemble des pointsMvérifiant¯¯M A+M B+MC¯¯=6. Affirmation :Fest la sphère de centre deGet de rayon 2.
Antilles  Guyane
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Baccalauréat S
³ ´ 5.L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. 2 2 2 Sest la sphère d’équationx+y+z=5. Pest le plan d’équationx+y5=0. Affirmation :Le planPcoupe la sphèreSsuivant un cercle.
A. P. M. E. P.
EX E R C IC Epoints3 7 Commun à tous les candidats PARTIE A. La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonc tionfdu tempst. fest définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différen tielle :
1 f(t)+f(t)=10. 2 La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le tempsten heures. 1.Déterminerf(t) pourt>0, sachant que pourt=0, la température de l’objet est 220 ° C. + 2.On pourra admettre désormais que la fonctionfest définie surRpar
t 2 f(t)=200e+20.
On noteCthosa représentation graphique dans le plan muni d’un repère or gonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour un heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée. + a.Étudier les variations de la fonctionfsurR. b.Étudier la limite de la fonctionfen+∞. En déduire l’existence d’une asymptoteDà la courbeCen+∞. c.ConstruireDetCsur l’intervalle [0 ; 7]. 3. a.Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50 ° C. On laissera apparents les traits de construction. b.Retrouver ce résultat par le calcul.
PARTIE B. On considère la suite de terme généraldn=f(n)f(n+1) oùnN.dnreprésente l’abaissement de température de l’objet entre l’heurenet l’heuren+1. 1. a.Calculer des valeurs approchées au dixième ded0,d1etd2. b.Quelle est la limite dednquandntend vers+∞? 2.Déterminer la plus petite valeur de l’entiernà partir de laquelle l’abaissement de température est inférieur à 5° C.
EX E R C IC Epoints4 4 Commun à tous les candidats On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturelnnon nul, par : µ ¶ n 1 un=1+. n
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Baccalauréat S
1.On considère la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par :
f(x)=xln(1+x).
A. P. M. E. P.
a.En étudiant les variations de la fonctionf, montrer que, pour tout réelx positif ou nul, ln(1+x)6x. b.En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul, ln(un)61. c.La suite (un) peutelle avoir pour limite+∞? 2.On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturelnnon nul, par : vn=ln(un). 1 a.On posex=. Exprimervnen fonction dex. n ln(1+x) b.? Aucune justification n’est demandée.Que vaut lim x0 x
Calculer limvn. n→+∞ c.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
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