Sujet du bac S 2009: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

QCM probabilités, étude de fonction, de dérivée et d'intégrale, géométrie dans l'espace, calculs de divisibilité.
Sujet du bac 2009, Terminale S, Liban

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 76
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSLiban11juin2009\
EXERCICE 1 3points
Pourchacunedestroisquestions,uneseuledesquatrepropositionsestexacte.
Lecandidatindiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondant
àlaréponsechoisie,sansjustification.
Ilseraattribuéunpointsilaréponseestexacte,zérosinon.
1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni
d’uneloideprobabilité p. ³ ´4 3
Onsaitque p(A∪B)= et p A = .
5 5
Laprobabilitédel’évènement B estégaleà:
2 2 3 1
a. b. c. a.
5 3 5 2
2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de
paramètreλ=0,04.
Onrappellequepourtoutréelt positif,laprobabilitédel’évènement (X6t),Zt
−λxnotée p(X6t),estdonnéepar p(X6t)= λe dx.
0
−2Lavaleurapprochéedep(X>5)à10 prèsparexcèsestégaleà:
a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82
3. Dansmarue,ilpleutunsoirsurquatre.
1
S’ilpleut,jesorsmonchienavecuneprobabilitéégaleà ;s’ilnepleutpas,
10
9
jesorsmonchienavecuneprobabilitéégaleà .
10
Jesorsmonchien;laprobabilitéqu’ilnepleuvepasestégaleà:
9 27 3 27
a. a. a. a.
10 40 4 28
EXERCICE 2 8points
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar
¡ ¢ 1−xf(x)=ln 1+e + x.
3
Lacourbe(C)représentative delafonction f dansleplanmunid’unrepèreortho-
gonalestdonnéeenannexe.
Cetteannexeseracomplétéeetremiseaveclacopieàlafindel’épreuve.
PartieA
1. a. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
1
b. Montrer que la droite (D) d’équation y= x est asymptote à la courbe
3
(C).Tracer(D).
c. Étudierlapositionrelativede(D)etde(C).
2
xd. Montrerquepourtoutréel x, f(x)=ln(e +1)− x.
3BaccalauréatS A.P.M.E.P.
e. Endéduirelalimitede f en−∞.
′2. a. Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f.
xe −2′Montrerquepourtout x réel, f (x)= .
x3(e +1)
b. Endéduirelesvariationsdelafonction f.
PartieB
Soit n unentier naturelnonnul.Onappelle d ,l’aire,enunités d’aire,dudomainen
1
du plan délimité par la courbe (C), la droite (D) d’équation y = x et les droites
3
d’équations x=0et x=n. Zn ¡ ¢−x1. Justifierquepourtoutentiernatureln nonnul,d = ln 1+e dx.n
0
−x −x2. Onadmetquepourtoutréel x, ln 1+e 6e .( )
Montrerquepour toutentier natureln supérieur ouégalà1, d 61.Lasuiten
(d ) est-elleconvergente?n n>1
PartieC
Danscettepartie,onchercheàmettreenévidenceunepropriétédelacourbe(C).
Onnote(T)latangenteàlacourbe(C)aupointd’abscisse0.
1. Calculerlecoefficientdirecteurde(T)puisconstruire(T)surlegraphique.
2. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Soient M et N deux points de la courbe (C) d’abscisses non nulles et oppo-
sées.Montrerqueladroite(MN)estparallèleàladroite(T).
EXERCICE 3 4points
OnconsidèreuncubeABCDEFGHd’arêtedelongueur1.Ondésigneparllemilieu
de[EF]etparJlesymétriquedeEparrapportàF. ³ ´−→ −→ −→
Danstoutl’exercice,l’espaceestrapportéaurepèreorthonormal A; AB, AD, AE .
GH
JIE
F
D
C
A B
1. a. DéterminerlescoordonnéesdespointsletJ.
Liban 2 11juin2009
+
+BaccalauréatS A.P.M.E.P.
−→
b. VérifierquelevecteurDJ estunvecteurnormalauplan(BGI).
c. Endéduireuneéquationcartésienneduplan(BGI).
d. CalculerladistancedupointFauplan(BGI).
2. Onnote(Δ)ladroitepassantparFetorthogonaleauplan(BGI).
a. Donnerunereprésentationparamétriquedeladroite(Δ).
b. Montrerqueladroite(Δ)passeparlecentreKdelafaceADHE.
c. Montrerqueladroite(Δ)etleplan(BGI)sontsécantsenunpoint,notéµ ¶
2 1 5
L,decoordonnées ; ; .
3 6 6
d. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,seraprise
encomptedansl’évaluation.
LepointLest-ill’orthocentredutriangleBGI?
EXERCICE 4 5points
Enseignementobligatoire ³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v (unitégra-
phique:2cm).
OnconsidèrelespointsA,BetCd’affixesrespectives:
p
3 3
z =− +i , z =z et z =−3.A B A C2 2
PartieA
1. Écrirelesnombrescomplexes z et z sousformeexponentielle.A B
2. PlacerlespointsA,BetC.
3. DémontrerqueletriangleABCestéquilatéral.
PartieB
′Soit f l’applicationqui,àtoutpointM dupland’aflixez,associelepointM d’affixe
1′ 2z = iz .
3 ′ ′ ′ ′OnnoteO ,A ,B etC lespointsrespectivementassociéspar f auxpointsO,A,Bet
C.
′ ′ ′1. a. DéterminerlaformeexponentielledesaffixesdespointsA ,B etC .
′ ′ ′b. PlacerlespointsA ,B etC .
′c. Démontrer l’alignement des points O, A et B ainsi que celui des points
′O,BetA .
′d. SoitGl’isobarycentredespointsO,A,BetC.OnnoteG lepointassocié
àGpar f.
′DéterminerlesaffixesdespointsGetG .
′ ′ ′ ′ ′LepointG est-ill’isobarycentredespointsO A ,B etC ?
′2. Démontrerquesi M appartientàladroite(AB)alors M appartientàlapara-
1 32boled’équation y=− x + .(Onnedemandepasdetracercetteparabole)
3 4
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Liban 3 11juin2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture
3décimaleducubeseterminepar2009,c’est-à-diretelquen ≡2009 mod10000.
PartieA
21. Déterminerlerestedeladivisioneuclidiennede2009 par16.
80012. Endéduireque2009 ≡2009 mod16.
PartieB
2Onconsidèrelasuite(u )définiesurNpar: u =2009 −1et,pour toutentier na-n 0
5tureln, u = u +1 −1.( )n+1 n
1. a. Démontrerqueu estdivisiblepar5.0
b. Démontrer,enutilisantlaformuledubinômedeNewton,quepourtout
entiernatureln,
£ ¡ ¢¤4 3 2u =u u +5 u +2u +2u +1 .n1 n nn n n
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u est divi-n
n+1siblepar5 .
250 2502. a. Vérifierqueu =2009 −1puisendéduireque2009 ≡1 mod625.3
8001b. Démontreralorsque2009 ≡2009 mod625.
PartieC
1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions
8001précédentes,montrerque2009 −2009estdivisiblepar10000.
2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale
ducubeseterminepar2009.
Liban 4 11juin2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Cettepageseracomplétéeetremiseaveclacopieàlafindel’épreuve
Exercice2
y
3
2
C
1
x
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
Liban 5 11juin2009