Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire

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Description

Vrai/faux analyse de suite, géométrie complexe, loi de probabilité d'un jeu, étude de fonction et de tangente.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Polynésie, seconde session

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 115
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 10MAOSPO3 Page1/6

Exercice 1(3 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1)On considère la suite (t n ) définie pour tout entier naturelnpar : 1 . t10et pour tout entier natureln,t1t# 0n#1n (n#1)(n#2) n . Proposition 1: Pour tout entier natureln,t1 n n#1 2)On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ) définies surNtelles que : pour tout entier natureln,uwv. n  n  n Proposition 2: Si les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes alors la suite (w n ) est convergente. 3)Soientfetgdeuxfonctions définies et continues sur l’intervalle [ 0,1 ] . 1 1 Proposition 3: Si (x) dx1g(x) dx alorsf=gsur l’intervalle [ 0,1 ] . ∫ 0 ∫ 0 10MAOSPO3Page 2/6

Exercice 2(5 points) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct(O;u,v: 1 cm).) (unité On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B, S etd’affixes respectivesa1 %2#4 i,b1 %4#2 i, s1 %5#5iet w 1 %2#2 i. Soithl’homothétie de centre S et de rapport 3. On appelle C l’image du point A parhet D l’image du point B parh. 1) a) Déterminerl’écriture complexe deh. b) Démontrerque le point C a pour affixec14#2iet que le point D a pour affixe d1 %2%4 i. 2)Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 3) Démontrerque la droite (S) est la médiatrice du segment [AB]. 4)Soit P le milieu du segment [AC]. a)Déterminer l’affixepdu point P.   w %p1 b)Démontrer que1 %i. En déduire une mesure de l’angleBD; P. ( ! d%b2 5) SoitQ le milieu du segment [BD]. Que représente le pointpour le triangle PQS ? 10MAOSPO3Page 3/6

Exercice 3(5 points) Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.  Sila boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner.  Sila boule noire n’est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle N l’événement « la boule noire figure parmi les boules tirées » et G l’événement « le joueur gagne ».

1) a) Déterminerla probabilité de l’événement N. 3  b)Démontrer que la probabilité de l’événement G est égale à. On pourra s’aider d’un arbre 10  pondéré.  c)Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule noire ?

2) Pourjouer à ce jeu, une mise de départ demeuros est demandée, oùmest un réel strictement  positif.  Sile joueur gagne, il reçoit 4 euros.  S’ilne gagne pas mais qu’il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise.  S’ilne gagne pas et qu’il n’a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.  OnappelleXla variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.  a)Déterminer la loi de probabilité deX.

 b)Exprimer l’espérance mathématique deXen fonction dem.

 c)On dit que le jeu est équitable si l’espérance mathématique deXest nulle.  Déterminermpour que le jeu soit équitable.

3) Soitnun entier naturel non nul.  Onjouenfois à ce jeu sachant qu’après chaque partie les boules sont remises dans le sac.

 Déterminerla valeur minimale denpour laquelle la probabilité de gagner au moins une  foisest supérieure à 0,999. 10MAOSPO3Page 4/6

Exercice 4(7 points) Partie 1 x x Soitgla fonction définie sur [ 0,# ¥ [ parg(x)1e%xe#1. 1) Déterminerla limite degen +¥. 2) Étudierles variations de la fonctiong. 3) Donnerle tableau de variation deg. 4) a)Démontrer que l’équationg(x) = 0 admet sur [ 0,# ¥ [ une unique solution. On note a  cettesolution. -2  b)À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude10de a . a 1 .  c)Démontrer quee1 a %1 5) Déterminerle signe deg(x) suivant les valeurs dex. Partie 2 4 . SoitAla fonction définie et dérivable sur [ 0,# ¥ [ telle queA(x)1 x e#1 1) Démontrerque pour tout réelxpositif ou nul,A'(x)a le même signe queg(x), oùgest la  fonctiondéfinie dans la partie 1.

2) Endéduire les variations de la fonctionAsur [ 0,# ¥ [ .

Partie 3 4 . On considère la fonctionfdéfinie sur [ 0,# ¥ [ parf(x)1 x e#1   On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O ;i,j ! . La figure est donnée en annexe page 6. Pour tout réelxpositif ou nul, on note : M le point de (C) de coordonnées ( ,f(x) ! , P le point de coordonnées ( , 0 ! , Q le point de coordonnées ( 0, (x) ! . 1) Démontrerque l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse a .  Onrappelle que le réel a a été défini dans la partie 1. 2) Lepoint M a pour abscisse a .  Latangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?  Danscette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non  fructueuse,sera prise en compte dans l’évaluation.

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ANNEXE Cette page ne sera pas à rendre avec la copie. Exercice 4 y 2 1 (C) O 0 12 3 x -1 10MAOSPO3Page 6/6