Sujets de baccalauréat, Suites numériques Année 2008

Description

Travaillez les devoirs et les activités 2010/2011 pour la classe de terminale S.

Sujets

• Mathematics
• Chiffre
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• Soustraction
• Multiplication
• Opération
• Formules mathématiques simples
• Géométrie
• Algèbre
• Nombres

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• Publié par: classe-de-terminale-s
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2008\
L’intégraledeseptembre2007à
juin2008
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles–Guyaneseptembre2007 ........................3
FranceetRéunionseptembre2007 ......................8
Polynésieobligatoireseptembre2007 ..................13
AmériqueduSudnovembre2007 ......................18
Nouvelle-Calédonienovembre2007 ................... 21
Nouvelle-Calédoniemars2008 .........................26
Pondichéryavril2008 ...................................30
Libanmai2008 .........................................35
AmériqueduNordmai2008 ............................40
Antilles-Guyanejuin2008 ..............................44
Asiejuin2008 ...........................................49
Centresétrangersjuin2008 .............................55
Francejuin2008 ........................................59
LaRéunionjuin2008 ...................................63
Polynésiejuin2008 .....................................67BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2007
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Lestroispartiesdecetexercicesontindépendantes.
Uneurnecontient15boulesidentiquesindiscernablesautoucherdecouleurnoire,
blanche,ourouge.
Onsaitdeplusqu’ilyaaumoinsdeuxboulesdechaquecouleurdansl’urne.
Ontireauhasardsimultanément 2boulesdansl’urneetonnoteleurcouleur.
Soitl’évènement G:«obtenirdeuxboulesdemêmecouleur».
PartieA
Onsupposequel’urnecontient3boulesnoireset7boulesbanches.
Calculerlaprobabilitédel’évènement G.
PartieB
On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges
figurantdansl’urne.
1. Onnote g(n, b, r)laprobabilitéenfonctionden, b etr del’évènement G.
1
Démontrerqueg(n, b, r)= [n(n−1)+b(b−1)+r(r−1)].
210
2. Le but de cette question est de déterminer n, b et r afin que la probabilité
g(n, b, r)soitminimale.
? ?→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepère O, ı ,  , k orthonormal.
Soient les points N,BetRdecoordonnéesrespectives (15; 0; 0),(0;15; 0)et
(0;0; 15)etsoit M lepoint decoordonnées(n, b, r).Onpourraserapporter
àlafigureci-dessous.
a. Justifierqu’uneéquationcartésienneduplan(NBR)estx+y+z−15=0.
b. EndéduirequelepointM estunpointduplan(NBR).
? ?1 2c. Démontrerqueg(n, b, r)= OM −15 .
210
d. SoitHleprojetéorthogonaldupointOsurleplan(NBR).Déterminerles
coordonnéesdupointH.
e. Endéduiretesvaleurs den, b etr afinque laprobabilité g(n, b, r)soit
2
minimale.Justifierquecetteprobabilitéminimaleestégaleà .
7
PartieC
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’or-
2
ganisateurd’unjeu,detellesortequelaprobabilitédel’évènement Gsoit .
7
Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au
hasarddeuxboulesdel’urne.Danstouslescas,ilperdsamisededépart.
S’il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise,
aveck nombredécimalstrictementsupérieurà1.Sinon,ilnereçoitrien.
Onnote X lavariablealéatoireégaleaugainalgébriquedujoueur.
1. Calculerl’espéranceE(X)delavariableX enfonctiondex etdek.
2. Déterminerlavaleurdek pourlaquellelejeuestéquitable.BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
z
R
→−→−
k 
→− O Byı
N
x
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA
?
α(1+i) = 1+3i
1. Déterminerlenombrecomplexeαtelque 2iα = −4+3i
22. Pourtoutnombrecomplexe z,onpose f(z)=z −(1+3i)z+(−4+3i).
Montrerque f(z)s’écritsouslaforme(z−α)(z−iα).
Endéduirelessolutionssousformealgébriquedel’équation f(z)=0.
PartieB
? ?→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormé O, u , v ,unitégraphique:
5cm.
1. OnconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectives a=2+ietb=−1+2i.
PlacerAetBdanslerepèreetcompléterlafigureaufuretàmesure.
Montrerqueb=iα,endéduirequeletriangleOABestuntriangleisocèlerec-? ? π−→ −→
tangletelque OA, OB = .
2
1
2. OnconsidèrelepointCd’affixec=−1+ i.Déterminerl’affixedupointDtel
2 ? ?−→ −−→ π
queletriangleOCDsoituntriangleisocèlerectangletelque OC, OD = .
2
Onpourraconjecturerl’affixedeDàl’aidedelafigurepourtraiterlaquestion
suivante.
3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z−−→ et z−→ les affixes respectives des
OM DA
−−→z−−→ −−→ 1OM
vecteursOM etDA.Prouverque: = i.
z−−→ 2
DA
? ?−→ −−→
4. Donnerunemesureenradiansdel’angle DA, OM .
1
5. ProuverqueOM= DA.
2
6. OnappelleJ,KetLlesmilieuxrespectifsdessegments[CD],[DA]et[AB].
On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrerque
c’estuncarré.
Antilles-Guyane 4 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ? π−→ −−→
ABCestuntriangleéquilatéraltelque AB, AC = +2kπ, k∈Z.
3
Soitt unnombreréelfixeetsoientlespointsM, N etP,deuxàdeuxdistincts,définis
par
−−→ −→ −−→ −→ −→ −→
AM =tAB, BN =tBC etCP =tCA.
Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une unique similitude directeσ
quitransformelespointsA,BetCenrespectivement M, N etP,etd’enpréciserles
élémentscaractéristiques. ? ?→− →−
Onmunitlepland’unrepèreorthonormal O, u , v direct.
Onnotea, b, c, m, n etp,lesaffixesrespectivesdespointsA,B,C,M, N etP.
1. Onrappellequetoutesimilitudeconservelebarycentre.
a. Exprimerm, n etp enfonctiondea, b, c ett.
b. EndéduirequelesdeuxtrianglesABCetMNP ontmêmecentredegra-
vité.
OunoteraGcecentredegravité.
c. Onsupposequeσexiste.Déterminerl’imagedeGparσ.
2π
2. Onconsidèrelarotationr decentreGetd’angle .
3
a. Vérifierque M estlebarycentredusystèmedepoints{A(1−t); B(t)},et
endéduirequer(M)=N.
Onadmetdemêmequer(N)=P etr(P)=M.
? ?GM −−→ −−−→
b. Soitσ ,lasimilitudedirectedecentreGderapport etd’angle GA, GM .1
GA
Montrerqu’elle transformelespoints A,BetCenrespectivement M, N
etP.
c. Concluresurl’existenceetl’unicitédeσ.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Questiondecours
SoitIunintervalledeR.
′ ′Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient
continuessurI.
Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b]
deI.
PartieA
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;1].
′Onnote f lafonctiondérivéede f.
′Onsupposeque f estcontinuesurl’intervalle[0;1].
1. Utiliserlaquestiondecourspourmontrerque:
Z Z1 1
′f(x)dx= f(1)− xf (x)dx.
0 0
Z Z1 1
′2. Endéduireque (f(x)−f(1))dx=− xf (x)dx.
0 0
Antilles-Guyane 5 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
PartieB
Ondésigneparlnlafonctionlogarithmenepérien.
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]−2; 2[par
? ?
2+x
f(x)=ln .
2−x
SoitC la courbe représentative de f sur l’intervalle ]−2 ; 2[ dans un repèreortho-
norméd’unitégraphique2cm.
1. Déterminerleslimitesde f auxbornesdesonensemblededéfinition.
4′2. a. Montrerquepourtoutréelx del’intervalle]−2; 2[ona f (x)= .
24−x
b. Endéduirelesvariationsde f surl’intervalle]−2; 2[.
PartieC
LacourbeC esttracéesurlafeuilleannexe.
HachurersurcettefeuillelapartieP duplanconstituéedespointsM(x ; y)telsque
06x61 et f(x)6y6ln3.
2EnutilisantlapartieA,calculerencm l’airedeP.
4
3
2
1
→−

0
→−
−2 −1 0 1 2 3ı
−1
−2
EXERCICE 4 4points
Antilles-Guyane 6 septembre2007BaccalauréatS:l’intégrale2008 A.P.M.E.P.
Communàtouslescan