Brevet Amérique du Sud novembre

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet Amérique du Sud novembre 2005 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points Exercice 1 Voici quatre calculs A= 5 7 ? 2 7 ? 1 6 ; B= p 50+3 p 2 C= ( 1+2 p 3 )2 ; D= p 1681? p 81 Les résultats de Chloé sont les suivants : A= 1 14 ; B= 8 p 2 ; C= 13+4 p 3 ; D= 40. Les résultats de Chloé sont-ils justes ou faux ? Justifier les réponses en détaillant les étapes de chaque calcul. Exercice 2 Soit E = x2?4 et F = (x +2)(3x +1)? (x +2)(2x +3). 1. Calculer E pour x = 0, puis pour x = 1 ; calculer F pour x = 0, puis pour x = 1. 2. En factorisant E et en factorisant F , prouver que E = F quelle que soit la valeur de x. 3. Pour quelles valeurs de x a-t-on E = 0 ? Exercice 3 1. a. Reproduire le tableau ci-dessous et compléter chaque case par oui ou par non. 2 5 9 1 035 est divisible par 774 est divisible par 322 est divisible par b.

• tri- angle lim


• triangle rectangle


• point d'intersection des représentations graphiques des fonc


• doseur de lessive liquide


• translation de vecteur ???


• lecture du graphique

Sujets

• Thalès
• Tracer
• Triangle rectangle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2005
• Nombre de lectures: 1 002
• Langue: Français

Extrait

BrevetAmériqueduSudnovembre2005
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points
Exercice1
Voiciquatrecalculs
p p5 2 1
A= − × ; B= 50+3 2
7 7 6¡ p ¢ p p2
C= 1+2 3 ; D= 1681− 81
LesrésultatsdeChloésontlessuivants:
p p1
A= ; B=8 2 ; C=13+4 3 ; D=40.
14
LesrésultatsdeChloésont-ilsjustesoufaux?
Justifierlesréponsesendétaillantlesétapesdechaquecalcul.
Exercice2
2SoitE=x −4etF=(x+2)(3x+1)−(x+2)(2x+3).
1. CalculerE pour x=0,puispour x=1;calculerF pourx=0,puispour x=1.
2. EnfactorisantE etenfactorisantF,prouverqueE=F quellequesoitlavaleur
dex.
3. Pourquellesvaleursdex a-t-onE=0?
Exercice3
1. a. Reproduire le tableau ci-dessous et compléter chaque case par oui ou
parnon.
2 5 9
1035estdivisiblepar
774estdivisiblepar
322estdivisiblepar
774 322
b. D’aprèscetableau,lesfractions et sont-ellesirréductibles?
1035 774
Pourquoi?
2. CalculerlePGCDde322et1035parlaméthodedevotrechoix.
322
Lafraction est-elleirréductible
1035
Exercice4
2
1. Résoudrel’inéquation x+15> (x+27).
3
2. Unbureauderechercheemploie27informaticienset15mathématiciens.On
envisaged’embaucherlemêmenombrex d’informaticiensetdemathémati-
ciens.
Combienfaut-ilembaucherdespécialistesdechaquesortepourquelenombre
demathématiciens soitaumoinségalauxdeuxtiersdunombred’informati-
ciens?
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1A.P.M.E.P. Brevetdescollèges
K
M
Onconsidèrelafigureci-contrequin’est
pasenvraiegrandeur.
ILessegments(KL]etDM]secoupentau
J
pointI.
IK = 4 cm; JK = 2,4 cm et LM = 4,2cm.
LetriangleIJKestrectangleenK.Letri-
L
angleLIMestrectangleenM.
c1. Calculerlavaleurexactedelatangentedel’angleKIJ.
c d2. PourquoilesanglesKIJetLIMsont-ilségaux?
d3. Donnerl’expressiondelatangentedel’angleLIMenfonctiondeIM.
4. Ens’aidantdesréponsesauxquestionsprécédentes,prouverquelalongueur
IMencentimètresestunnombreentier.
c5. Déterminerl’arrondisudegrédel’angleKIJ.
Exercice2 AH
Une calotte sphérique est un solide ob-
tenu en sectionnant une sphère par un
plan.
Undoseurdelessiveliquide,représenté
ci-contre,alaformed’unecalottesphé-
rique de centre O et de rayon R = OA = O h
4,5cm.
L’ouverturede ce récipent est délimitée
parlecercledecentreHetderayonHA
=2,7cm.
LahauteurtotaledecedoseurestHK.
1. DessinerenvraiegrandeurletriangleAHO. K
2. Calculer OHenjustifiant puisendéduirequelahauteur totaleHKdudoseur
mesureexactement8,1cm.
3. LevolumeVd’unecalottesphériquederayonRetdehauteurhestdonnépar
laformule:
1 2V= πh (3R−h).
3
3Calculer en fonction deπ le volume exact du doseur en cm . En déduire la
capacitétotalearrondieaumillilitredudoseur.
Exercice3
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormé (O;I,J);OI=OJ=1cm.
1. Placerlespoints
A(3;0);8(4;3);C(−4,5; 0)etD(−6;−4,5).
OnadmetquelespointsB,OetDsontalignés.
2. DonnersansjustifierleslongueursCAetOC.
MontrerqueOB=5cmetOD=7,5cm.
3. Prouverquelesdroites(AB)et(CD)sontparallèles.
4. CalculerlescoordonnéesdeMmilieude(AB].
PlacerlepointM.Tracerladroite(OM);ellecoupelesegment[CD]enN.
5. LapropriétédeThalèspermetd’écrire:
OC CN OC CD
d’unepart = , etd’autrepart =
OA AM OA AB
Quelssontlesdeuxtrianglesconsidérésdanslepremiercas?dansledeuxième
cas?
AmériqueduSud 2 Brevetdescollèges5
A.P.M.E.P. Brevetdescollèges
6. EnutilisantlesdeuxégalitésprécédentesetenremplaçantABpar2AM,prou-
verqueNestlemilieude[CD].
PROBLÈME 12points
x est un nombrepositif compris entre 0et 10; les longueurs sont exprimées en cm
2etlesairesencm .
PREMIÈRE PARTIE
LA FIGURE CI-DESSOUS EST EFFECTUÉE À MAIN LEVÉE.IL S’AGIT DE SAVOIR S’IL EXISTE
UNE VALEUR DE x POUR LAQUELLE ABC EST UN TRIANGLE RECTANGLE.
1. CalculerABetAClorsquex=4.Lorsquex=
4, ABC est-il un triangle rectangle? Justifier
laréponse. C
2 22. Développeretréduire:(x+7) et(x+8) .En
2 2déduire : AB −AC = 2x+15. Quelle est la
2 2valeur de AB −AC lorsque x= 0, lorsque
2x = 10? La valeur de BC dépend-elle du A B
x+8nombrex?
3. Soit f lafonctionconstante:x7?→25etg lafonctionaffine:x7?→2x+15.
Lareprésentationgraphiquedelafonction festtracéedanslerepèreci-après.
Construirelareprésentationgraphiquedelafonctiong danscemêmerepère.
y
30
20
10
0
x
0 2 4 6 8 10 12 14
4. Nommer R le point d’intersection des représentations graphiques des fonc-
tions f et g. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles,
donnerlescoordonnéesdeR.Lorsque x estégalàl’abscissedeR,ABCestun
trianglerectangle;enquelsommetetpourquoi?
DEUXIÈME PARTIE
Danscettepartie,x=5.LetriangleABCestalorsrectangleenC;ilestreprésentéen
réductionsurlafigureci-dessous.
AmériqueduSud 3 Brevetdescollèges
x+7A.P.M.E.P. Brevetdescollèges
12
11
10
B9
8
7
6
5
4
3 C A
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536
1. Placer le milieu O de [AC] puis calculer l’aire de chacun des triangles ABC,
BCOetABO,
2. PlacerlepointDtelquelequadrilatèreABCDestunparallélogramme.
QuelestlerôledupointOpourlesegment[BD]?Pourquoi?Calculerl’airedu
quadrilatèreABCD.
TROISIÈME PARTIE
Danscettepartie,utiliserlafigureprécédente.
1. ConstruirelespointsMetPtelsque:
−−→ −→ −→ −→ −→ −→
OM =OB+OC et BP =BO+BC.
2. Citer,sansjustifier,lesimagesdespointsB,OetDparlatranslationdevecteur
−−→
OC.
LespointsM,CetPsont-ilsalignés?Pourquoi?
−→
3. Construire l’image E de C par la translation de vecteur OC et tracer en vert
−→
l’imageduparallélogrammeABCDparlatranslationdevecteurOC.
Quelleestl’aireduquadrilatèrePOME?Pourquoi?
AmériqueduSud 4 Brevetdescollèges