Colin de Verdière Yves

Colin De Verdiere

Description

• exposé

L'Enseignement Mathématique Colin de Verdière, Yves UNE INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE Persistenter Link: L'Enseignement Mathématique, Vol.44 (1998) PDF erstellt am: Jan 10, 2011 Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre, Forschung und für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern ist nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigung des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken möglich. Die Rechte für diese und andere Nutzungsarten der Inhalte liegen beim Herausgeber bzw. beim Verlag. SEALS Ein Dienst des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken c/o ETH-Bibliothek, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz

• mécanique quantique


• méthode


• problèmes clés


• mécanique classique des systèmes hamiltoniens


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• formalisme hamiltonien


• méthodes aux équations de schrôdinger


• mécanique classique

Sujets

• Exposé
• Mécanique quantique
• Méthode
• Mécanique newtonienne

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 56
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

L'Enseignement Mathématique
Colin de Verdière, Yves
UNE INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE
Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-63894
L'Enseignement Mathématique, Vol.44 (1998)
PDF erstellt am: Jan 10, 2011
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[e-mail]
http://retro.seals.chÀ LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE*)UNE INTRODUCTION
Yves VerdièreColin depar
àRÉSUMÉ. l'usageCe texte est introduction àla mécanique semi-classiqueune
des non-spécialistes.
de lalesavoir contextes mécanique classique (géométrie symplecAprès rappelé
àlade la on introduit mécanique semi-classique partirmécanique quantique,tique)et
de dede Fourier ettransformations Legendre, principe Huygens.d'exemples simples:
dules de et laOn ensuite formules tracedécrit semi-classiques problématique
chaos quantique.
1. Introduction
de deLe but de est servir etces motivation d'introduction auexposés sujet.
Du de de la il de débutpoint vue physique, s'agit techniques qui remontent au
de la : le de deaffirmemécanique quantique principe correspondance façon
la la deest limite lamécanique classique mécaniquevague que quantique
Hdela êtreconstante Planck considéréelorsque comme autrementpeut petite,
Sdit les actions h.en sont devant Bien direjeu grandes sûr,que qu'une
théorie est limite d'une théoriephysique une autre estphysique un concept
du savoir faire du degrande estimportant puisqu'une partie physicien prévoir
est et est Lace qui ce qui limitepetit grand. estquantique -classique plus
la àlimite se réduit descomplexe relativiste-galiléen qui essentiellementque
~ où lalimités c est vitesse de ladéveloppements en lumière.,
c
le début de la àleDepuis lamécanique quantique, limitepassage
est traité des moinssemi-classique règles plus ou lespar empiriques:
BKW et les dedéveloppements conditions(Brillouin-Kramers-Wentzel) quan
tificationdeBohr-Sommerfeld font ainsi de de base dupartie l'outillage
) leRédaction donnés dans cadre ded'exposés rencontres et 25Genève-Grenoble-Lyon (24
avril 1997)Ces méthodes ont leurs limitationsphysicien quantique. diffiintrinsèques:
decultésliéesaux dire chose de surcaustiques, impossibilité quelque précis
les dans les cas (i.e.non complètement intégrables génériques).spectres
Du de les de Hôrmanderpoint vue mathématique, travaux Maslov, Leray,
en dérivées linéaires danséquations aux partielles (analyse micro-locale),
les années donné assise et solide calculs des65-70, ont naturelleune aux
En de deméthodes décrirephysiciens. ces façon préciseparticulier, permettent
le des laet des des fonctions d'ondesnaturecaustiques déphasagespassage
deen ces points (indice Maslov).
à lade de etces méthodesL'application aux équations Schrôdinger
delimite ondulatoire agéométrique connu un grandl'optique développement
deles années 70. Ces des résultatstravaux surdepuis s'appuient plus
fins de desen hamiltoniensplus mécanique classique systèmes (systèmes
théorie flots mêmed'Anosov) encomplètement intégrables, KAM, temps que
dedes variées estimationssur techniques d'analyse (intégrales oscillantes, type
deméthodeselliptique, développements tiques, resommation,asympto passage
le des desdans Un clés est l'étudecomplexe). problèmes semi-classique
des valeurs desd'opérateurs: asymptotique grandes laplaciensspectres propres
du ded'unriemanniens, opérateur Schrôdinger lorsqueasymptotique spectre
ft-^o+.
le leavoir brièvement formalisme hamiltonien et formalismerappeléAprès
le dedécrirai la limitequantique, je problème semi-classique.
Je du leensuite endepuis casparlerai spectre: complètement intégrable,
à considère desviendrai ce je l'unKAM, j'en comme pluspassant par que
de la la des dite derésultats théorie, formule traces Gutzwiller dont jejolis
debaséedonnerai sur Feynman.une heuristique l'intégralepreuve
Je de du duenfin fine et liensemi-classique avecparlerai l'analyse spectre
la des matrices aléatoires.théorie
Je de idéesl'occasion introduire deux je trouveveux profiter quepour
:etstimulantes soumetsje vousque
de laest limite1) La certes unemécanique classique mécanique quantique,
aussimais la est hamiltonienquantique un système classique
le leet la dimension infinie n'en est fait plus(linéaire) pas important.particulier
est habituellement liée2) La limite présentée ausemi-classique comme
de la et essentiellement ducaractère linéaire mécanique quantique dépendant
:de elle est aussi liée(phase au phénomènesuperposition stationnaire)principe
de est und'oscillations rapides (méthode moyennisation) qui analogue non
la stationnaire.linéairede phase2. La mécanique classique
[51].Pour cette voir [3], [4], [28], [44], [48], [49], [50],section, [I],
2.1 GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Lades du variétéest une (Z,w).L'espace phases système symplectique
Cedu de lac'est T*X structureun équipé canonique.plupart temps, cotangent
duêtre aussi variété lisseune sous- complexe équipépeut algébrique projectif
de la de la kaehlériennestructure structure ousymplectique partie imaginaire
àvariété desobtenue réductionune partir précédentes.par symplectique
>On donne ensuite Z — duse fonction H: R, l'hamiltonienune système.
On associe le de delui champ vecteurs A#, H, quigradient symplectique
la ladonne Il est du décritedynamique. classique dynamique systèmeque par
le deflot (j) H et la formeXn préserve ujt .
Les de baseexemples sont
n2.1.Exemple T*R etZ=
la étant celle d'une ledynamique dans V, et £ étantparticule potentiel
V impulsion.
EXEMPLE 2.2. oùT*X X estZ= variété deune riemannienne métrique
etg
où la àg* est leassociéemétrique g sur donnée en coordonnéescotangent
2
Vlocales inverse de )(g dsavecpar = ttJ Y,9ijdx dxj.g=
La est alors celle dudynamique flot géodésique.
nEXEMPLE 2.3. P CZ= est muni d'une structure (àsymplectique peu
/7+1à C/7+lCprès) associéecanonique, une structure hermitienne considèresur :on
/î+1C/î+lCla deunitésphère cette métrique hermitienne. Lapour structure
n+1Cn+l,Cdesymplectique de la
, partie imaginaire forme hermitienne, induit une
le2-forme cette dontsur sphère est constitué l'actionnoyau par infinitésimale
nde Le de P CU{\). quotient cette action est estqui ainsi symplectisé.
le central enL'objet plus géométrie est doute lasymplectique sans variété
lagrangienne.Une sous-variété L ded'une variétélagrangienne symplectique (Z,cj)
2n la dedimension est sous-variété forme ou et dimension nune .isotrope pour
àSi si leZ T*X et L section donc= est d'une (et s'identifiegraphe
1 sila donnée L si lad'une -forme est et seulementsur X), lagrangienne
1 S-forme est fermée. Si L dit est= (jc, on unecorrespondante £'(*)), que
defonction Si L —> X la la L estestgénératrice. projection, caustiquep:
le de L des où la Ilsous-ensemble formé est estcritique.points projection
la la dessuite d'étendre notion deimportant fonction au casgénératricepour
: àcela Onremonte Maslov et Hôrmander. en trouvercaustiques déjàpeut
dansl'idée etHuygens Feynman.
1Figure
Variétés etlagrangiennes caustiques
de la dede variété notionLa notion lagrangienne généraliserpermet
dusolution d'une EDP linéairenon type:
de Hamilton-JacobiL'équation
deeiconaleet l'équation l'optique
desen sont cas particuliers.devariété lagrangienneest unesolution simplementUne telle généralisée
0dans H = .T*X contenue
à BienXHX telle variété.est