1re COM Probabilités

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
1re COM : Probabilités Table desmatières I Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Univers et éventualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Intersection, réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.4 Événement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II Cardinal d'un ensemble . . . .

  • loi de probabilité sur ?

  • propriété

  • élève au hasard

  • pièce de monnaie

  • somme des probabilités des événements élémentaires

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re 1 COM: Probabilités Table des matières IVocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 I.1 Expériencealéatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 I.2 Universet éventualités1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Intersection,réunion1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Événementcontraire2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Cardinald’un ensemble2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Probabilités2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Propriétés3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I Vocabulaire I.1 Expériencealéatoire
Définition On appelle expérience aléatoire une expérience liée au hasard, dont on connaît les résultats, mais dont on ne sait pas à l’avance lequel de ces résultats va survenir.
Exemple : on lance une pièce de monnaie. On sait que l’on va obtenir Pile ou Face. Si l’on lance un dé, on va obtenir un entier entre 1 et 6.
I.et éventualités2 Univers
Définition Lors d’une expérience aléatoire, on appelle univers, notéΩ, l’ensemble des résultats possibles, que l’on appelle éventualités. Remarques Les sousensembles deΩsont appelés événements. Les événements formés par un seul élément sont des événements élémentaires. Ωest l’événement certain. L’ensemble vide,;, est l’événement impossible. Exemples On lance un dé et on note le résultat de la face supérieure. Ω=6}4 ;5 ;{1 ; 2 ;3 ;
« Obtenirun résultat pair » est un événement, constitué de trois éventualités.
« Obtenir un entier inférieur ou égal à 2 » est un événement élémentaire car il n’est constitué que de 2.
« Obtenirun multiple de 10 » est l’événement impossible.
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I.3 Intersection,réunion
Définition Soient deux événements A et B. On note AB l’intersection de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A et à B. On note AB la réunion de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A ou à B.
I.contraire4 Événement
Définition On appelle événement contraire de A, noté A, l’ensemble des éventualités deΩqui ne sont pas dans A. A et B sont incompatibles lorsque AB= ;?
II Cardinald’un ensemble
Définition On appelle cardinal d’un ensemble le nombre d’éléments de celuici.
re Exemple : le cardinal de l’ensemble 1COM est 35
Définition Soient deux ensemblesAetB. On appelleAB(A union B) l’ensemble des éléments appartenant à Aouà B (ou aux deux). On appelleAB(A union B) l’ensemble des éléments appartenant à Aetà B.
Propriété Card(AB)=Card(A)+Card(B)Card(AB)
En effet, si on additionne le nombre d’éléments de A à celui de B, on compte deux fois ceux qui appartiennent aux deux ensembles, c’estàdire à leur intersection.
III Probabilités Lors d’une expérience aléatoire, on cherche à mesurer le nombre de chance d’arrivées de chaque éventua lité.
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Définition SoitΩ={a1;a2;∙ ∙ ∙an} l’univers associé à une expérience aléatoire. On définit une loi de probabilité surΩen choisissant des nombresp1,p2, .. .pntous compris entre 0 et 1, tels quep1+p2+ ∙ ∙ ∙ +pn=1. piest la probabilité de l’événement élémentaireai. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le com posent. 1 Exemple : Pour un dé non truqué, on choisitcomme probabilité de chaque face. 6 1 1 11 La probabilité d’avoir un résultat pair est+ + =. 6 6 62 Définition On dit qu’on a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Propriété Card(A) Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est :p(A)= Card(Ω) Exemple : une classe de 35 élèves comprend 20 filles. On choisit un élève au hasard et on note F l’événement « l’élève choisi est une fille ». 20 4 p(F)= =. 35 7
IV Propriétés
Propriétés Pour tout événement A : 0Ép(A)É1 p(Ω)=1 ;p(;)=0 Pour deux événements A et B :p(AB)=p(A)+p(B)p(AB) Si A et sont incompatibles :p(AB)=p(A)+p(B). p(A)=1p(A)
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