Activité préparatoire page D1 passe par les points A et B

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Optimisation linéaire Activité préparatoire page 49 1. D1 passe par les points A(2 ; 6) et B(4 ; 3). Le coefficient directeur vaut a1 =? 3 2. L'équation réduite est : y = a1x +b1 donc y =? 3 2x +b1. Pour x = 2, n doit avoir y = 6 donc 6=?32 ?2+b1 : b1 = 9. L'équation est : y =?32x +9. On obtient également : 2y =?3x +18 d'où 3x +2y = 18. 2. Soit D2 la droite passant par A et parallèle à l'axe des ordonnées : son équation est x = 2. 3. D3 passe par B et est parallèle à l'axe des abscisses : son équation est y = 3. 4. C est le point d'abscisses 1 de D2 : C(1 ; 2). 5. Soit D4 la droite d'équation x ? y = 1. Cela équivaut à y = x ?1. O ??i ?? j D1 D2 D3 D4 b bb b A BD C 2) On s'intéresse au système : ? ? ? ? ? ? ? 3x +2y É 18 x Ê 2 y É 3 x ? y É 1 .

  • programme linéaire

  • résolution graphique

  • demi plan


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Langue Français
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Optimisationlinéaire
Activitépréparatoirepage49
1. D passeparlespoints A(2; 6)etB(4; 3).1
3 3
Lecoefficientdirecteurvauta ?? .L’équationréduiteest: y?a x?b doncy?? x?b .1 1 1 1
2 2
3
Pourx?2,ndoitavoiry?6donc6?? ?2?b :b ?9.1 1
2
3
L’équationest: y?? x?9.
2
Onobtientégalement:2y??3x?18d’où3x?2y?18.
2. SoitD ladroitepassantparAetparallèleàl’axedesordonnées:sonéquationestx?2.2
3. D passeparBetestparallèleàl’axedesabscisses:sonéquationesty?3.3
4. Cestlepointd’abscisses1deD :C(1; 2).2
5. SoitD ladroited’équationx?y?1.Celaéquivautày?x?1.4
D1
D4
A
D3
D B
!? C
j
!?O
i D2
8
3x?2y?18>< x?2
2)Ons’intéresseausystème: .
> y?3:
x?y?1
1. Avec le point (0,0), on obtient l’inégalité 0? 18 sui est vraie. Le demi-plan solution est le demi-plan de
frontièreD etcontenant(0;0).1
Onhachureledemi-planquineconvientpas.
2.
3.
4.
Finalement,l’ensembledessolutionsestl’intérieurdutriangleBCD,bordscompris
1
bbbboActivitépréparatoiren 2page51
I
1. SoientlesdroitesD etD d’équations2x?y?2et?x?y?2.1 2
D2A
D1
A
D4C
B
!?
Dj 3
!?O
i
?
2x?y?2
2. Enrésolvantlesystème ,ontrouve(x ; y)?(0,2).
?x?y?2
Lesdeuxdroitessecoupentaupointdecoordonnées(0; 2).
3. Leséquationsréduitessont: y??2x?2ety?x?2.
4. D apouréquationx?1,5etD y?1.3 4
5. voirfigure
II
1. Lesinégalitésserontlarges.
2. Demi-plandefrontièreD ,contenantABCD:2x?y?2.1
3. Demi-plandefrontièreD ,contenantABCD:?x?y?2.2
4. Demi-plansituéàgauchedeD :x?1,53
5. Demi-plansituéau-dessusdeD : y?1.4
8
2x?y?2>< ?x?y?2
6. ABCDestl’ensembledespointsdecoordonnées(x ; y)vérifiantlesystème: .
> x?1,5>:
y?1
I Régionnementduplan
Leplanestmunid’unrepère.
a,b etc sonttroisnombres;a etb nesontpassimultanémentnuls.
I.1 Droited’équationax?by?c
Onavuensecondequel’ensembledespointsdecoordonnées(x; y)vérifiantunerelationdutypeax?by?c
estunedroiteetréciproquement,pourunedroitedonnée,ilexistetroisnombresa,b etc,a etb nonnulssimul-
tanémentcaractériséeparuneéquationax?by?c.
a c
Sib6?0,onpeutserameneràuneéquationréduite: y?? c? .
b b
c
Sib?0,alorsa6?0etx? .
a
Page2/5
bbbbExemples:
?2 7 2
1. 2x?3y?7setransformeen3y??2x?7puisy? x? (droitedecoefficientdirecteur? )
3 3 3
7
2. 5x?7setransformeenx? (droiteparallèleàl’axedesordonnées)
5
I.2 Demi-planetfrontières
LadroiteD d’équationax?by?c partageleplanendeuxdemi-plans,defrontièreD.
? L’unestcaractériséparlarelationax?by?c (frontièreD exclue)
? L’autreestcaractériséparlarelationax?by?c (frontièreD exclue)
Poursavoirquelleinéquation,onpeuttestersurlescoordonnéesd’unpointconnuouraisonnersurlesinéqua-
tionsréduites.
Exemples:
1.
4Soit l’inéquation 2x?3y ? 7; elle es trans- 2 7
2 7 y?? x?
2 7formeen3y??2x?7puisy?? x? . 3 3
3 3 3 y?? x?
3 32 7
y?? x? est l’équation d’une droite. Pour
3 3 2
unevaleurx donnée,lepointdecoordonnées
2 7
(x ; y) avec y ?? x? appartient à cette 13 3
droite.
Les points de même abscisses x, mais avec
O?2 ?1 1 2 32 7
y?? x? sontendessousdecepoint.
3 3 ?1
2 7
y?? x?
3 3
?2
2.
3 1
y? x?
5 5
4Soit l’inéquation 3x?5y ? 1; elle se trans-
3 1
formeen?5y??3x?1puisy? x? .
35 5
3 1
y ? x? est l’équation d’une droite. Pour
5 5 2 3 1une valeur x donnée, le point de coordon- y? x?
3 1 5 5
nées(x ; y)avec y? x? appartientàcette 15 5
droite.
Les points de même abscisses x, mais avec
O?2 ?1 1 2 33 1
y? x? sontendessousdecepoint.
5 5 ?1 3 1
y? x?
5 5
?2
I.3 Résolutiongraphiqued’unsystème
Résoudre graphiquementun système d’équationslinéaires à deux inconnues x et y revient à déterminerla
régionduplantellequl’ensembledespointsdecoordonnées(x ; y)vérifientsimultanémentchaqueinéquation.
Cetterégionestl’intersectiondechaquedemi-plan,solutiondechacunedesinéquations.
Page3/5II Programmationlinéaire
Activité3pages64-65
1.)
1. x ety sontdesnombresd’objets,doncdesnombresentiersnaturels.
8
x?10<
2. Entraduisantlesdonnées,onobtientlesystème: y?8 .
:
x?y?12
3. Soitp leprofit:p?120x?160y.
8
x?10<
4. Ilfautdoncmaximiserl’expression120x?160y aveclescontraintes y?8 ..
:
x?y?12
2).
1. Tracés:
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
A B7
6
5
4
3 Δpm
2
C1
D?2?1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171
?2
LapartieduplansolutiondusystèmedecontraintesestlepolygoneABCD.
2. Optimisation
3 15
TraçonsladroiteΔ d’équation:120x?160y?600quisesimplifieen3x?4y?15d’oùy?? x? .1
4 4
Onregardealorslesintersubsectionsdecettedroiteaveclesnœudsduquadrillage,pourtourverdespoints
àcoordonnéesentières.
Ontrouveplusieurscouplessolutions(1;3)et5;0.
?3x?20
TraçonsladroiteΔ d’équation120x?160y?800.Celacorrespondà3x?4y?20d’oùy? .2
4
p ?120xm
LadroiteΔ quicorrespondraàunprofitmaximalp apouréquation:120x?160y?p ouy? .m m m
160
Δ estparallèleàΔ ouΔ .m 1 2
pm
L’ordonnéeàl’origineest ;plusp estgrand,pluscetteordonnéeàl’origineestgrande.m
160
OnestdoncamenéàtracerladroiteparallèleàΔ ,d’ordonnéeàl’originelaplusgrandepossibleetquia1
Page4/5
bbbbuneintersubsectionaveclaportionduplansolutiondusystèmedecontraintes.
C’estladroitequipasseparB(4;8).
Leprofitestalorsde4?120?8?160?1760e.
Programmationlinéaire
1. Principe
La programmationlinéaireconsiste àoptimisergraphiquementuneexpressionlinéaireax?by, pourles
points de coordonnées (x ; y) d’une région du plan caractérisée par un système d’inéquations linéaires
correspondantàdescontraintes.
Optimiseruneexpressionsignifielaminimisers’ils’agitd’uncoûtoulamaximisers’ils’agitd’unprofit.
Lesvariablesx et y désignentgénéralementlesquantitésdedeuxproduitsouservicesachetésouvendus
paruneentrepriseouunparticulier.
Lescontraintesreprésententdeslimitesliéesàl’entreprise(ouauparticulier)ouàsonenvironnement.
L’expressionà optimiser,quidépendde deuxvariablesx et y, représentepourl’entreprise(oule particu-
lier)soituncoûtquel’onchercheàminimiser,soitunprofitquel’onchercheàmaximiser.
Lebutdelaprogrammationlinéaireestainsidedéterminergraphiquementunprogrammeoptimal,c’est-
à-dire de trouver les valeurs de x et de y permettant soit de minimiser les coûts, soit de maximiser les
profits.
2. Étapesderésolutiond’unprogrammelinéaire
Larésolutiond’unprogrammelinéairesedérouleendeuxtemps:
(a) Traductionalgébriquedesdonnéesduproblèmesousformedeprogrammelinéaire:
– choixdesvariablesx ety;
– miseeninéquationdescontraintes;
– déterminationdel’expressionlinéaireax?by àoptimiser.
(b) Résolutiongraphiqueduprogrammelinéaire:
– détermination du programme réalisable par la résolution graphique d’un système d’inéquations
linéairesprécédemmentdéterminé;
– déterminationduprogrammeoptimalparl’optimisationgraphiquedel’expressionlinéaire
ax?by.

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