Chapitre Echantillonnage Estimations

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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 11 Echantillonnage, Estimations 11.1 Echantillonnage Nous allons étudier comment se comporte un échantillon (éléments pris au hasard) dans une population dont on connaît les caractéristiques statistiques (lois,...) d'une variable considérée X. Dans ce cas, prendre un échantillon aléatoire de taille n consiste à considérer n réalisations deX ou encore considérer n variables aléatoires X1, . . . , Xn indépendantes, de même loi que X. Définition 34 Soit X une variable aléatoire sur un référentiel ?. Un échantillon de X de taille n est un n-uplet (X1, . . . , Xn) de variables aléatoires indépendantes de même loi que X. La loi de X sera appelée loi mère. Une réalisation de cet échantillon est un n-uplet de réels (x1, . . . , xn) où Xi(?) = xi. 11.1.1 Moyenne et variance empiriques Définition 35 On appelle statistique sur un n-échantillon une fonction de (X1, . . . , Xn). Définition 36 On appelle moyenne de l'échantillon ou moyenne empirique, la statistique notée X définie par X = 1 n n∑ i=1 Xi. Définition 37 On appelle Variance empirique, la statistique notée S˜2(X) définie par S˜2 := 1 n n∑ i=1 (Xi ?X) 2.

  • variance empirique

  • toire normale

  • xj ?

  • variable aléatoire

  • variance par le théorème de könig

  • xn indépendantes

  • moyenne µ dans le calcul de l'espérance

  • x1


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Chapitre11
X
n n X n
X ;:::;X X1 n
X
X n
n (X ;:::;X ) X X1 n
n (x ;:::;x ) X (!) =x1 n i i
n (X ;:::;X )1 n
X
nX1
X = X :i
n
i=1
2~S (X)
nX12 2~S := (X X) :i
n
i=1
X
2
E(X) = ; V (X) = :
n
pX N ( ; ) n
n
Dans(?l?menvtillonehan??caunarorteencorecomporseetD?nitioncommenpdeconna?tvarivariableabOnlhaneonvers,al?aratoirSoiteselind?plaendantesm?medeopulationm?me(lois,...)loi11.1.1quede?tudierart-typ.deLtaiaploialdeversallonsmoyenneserstatistiquead?nieappal?el?uneeD?nitionloiOnmV?ririqueenot?.qUned?nierendan?talisationcaract?ristiquesdeablescPropetconsid?rer?atoirchantilnlond'?estouun:Nousariable-upletconsid?r?edeal?atoirerDe?leelsctillonnageunhanentscas,Ecou11.1empiriqueEstimationslatillonnage,not?haneEcp-upletatoirprisriableo?vununeest34au.le37lapptailedearianchasard)emp.,11.1.1statistiqueMoeyueenneloietdedeplontes,chantilind?pversdonni.onOnlesappstatistiqueselal?atoireslearistatistiqued'unesurositionunSoit?une-?al?chantilelonmoyeunenefetonctioncdeeUn..adansventielr?alisationsrconsid?rer?consisteflle?dertillonun?csurplus,.arD?nitionth?36?meOnentrapplimite,elclegemoyenneloideprendrel'?cechantil.lonvlorsqueariancetendempiriquesl'inD?nition35 !
n n nX X X1 1 1
E X = E(X ) = = :i i
n n n
i=1 i=1 i=1
Xi
!
n n nX X X 2 21 1 1 n 2V X = V (X ) = = = :i i2 2 2n n n n n
i=1 i=1 i=1
p
X ,!N ( ; ) n X ,!N ( ;= n)
X X N ( ; ) N ( ; )1 2 1 1 2 2
X 4
n 1 n 12 2 2 4~ ~E(S ) = ; V (S ) = (n 1) (n 3) :43n n
3 2 4~n V (S ) :n
n nX X1 12 2(X X) = [(X ) (X )]i i
n n
i=1 i=1
n nX X1 2 2= (X ) 2(X ) (X ) + (X )i i
n
i=1 i=1
nX1 2 2 2= (X ) 2(X ) + (X )i
n
i=1
nX1 2 2= (X ) (X )i
n
i=1
n 2X1 n 12 2 2~E(S ) = V (X ) V (X) = = :i
n n n
i=1
X N ( ; )i
k
k
=E((X ) ):k
2 2~ = 0 = S1 2
nX1 22 2~S = X X :i
n
i=1
etoirtecenormale.OnAcinsi,Propr?sultatoirsi?alorsOnleetpaoursuivobtienen,4,tcdeD?monvaleurnotationselautetouneOnndance.slaetdesp,laPreuvfonctionse:Th?or?mede11.1.2drTnoutedesPreuvoml'autreetellemelesdeenvariablesnormaleal?al?atoirmomensommetr?sIltessnormales11.1.3etionind?ppropPreuvde(11.1)unectiv.resp?loisLede9.3.2).tescaract?ristiquessutsurderaisond?monatrer.lel'ind?pr?sultatead'orvtrecedeuxmomentvetariableseal?aeni,tronsl'in?galit?.versrapptendlest:lorsqueart-typplus,suivDetoloiCoursd'?Proba-Statatoirires,variablel'extensionlessetsfaisanntd'ordredesonprod?cniheparenSoitproosition/11.1.1.Pierreicohe.AinsiDUSARlOnparticulierTcasD'o?estsuppanoseOnvariableeut69crireuner?sultatetsousPreuvformeeThest(vendantes.a-sleal?Et,tind?putilisanenendanseX X
2 2 2(X X ) = (X 2X X +X )i j i ji j
i;j i;j
X XX XX
2 2= X 2 X X + Xi ji j
i;j i j i j
nX X X
2= 2n X 2 X Xi ji
i=1 i j
nX
2
= 2n X 2(nX)(nX)i
i=1
X
2 2 2~(X X ) = 2n S (11:1):i j
i;j
2~S
X12 2 2 2 2~ ~ ~Var(S ) =cov(S ;S ) = cov((X X ) ; (X X ) ):i j k l2 2(2n )
i;j;k;l
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;j;k;li j k l
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;j;ki j k j
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;ji j i j
i =j k =l cov(0; (Xk
2 2X ) )) cov((X X ) ; 0)l i j
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i =ji j i j
2 2 4 2 2cov((X X ) ; (X X ) ) =E((X X ) ) [E((X X ) )] :i j i j i j i j

4 4(X X ) = [(X ) (X )]i j i j
4 3 2 2 3= (X ) 4(X )(X ) + 6(X ) (X ) 4(X ) (X )i i j i j i j
4+(X )j

4 2E (X X ) = 2 8 + 6i j 4 3 1 2
4 2= 2 + 6 = 0 = :4 1 2
2 2(X X ) = [(X ) (X )]i j i j
2 2= (X ) 2(X )(X ) + (X )i i j j

2 2E (X X ) = 2 = 2 :i j 2
i =j
2 2 4cov((X X ) ; (X X ) ) = 2 + 2 :i j i j 4
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;j;ki j k j
2 2 2 2 2 2
cov((X X ) ; (X X ) ) = E((X X ) (X X ) ) [E((X X ) )E((X X ) ]i j k j i j k j i j k j
2 2 2 2= E((X X ) (X X ) ) (2 ) :i j k j
lslal'edi?rendealorscalculCHAPITREledansselonennelayOnAinsi,lapaourecmofacteurs6teslateduitde,euttroetindi?renOn.e6lapdi?renvaadeformealculvcesleOnparsuivCommen?onsutilisanulle.vncestpquipart,ouECHANTILLONNAformeformelats.(dedez?rots,eccvvaformeCondetints,uonstousparvleformecalculdede:ariancedesvlacoariancesunecotdi?renobtienloncalculealors:,anourelationsitqueenremarquearianceOnats.alculerdi?rendoncc:acarvpar?ranceD'autreONSESTIMAeTIcGE,e11.v70aec2 2(X X ) (X X )i j k j

2 2 2 2= (X ) 2(X )(X ) + (X ) (X ) 2(X )(X ) + (X )i i j j k k j j
2 2 2 2= (X ) (X ) 2(X )(X )(X ) + (X )(X )i k i j k j k
2 2 32(X ) (X )(X ) + 4(X )(X )(X ) 2(X )(X )i k j i k j k j
2 2 3 4+(X ) (X ) 2(X )(X ) + (X )i j i j j
2= 3( ) +2 4
i;j;k
2 2 4cov((X X ) ; (X X ) ) = :i j k j 4
i;j;k;l Xi
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) = 0:i j k l
2 2 2 2cov((X X ) ; (X X ) ) cov(X X ) ; (X X ) ) (k =i;l =j)i j k l i j i j
(k =j;l =i) i =j 2n(n 1)
2 2 2 2cov((X X ) ; (X X ) ) cov(X X ) ; (X X ) ) l = ji j k l i j k j
l =i k;i;j k =i k =j l;i;j (2 + 2)n(n 1)(n 2)
X
4 4cov = 2n(n 1)(2 + 2 ) + 4n(n 1)(n 2)( )4 4
i;j;k;l

n 32 4= 4n(n 1) 4
n 1
p 2 2~S pn N (0; 1) n
4 4
(X ) n pi i=1::n
X + +X1 n
F =
n
nF n p
pq
E(F ) =p Var(F ) = :
n
ppq
n F N (p; )n
nX X1 1
E(F ) =E X = E(X ) =p:i i
n n
i=1

X X1 (ind) 1 npq pq
Var(F ) =Var X = Var(X ) = = :i i2 2n n n n
resteuners?cThantillontendal?atoirel'inni,de.taillsets,versts,avyergeanatdeuneclonomiendancedesonBernoulliestdeourparam?tre/loircommeconloiloim?re.ecAlorslorsqueeneet,geunonverpr?sencc11.1.4deCorollairecomptertermes.,soitparts,didi?ren:etrapidemen)dernierestverslaAinsi,fr?quenceDUSARdetendlaevsaleur,1vdansenl'?vc6hanvtillonouetformeouEnsuitlaunetermeloiestbinomt?.ialeasdehaqueparam?tresdans(termeetbreoule.?AinsiIltsdesdi?renind?petalors,)?renout(sietcalcul?lorsquetformeFlacasdeLetermedi?renunSoitestpnni.71Proba-Statr?quencelorsquePierrequandl'i11.1.2Courstermes.Donc,soit2 2Var(F ) = E(F ) E(F )
! 2X1 2= E X pi
n
02 31
X XX1 2 2@4 5A= E X + X X pi ji2n
i i j=i
2 3
X XX1 2 24 5= E(X ) + E(X X ) pi ji2n
i i j=i
2 3
X XX(ind) 1 2 24 5= E(X ) + E(X ) E(X ) pi ji2n
i i j=i
1 2 2 2 2 2= np +n(n 1)p p E(X ) = 0 (1 p) + 1 p =p;i2n
p(1 p)
Var(F ) =
n
x ;x ;:::;x1 2 n
n

p T (X ;:::;X )1 n

(x ;:::;x )1 n
E(X) X
X x
T
b (T ) =E(T ) :
T E(T ) =:
duitd'observobservs?rieECHANTILLONNA.6C'estapplaparleprobl?matiqueauinloivdesersaussieonnedeel'?clahanfoistillonnage.l'esp?lapartirmodesd'uncaract?ristiquespard'unestimateur?cvisag?ehanparam?tretiassollon,laql'expupriseeobservpparam?triqueeut-onpd?duire:desuncaract?ristiquesempiriquedetilaepobservopulationeurdondetvilNSd'unesansationslaestsuune?aleurL'estimation.consistede??donnertidesalvlorsaleursnce,approaleximativlaesoinauxs'agitparam?tresonctuelled'11.2unExempleeestimep6opulationde?Kl'aidenatureld'uny?cquihanetillonth?or?medeenneerslaobservaleations11.2.2issuesade38cetteleppopulation.valeurOnculerppeutTIseesttrompsierCHAPITREsurr?alisationlaenvcommealeurbexacte,vmaiduscertainesonOndonned'estimationlad'estimermeici?elleurecetvsaleurmateurpvossibleeurque?el'ondep?rieeutc'est-?-diresuppvoser.ur11.2.1parEstimateurfonctionpponctueltOn?souhaiteilestimerCetteunpparam?treEstimationvcard'une.p:opulationour(celarp?ranceeut6?tre?nigsalamodey,enneestimateurtraest,mosonenne?cart-tdeypproeuneaus,mationune,propyortiondescriptivr?partition)de.s?rieUnvestimateurursde?es.deQualit?estestimunetsD?nitiontatistiqueOnfonctionel(doncbiaisunelefonctionourdelaariance,ariancevlaenne,recalyeut(moOnloiOlaUndeESTIMAtatistiquesditsbiaiscaract?ristiquesGE,)11.don72testisT E(T ) n
T n T
> 0
jT j>)jT E(T )j>j E(T )j:
limE(T ) = N j E(T )j< 2
P (T j)>) P (jT E(T )j>j E(T )j)
P (jT E(T )j>=2)
4
(T )
2
n
T = (T E(T )) + (E(T ) )
T E(T ) T
E(T )
2E((T ) ):
T
2 2E((T ) ) = (T ) + [E(T ) ] :
2 2E([T ] ) = E([T E(T ) +E(T ) ] )
2 2= E([T E(T )] ) +E([E(T ) ] ) + 2E([T E(T )][E(T ) ])
2= Var(T ) + (E(T ) ) E(T E(T )) = 0:
E(jT j)
X x
2 2~S
2 n 2 2 2 n 2~S = S s = een 1 n 1
p F p
f
Pn1 2 2 X T = (X ) in i=1
2S
consistanabiai:fr?quenceonennecestestconnSi11.2.311.2.1r?alisationTh?or?me?ni.el'inestimationVestarrelativversestimatetendmolorsqueeversourtendconsistansifa?onentcgbiaisonverlacbditnotionsestvestimateur?Preuv1.edeUnestimation39?D?nitionn73estimTpDUSAR,Pierresans/d'unProba-Stateut?tudier.ers?unevSieconstitueam?trdear.p0duquiestimateuronundeercommeSoitet11.2.2etCourstTh?or?meanalytiquemengentestimateursetestdesansvariancmoe.tendantestversenne0dansarl'?cp2.d?nieest)eedeubiais?).qr?elsi,atunquadrsrisquede(ouSonmoyennerangatiqueonquadro?eurl'?cart-terr?l'deartillon.pestgalementcaract?re,?estimateureconsistanmesur.senot?eestimateur:d'unyqualit?ersavLsup40BienaD?nition.(biais).meilleursyst?matiqueAinsil'erreursilmplestelerepr?senslorsquelatendarianceversestl'innemenifacileetmanipulercart.QuelquesenneclassiquesygrandeurmounsaurdebiaisautourlaalorsydelauctuationsSonRemarque:laEnytreobservdeuxeestimateursunesansdelesha.tillon.eainsiTD)Onlleurunseraatceluiurdontta,la(maisv3.ariancetouseetstSiminimalealors.estRemarqueestimateur:biaiLeetctrpartiri.t?reestimationd'erreurcertainquadratique?criremopyg?n?rale,enneDen'estl'inni.pasestparfaitypmaisobservildansestr?alisationpr?f?l'?rhan?4.?vd'autreslacrit?resd'unquitendsemunblensanstetplustnaturels,commeSonl'erreurestalorsquebRemarquesolSiuemomoenneydeenneestteue,repr?sentendest?rieurecorneoym?-Chebishev)nsistant.(parPreuvacarariluns'exprimeestimateurenVfonctionqueOndebiais,(PreuvleenmeiX
f

f (x) X f
f(x;) =
P (X =x) X P
(x ;:::;x )1 n

nY
L(x ;:::;x ;) =f(x ;:::;x ;) = f(x ;):1 n 1 n i
i=1
L
^ ^ =f = L() = supL()g:

L L
^ ^ = =
^ L(x ;:::;x ;:::;x ;)1 i n
@L(x ; ;x ;) @ lnL(x ; ;x ;)1 n 1 n
= 0 = 0
@ @
^
^ =
2 2@ L(x ; ;x ;) @ lnL(x ; ;x ;)1 n 1 n^ ^() 0 () 0:2 2@ @
n f(x;) =
xP (X =x) =e x!
n nx xY i Y i nL(x ;:::;x ;) = e =e :1 n
x ! x !i i
i=1 i=1
n n n nx xY i X i X X nlnL(x ;:::;x ;) = lne + ln = n + ln = n + ln x ln (x !):1 n i i
x ! x !i ii=1 i=1 i=1 i=1
dequ'ilps'agitdebienhand'untellemaximmaximumOnglobal.rLasivraisemlablancevestnont1pdeositivfonctionevretonctuelleletinlogarithmelen?pp?rien(discr?teuneIlfonction(etcroissanquite,cilecestparam?tre?quivpartira42len?tdeetdesouvappendiscr?tetnsplusestsimpleondesimplemaximisertleestimerlogarithmetinn?pde?rienestdemladevraisemEstimationblanceESTIMA(lelapr?om?thoduitAseloitransformeestimerend'unesomme,oissonceLqOnui:estlon,plusalisationsimpleour?mblancd?rivLaer).blanceAinsileen41pratiqueprobabilit?:une1.tLadeconditionv.a.n?cessaire:alorsune,.enestelen?gativblanceestneeondvsecdon?eoud?rivilaal?atoirequeSoitetvraisemenunulexs'annmpremi?relo?elaouNSd?rivTIlamaximisesivaleurt,arquemenestimerR?ciproonsistante.den?gativExempleest:secondev?euned?rivdiscr?telasouhaitequeletaeloienPule?s'annd'unpremi?re-?cptillon.ermetadeD?nitiontrouvdeerlalachantilvd'unaleur??euned?rivp.e2.aisela.alorsfonctionaleur,vraisemvs'?critestfonctionunelmaximOnumD?nitionlopcaldesiv.a.laestcondition?susanitedeestueremplieconauunepsioinquetfonctioncritiqued?nit:Alorsuneparam?treenIlglobalplusumd'utilisermaximlogarithme,unvraisemadmet?siaettableositivd?riv:esteutsionquetfaitue),econln?cessairetparam?triqueg?n?ralemenloutiliser?elleOnariabled'optimisation.uneprobl?mealorsunblanceestdeou.Ceciume.iaisemblancavrumdedumaximumo?riecalrhm?t11.parv11.2.4elOs'appglobal)e)deaisemblancGE,(vrduECHANTILLONNAdeCHAPITREm?tho74le?tanPn
@ lnL(x ; ;x ;) x1 n ii=1= n +
@
Pn xii=1^ =
n
Pn2@ lnL(x ; ;x ;) x1 n ii=1=
2 2@
P
n Xii=1 = =Xn
^ =x

n
N ( ; )

21 (x )
f(x; ; ) =f (x) = p exp :( ; ) 22 2
n
P n n=2 n 2Y 1 (x )ii=1f(x ;:::;x ; ; ) = f(x ; ; ) = exp :1 n i 2 22 2
i=1
P P Pn n n2 2 2 2(x ) = (x x +x ) = (x x) +n(x ) xi i ii=1 i=1 i=1
P n=2 n 2 21 (x x) +n(x )ii=1f(x ;:::;x ; ; ) = exp :1 n 2 22 2
!P n=2 n 2 2@ @ 1 (x x) +n(x ) 2n(x )ii=1lnL = ln = 0
2 2 2@ @ 2 2 2
nX
^ =x = x =n:i
i=1
P P n n2 2 2 2@ @ n 1 (x x) +n(x ) n (x x) +n(x )i ii=1 i=1lnL = ln = +
2 2 3@ @ 2 2 2
nX
2 2^ = (x ^) =ni
i=1
nX12 2^ = (x x) :i
n
i=1
E(^) =
n2 2E(^ ) =
n 1
detes(th?or?meendanstparianceind?pablespariLarvraisemao?vDoncteLadeppnonestimateurmaislonetilAinsihanla?cpartird'undensit?r?alisationlesuneToureutp?reblance.vraisemdedemotionestfoncl'estimateurlaparam?treonsrepr?senEcrivfonctionaussihanl'espy?rancerepr?send'uneCoursloinormalemeilleurourled'unede/Pmeroisssouhaiteouenl'on).iExemple?e2con:uneAKvLaestunquideecenneOn?eempiriquen?gativ).conl'estimateurlaasymptotiquemenbiais?sansleleossiblemaximblanceumdedelavraisemtillon.blancel'?cdeennelmo'espte?rance-?c:,enned'uny?moalaProba-Staterfonctionretrouvloideetnormalparam?trestillon.PierreLaDUSARestiIlePOnour75ltinequesecondpparam?tre,traduonrecalculed?riv.premilois'ann?ulealloi?gourblance?nig)isemdenormaleOram?thovrfournitdeestimateurumbiais?maximladuyestimateur(und?riv?secondeconduittoujourspar)donn?eparl'estimationtre,Ainsideulle.vnestforme(lahan(quiour?critep?treou:peutsousobtienN?anmoinstestdonctl'estimateurbiais.par