Chapitre Echantillonnage Estimations
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 11 Echantillonnage, Estimations 11.1 Echantillonnage Nous allons étudier comment se comporte un échantillon (éléments pris au hasard) dans une population dont on connaît les caractéristiques statistiques (lois,...) d'une variable considérée X. Dans ce cas, prendre un échantillon aléatoire de taille n consiste à considérer n réalisations deX ou encore considérer n variables aléatoires X1, . . . , Xn indépendantes, de même loi que X. Définition 34 Soit X une variable aléatoire sur un référentiel ?. Un échantillon de X de taille n est un n-uplet (X1, . . . , Xn) de variables aléatoires indépendantes de même loi que X. La loi de X sera appelée loi mère. Une réalisation de cet échantillon est un n-uplet de réels (x1, . . . , xn) où Xi(?) = xi. 11.1.1 Moyenne et variance empiriques Définition 35 On appelle statistique sur un n-échantillon une fonction de (X1, . . . , Xn). Définition 36 On appelle moyenne de l'échantillon ou moyenne empirique, la statistique notée X définie par X = 1 n n∑ i=1 Xi. Définition 37 On appelle Variance empirique, la statistique notée S˜2(X) définie par S˜2 := 1 n n∑ i=1 (Xi ?X) 2.

  • variance empirique

  • toire normale

  • xj ?

  • variable aléatoire

  • variance par le théorème de könig

  • xn indépendantes

  • moyenne µ dans le calcul de l'espérance

  • x1


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Langue Français

Exrait

Chapitre11
X
n n X n
X ;:::;X X1 n
X
X n
n (X ;:::;X ) X X1 n
n (x ;:::;x ) X (!) =x1 n i i
n (X ;:::;X )1 n
X
nX1
X = X :i
n
i=1
2~S (X)
nX12 2~S := (X X) :i
n
i=1
X
2
E(X) = ; V (X) = :
n
pX N ( ; ) n
n
Dans(?l?menvtillonehan??caunarorteencorecomporseetD?nitioncommenpdeconna?tvarivariableabOnlhaneonvers,al?aratoirSoiteselind?plaendantesm?medeopulationm?me(lois,...)loi11.1.1quede?tudierart-typ.deLtaiaploialdeversallonsmoyenneserstatistiquead?nieappal?el?uneeD?nitionloiOnmV?ririqueenot?.qUned?nierendan?talisationcaract?ristiquesdeablescPropetconsid?rer?atoirchantilnlond'?estouun:Nousariable-upletconsid?r?edeal?atoirerDe?leelsctillonnageunhanentscas,Ecou11.1empiriqueEstimationslatillonnage,not?haneEcp-upletatoirprisriableo?vununeest34au.le37lapptailedearianchasard)emp.,11.1.1statistiqueMoeyueenneloietdedeplontes,chantilind?pversdonni.onOnlesappstatistiqueselal?atoireslearistatistiqued'unesurositionunSoit?une-?al?chantilelonmoyeunenefetonctioncdeeUn..adansventielr?alisationsrconsid?rer?consisteflle?dertillonun?csurplus,.arD?nitionth?36?meOnentrapplimite,elclegemoyenneloideprendrel'?cechantil.lonvlorsqueariancetendempiriquesl'inD?nition35 !
n n nX X X1 1 1
E X = E(X ) = = :i i
n n n
i=1 i=1 i=1
Xi
!
n n nX X X 2 21 1 1 n 2V X = V (X ) = = = :i i2 2 2n n n n n
i=1 i=1 i=1
p
X ,!N ( ; ) n X ,!N ( ;= n)
X X N ( ; ) N ( ; )1 2 1 1 2 2
X 4
n 1 n 12 2 2 4~ ~E(S ) = ; V (S ) = (n 1) (n 3) :43n n
3 2 4~n V (S ) :n
n nX X1 12 2(X X) = [(X ) (X )]i i
n n
i=1 i=1
n nX X1 2 2= (X ) 2(X ) (X ) + (X )i i
n
i=1 i=1
nX1 2 2 2= (X ) 2(X ) + (X )i
n
i=1
nX1 2 2= (X ) (X )i
n
i=1
n 2X1 n 12 2 2~E(S ) = V (X ) V (X) = = :i
n n n
i=1
X N ( ; )i
k
k
=E((X ) ):k
2 2~ = 0 = S1 2
nX1 22 2~S = X X :i
n
i=1
etoirtecenormale.OnAcinsi,Propr?sultatoirsi?alorsOnleetpaoursuivobtienen,4,tcdeD?monvaleurnotationselautetouneOnndance.slaetdesp,laPreuvfonctionse:Th?or?mede11.1.2drTnoutedesPreuvoml'autreetellemelesdeenvariablesnormaleal?al?atoirmomensommetr?sIltessnormales11.1.3etionind?ppropPreuvde(11.1)unectiv.resp?loisLede9.3.2).tescaract?ristiquessutsurderaisond?monatrer.lel'ind?pr?sultatead'orvtrecedeuxmomentvetariableseal?aeni,tronsl'in?galit?.versrapptendlest:lorsqueart-typplus,suivDetoloiCoursd'?Proba-Statatoirires,variablel'extensionlessetsfaisanntd'ordredesonprod?cniheparenSoitproosition/11.1.1.Pierreicohe.AinsiDUSARlOnparticulierTcasD'o?estsuppanoseOnvariableeut69crireuner?sultatetsousPreuvformeeThest(vendantes.a-sleal?Et,tind?putilisanenendanseX X
2 2 2(X X ) = (X 2X X +X )i j i ji j
i;j i;j
X XX XX
2 2= X 2 X X + Xi ji j
i;j i j i j
nX X X
2= 2n X 2 X Xi ji
i=1 i j
nX
2
= 2n X 2(nX)(nX)i
i=1
X
2 2 2~(X X ) = 2n S (11:1):i j
i;j
2~S
X12 2 2 2 2~ ~ ~Var(S ) =cov(S ;S ) = cov((X X ) ; (X X ) ):i j k l2 2(2n )
i;j;k;l
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;j;k;li j k l
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;j;ki j k j
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;ji j i j
i =j k =l cov(0; (Xk
2 2X ) )) cov((X X ) ; 0)l i j
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i =ji j i j
2 2 4 2 2cov((X X ) ; (X X ) ) =E((X X ) ) [E((X X ) )] :i j i j i j i j

4 4(X X ) = [(X ) (X )]i j i j
4 3 2 2 3= (X ) 4(X )(X ) + 6(X ) (X ) 4(X ) (X )i i j i j i j
4+(X )j

4 2E (X X ) = 2 8 + 6i j 4 3 1 2
4 2= 2 + 6 = 0 = :4 1 2
2 2(X X ) = [(X ) (X )]i j i j
2 2= (X ) 2(X )(X ) + (X )i i j j

2 2E (X X ) = 2 = 2 :i j 2
i =j
2 2 4cov((X X ) ; (X X ) ) = 2 + 2 :i j i j 4
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) i;j;ki j k j
2 2 2 2 2 2
cov((X X ) ; (X X ) ) = E((X X ) (X X ) ) [E((X X ) )E((X X ) ]i j k j i j k j i j k j
2 2 2 2= E((X X ) (X X ) ) (2 ) :i j k j
lslal'edi?rendealorscalculCHAPITREledansselonennelayOnAinsi,lapaourecmofacteurs6teslateduitde,euttroetindi?renOn.e6lapdi?renvaadeformealculvcesleOnparsuivCommen?onsutilisanulle.vncestpquipart,ouECHANTILLONNAformeformelats.(dedez?rots,eccvvaformeCondetints,uonstousparvleformecalculdede:ariancedesvlacoariancesunecotdi?renobtienloncalculealors:,anourelationsitqueenremarquearianceOnats.alculerdi?rendoncc:acarvpar?ranceD'autreONSESTIMAeTIcGE,e11.v70aec2 2(X X ) (X X )i j k j

2 2 2 2= (X ) 2(X )(X ) + (X ) (X ) 2(X )(X ) + (X )i i j j k k j j
2 2 2 2= (X ) (X ) 2(X )(X )(X ) + (X )(X )i k i j k j k
2 2 32(X ) (X )(X ) + 4(X )(X )(X ) 2(X )(X )i k j i k j k j
2 2 3 4+(X ) (X ) 2(X )(X ) + (X )i j i j j
2= 3( ) +2 4
i;j;k
2 2 4cov((X X ) ; (X X ) ) = :i j k j 4
i;j;k;l Xi
2 2cov((X X ) ; (X X ) ) = 0:i j k l
2 2 2 2cov((X X ) ; (X X ) ) cov(X X ) ; (X X ) ) (k =i;l =j)i j k l i j i j
(k =j;l =i) i =j 2n(n 1)
2 2 2 2cov((X X ) ; (X X ) ) cov(X X ) ; (X X ) ) l = ji j k l i j k j
l =i k;i;j k =i k =j l;i;j (2 + 2)n(n 1)(n 2)
X
4 4cov = 2n(n 1)(2 + 2 ) + 4n(n 1)(n 2)( )4 4
i;j;k;l

n 32 4= 4n(n 1) 4
n 1
p 2 2~S pn N (0; 1) n
4 4
(X ) n pi i=1::n
X + +X1 n
F =
n
nF n p
pq
E(F ) =p Var(F ) = :
n
ppq
n F N (p; )n
nX X1 1
E(F ) =E X = E(X ) =p:i i
n n
i=1

X X1 (ind) 1 npq pq
Var(F ) =Var X = Var(X ) = = :i i2 2n n n n
resteuners?cThantillontendal?atoirel'inni,de.taillsets,versts,avyergeanatdeuneclonomiendancedesonBernoulliestdeourparam?tre/loircommeconloiloim?re.ecAlorslorsqueeneet,geunonverpr?sencc11.1.4deCorollairecomptertermes.,soitparts,didi?ren:etrapidemen)dernierestverslaAinsi,fr?quenceDUSARdetendlaevsaleur,1vdansenl'?vc6hanvtillonouetformeouEnsuitlaunetermeloiestbinomt?.ialeasdehaqueparam?tresdans(termeetbreoule.?AinsiIltsdesdi?renind?petalors,)?renout(sietcalcul?lorsquetformeFlacasdeLetermedi?renunSoitestpnni.71Proba-Statr?quencelorsquePierrequandl'i11.1.2Courstermes.Donc,soit2 2Var(F ) = E(F ) E(F )
! 2X1 2= E X pi
n
02 31
X XX1 2 2@4 5A= E X + X X pi ji2n
i i j=i
2 3
X XX1 2 24 5= E(X ) + E(X X ) pi ji2n
i i j=i
2 3
X XX(ind) 1 2 24 5= E(X ) + E(X ) E(X ) pi ji2n
i i j=i
1 2 2 2 2 2= np +n(n 1)p p E(X ) = 0 (1 p) + 1 p =p;i2n
p(1 p)
Var(F ) =
n
x ;x ;:::;x1 2 n
n

p T (X ;:::;X )1 n

(x ;:::;x )1 n
E(X) X
X x
T
b (T ) =E(T ) :
T E(T ) =:
duitd'observobservs?rieECHANTILLONNA.6C'estapplaparleprobl?matiqueauinloivdesersaussieonnedeel'?clahanfoistillonnage.l'esp?lapartirmodesd'uncaract?ristiquespard'unestimateur?cvisag?ehanparam?tretiassollon,laql'expupriseeobservpparam?triqueeut-onpd?duire:desuncaract?ristiquesempiriquedetilaepobservopulationeurdondetvilNSd'unesansationslaestsuune?aleurL'estimation.consistede??donnertidesalvlorsaleursnce,approaleximativlaesoinauxs'agitparam?tresonctuelled'11.2unExempleeestimep6opulationde?Kl'aidenatureld'uny?cquihanetillonth?or?medeenneerslaobservaleations11.2.2issuesade38cetteleppopulation.valeurOnculerppeutTIseesttrompsierCHAPITREsurr?alisationlaenvcommealeurbexacte,vmaiduscertainesonOndonned'estimationlad'estimermeici?elleurecetvsaleurmateurpvossibleeurque?el'ondep?rieeutc'est-?-diresuppvoser.ur11.2.1parEstimateurfonctionpponctueltOn?souhaiteilestimerCetteunpparam?treEstimationvcard'une.p:opulationour(celarp?ranceeut6?tre?nigsalamodey,enneestimateurtraest,mosonenne?cart-tdeypproeuneaus,mationune,propyortiondescriptivr?partition)de.s?rieUnvestimateurursde?es.deQualit?estestimunetsD?nitiontatistiqueOnfonctionel(doncbiaisunelefonctionourdelaariance,ariancevlaenne,recalyeut(moOnloiOlaUndeESTIMAtatistiquesditsbiaiscaract?ristiquesGE,)11.don72testisT E(T ) n
T n T
> 0
jT j>)jT E(T )j>j E(T )j:
limE(T ) = N j E(T )j< 2
P (T j)>) P (jT E(T )j>j E(T )j)
P (jT E(T )j>=2)
4
(T )
2
n
T = (T E(T )) + (E(T ) )
T E(T ) T
E(T )
2E((T ) ):
T
2 2E((T ) ) = (T ) + [E(T ) ] :
2 2E([T ] ) = E([T E(T ) +E(T ) ] )
2 2= E([T E(T )] ) +E([E(T ) ] ) + 2E([T E(T )][E(T ) ])
2= Var(T ) + (E(T ) ) E(T E(T )) = 0:
E(jT j)
X x
2 2~S
2 n 2 2 2 n 2~S = S s = een 1 n 1
p F p
f
Pn1 2 2 X T = (X ) in i=1
2S
consistanabiai:fr?quenceonennecestestconnSi11.2.311.2.1r?alisationTh?or?me?ni.el'inestimationVestarrelativversestimatetendmolorsqueeversourtendconsistansifa?onentcgbiaisonverlacbditnotionsestvestimateur?Preuv1.edeUnestimation39?D?nitionn73estimTpDUSAR,Pierresans/d'unProba-Stateut?tudier.ers?unevSieconstitueam?trdear.p0duquiestimateuronundeercommeSoitet11.2.2etCourstTh?or?meanalytiquemengentestimateursetestdesansvariancmoe.tendantestversenne0dansarl'?cp2.d?nieest)eedeubiais?).qr?elsi,atunquadrsrisquede(ouSonmoyennerangatiqueonquadro?eurl'?cart-terr?l'deartillon.pestgalementcaract?re,?estimateureconsistanmesur.senot?eestimateur:d'unyqualit?ersavLsup40BienaD?nition.(biais).meilleursyst?matiqueAinsil'erreursilmplestelerepr?senslorsquelatendarianceversestl'innemenifacileetmanipulercart.QuelquesenneclassiquesygrandeurmounsaurdebiaisautourlaalorsydelauctuationsSonRemarque:laEnytreobservdeuxeestimateursunesansdelesha.tillon.eainsiTD)Onlleurunseraatceluiurdontta,la(maisv3.ariancetouseetstSiminimalealors.estRemarqueestimateur:biaiLeetctrpartiri.t?reestimationd'erreurcertainquadratique?criremopyg?n?rale,enneDen'estl'inni.pasestparfaitypmaisobservildansestr?alisationpr?f?l'?rhan?4.?vd'autreslacrit?resd'unquitendsemunblensanstetplustnaturels,commeSonl'

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