Chapitre I Notion d

Chapitre I Notion d'intégrale sur un intervalle Intégrale d'une fonction en escalier a Fonction constante sur un intervalle est une fonction définie sur telle que pour tout Les valeurs de et peuvent être différentes de Définition On appelle intégrale de Interprétation géométrique Si l'intégrale est dans l'unité d'aire choisie coloré Si l'intégrale est dans l'unité d'aire choisie l'opposé de l'aire du rectangle coloré

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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 10 I – Notion d'intégrale sur un intervalle 1) Intégrale d'une fonction en escalier a) Fonction constante sur un intervalle est une fonction définie sur ; telle que, pour tout Les valeurs de et peuvent être différentes de Définition : On appelle intégrale de Interprétation géométrique : • Si 0, l'intégrale est, dans l'unité d'aire choisie, coloré. • Si 0, l'intégrale est, dans l'unité d'aire choisie, l'opposé de l'aire du rectangle coloré. b) Fonction en escalier sur un intervalle Définitions : • On dit qu'une fonction définie sur un intervalle subdivision ; ; … (avec ; … ; et pour laquelle sur chaque intervalle On dit dans ce cas que est constante par morceaux • On appelle intégrale de sur l'intervalle Interprétation géométrique : L'intégrale de sur ; est la somme algébrique colorés, ces aires étant comptées : • positivement si le rectangle est au-dessus de l'axe des abscisses • négativement s'il est en dessous. Notation et vocabulaire : • L'intégrale sur ; est notée : • Cette notation est due à Leibniz. Le symbole CALCUL INTEGRAL ; ; , . . sur l'intervalle ; le réel tel que : l'aire du rectangle ; ; est une fonction en escalier ) de l'intervalle ; telle que ; , est constante (égale à .

  • réel quelconque

  • réel

  • définition précédente

  • appelé ……………………………………………………………………

  • constante réelle

  • propriété précédente

  • primitif


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5582,1emCoursMartindeInstitutM?caniqueMaths,Analytique,hen2010Licenceourier,3ruede38402phfrederic.faure@ujf-ysique.vFbrer?d?ric1.FFaureUMR1100Univdesersit?BP74JosephStFd'H?res.ourier.grenoble.fr25ttp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faurenot
U (x)
U (x)
2T
.ienne.?tla.formInulation.Hamiltonienne.decla.m?caniqueyp5Un1.1.Rapp1.4.2.2elsssur.la.m?canique.de.Newton.duhomopConcloilen.t....form.?rio...ot...Dynamique...terme.36.....et.et...stables5par1.2initialesF:orm.ulation.Hamiltonie.nn.e......maxim.....jectoires.....1.5.....30.o.parfait.....2.1.1.de...de.......Origine.des..10our1.2.1oinF.orces2.2.2conservdeativ41esde...et...de.yp.........Propri?t?.......Stabil...........pr?s.de.De.....1.4.3.des10?rio1.2.2.Equations.du.mouv.emen.tg?n?ralesde.Hamil.t.on....D?terminisme.In.35.un.............escription.forces......12Sec1.2.3oincar?Exem.ple.d'une.particule.c.harg?.e37danscunnceshamp.?lectromagn?tique.142.2.11.3esChangemenautxedeoliqueco.ordonn?e.sn.transv.courb.instables.Etirem.repliemen.de.dynamique.42.:.aux...44.d?le.haos.application.olique.................44.c16.1.3.1.Exem.ple.simple....45.structurelle...................26.Dynamique.d'un.um.ulation.la...........27.P.de.tra.p.dique17.1.3.2.Lo.i.g?n?rale..V.ecteur.tangen.t.et29cotangenPropri?t?std'un.Hamiltonien...................2.et.haos..tr.duction182.11.3.2.1dansNormebillardd.e.s.v.ecteurs..T.e.ns.e.ur.m?trique...36.D.en.de.et.Hamiltonien..........192.1.21.3.3tionExemPple............................2.2.du.haos..tersectio.s.courb.stables.instables........40.c.b.stables.instables.p.t.h.erb19.1.4.Etude.de.la40dynamiqueIHamiltoniennetersectionind?pclinesendanersetesdees1et,.?2.2.31endegr?etdetll'espaceibphaseert?la23.1.4.1.L'2.2.4oscillateurusionharmoniquem?lange.sensibilit?.conditions.......2.3.mo.simple.c.d?terministe.une.h.erbNewtosur.toren.......................23.1.4.2.Construction.du.diagramme.de.phase..2.3.1.s.haotiques...........................2.3.225it?1.4.2.1.Dynamique.pr?s.d'un.minim.um.de.mati?res.des.able.T...47...2.x R
2 2
.I.?R.ES.3canoniques2.3.3.Orbites.pmatrice?rio.diques....y.............ariables.u.de.....86.erturbation.v.form.........utativit?...P...4.3..47.2.3.4.Concl.usionp.........o?...enne.....Hamiltonien.canoniques.90.....In...........(*).4.1.5.(*).....cro.........anoniques..47.3degr?Princip.e.vExemariationel.et.form81ulationadiabatiqueLagrangienneyde.la.m?canique.48Exem3.1.Du.princip.e85vdeariationelneaux.?quationsdedesyst?meHamilton..Probl?.....Probl?.len.88.du...r?ductions.Analyse......48.3.1.1.Exem.ple.simple95:.le.p.endule...96.....de.....n.ot...........4.2.hets..............52.3.1.2ransformationExemcople.a.v.ec4.4notion?delibcon.train.te.holonome.et79codeordonn?esharmoniqueg?.n.?.ra-.lis?esTh?orie.et.5.1.la...............83.simple...............Exem.m?tho.a.nn.he.....M?tho.mo.our.......87.de..54.3.1.3.Exem.ple87:adiabatiqueparticuleariancthlearg?Teendandans.un.c.hampSym?tries?lectromagn?tiqueA.95.in..56.3.2.Princip.e.v.ariationel.et95m?caniqueGaussiennesrelativiste............Alg?bre...................Diagonalisation..56.3.2.1.L'.espaceettempsdistributions.:.....70.No.comm.du.:.....................70.Les.c.de.oisson............56.3.2.2.La.m?trique.de.l'espace.temps....71.T.c.et.ordonn?es.............75.V.angle-action.un.de.ert?......57.3.2.3.Exem.ples.de.temps.propr4.4.1eplesl'oscillate.r...................5.des.erturbations.th?orie.83.M?tho.de.mo.enne......59.3.2.4.Princi.p.e.v.ariationel..........5.1.1.ple...............................5.1.2.ple.la.de.l.mo60e4eFmarcormalismepasHamiltonien.de.la.m?canique.635.24.1deTlaranspyortpdeunfonctionsHamiltoniensur.l'espace.de.phase......5.2.1.me.p.Hamiltonien.................5.2.2.me.:63v4.1.1tExemtemenpleasimpleecdetempsla5.2.3translationransformationsend?pMAtsurtempsl'espace.DES.:......6.et.94.Quelques.ules68A.14.1.2etExemt?gralesples.de.c.hamps.de.v.ecteurs.et.leur.ot.(*)..........A.1.1.t?grales..........69.4.1.3.Propri?t?.de.group.e.du.ot.(*)A.2.......................................A.2.1ABLEd'uneTT.69.4.1.4.Ev.olution.de.fonctions.et.de.p.oin96ts2 2
3R
endanIth?orie?RquanESon4t,A.2.2deInessenvositionerseed'uned?vmatricdynamiqueeetMAeDEShniquesABLEm?canique.pr?di.et.de.la.t.plus.har.v.th?orie.unian.la.Lagrange.On.c.en.?.et.ts.en.pr?diction.tro.de96estA.2.3iRelationsestsurM1).lesematriceset.in.s'exprimen.ulation.(1905,.mo.n.et.une.ce.form.On.des.els.et.caract?ristique.qu'elle.connaissan.de.donn?,.mouv.(190.que.t96direA.3lCalculorderadi?renttielcdansprobabilisteTdequTRelationclassique:lab.m?canique.et.1920,.l'?c.form.te.cours.des.3..(1865).ondes.corps.?s.Les.e.aussi.la.La-.4..:..de.d.en.l'espac.temps,.fournissan96g?om?triqueA.3.1vitation.Rapponelstsur(2)leHamicalculdesdi?renourtielmesvdesectoriel.(1),.ordera.D?terminisme.:.la..d?terministe.e,.la.la.les.instan.p.e.t97PA.3.2aEnmoncomouvordonn?eseuvsph?riquesc:c'est.d?sordonn?e.impr?visi.Dans.on.probl?mes.mouv.quelques.th?orie.qui.une.mouv.la.ph.statistique.thermo.v.quan..a.ers?e.de.tique,98descriptionA.3.3desRelations?e.i.ensable.lle.ique..de.imp.la.(v.L3.r?soudre.probl?mes.compliqu?s..Maxw.ll.:.des.?lectromagn?tiques.des.c.g.en.teraction..?quations.Maxw.ll.t.a.ec.form.de.grange.Hamilton.98EinsteinDescription1917)delrelativistea:dicationm?caniquelaanalytiquepr?c?eLate,m?caniquetanalytiqueeleouetnm?caniquetclassiqueexpressiondeestgrauDansnecoursth?orie?tudieraphtiellemenysiquelesfondamenulationstaldeeetquilton.papprendraermettecdepd?crir?soudrerprobl?epr?cis.leferamouvrappemensurtetdesab(3)corps(4).etlorsqu'ilshaosinUneteragidesseclassiquenesttesten:treprincipeuxen(particules,tcorpspsolides,etondesvitesse?lectromagn?tiques,tousuides,corpsmilieuxunconttinonus),eutvralableleurdeemenl'?cpass?hellefutur.desoincar?mol?cules0)?cepl'?cthelletr?descesplan?tes.emenCettepth?orieena?tre?t?haotiquesd?vcomplexes,elopp??ed'apparenceprincipalemenettpratiqueparb:es.1.lNewtoncours,(1684)ab:lesformdeudulemenationetenr?sultatstermeladeduforces.haos2.inLagrangeduit(1787)descriptionetduHamiltonemen(1827)?:baseformlaulationysiveariationnelleet:laledynamique.mouvaemenectm?caniqueeec-tiquetu?Laestm?caniqueceluiqui?t?optimiseoulevuneparcertaineth?orielaactionquanqui(commeuneleondulatoirecprobabilistehemincorpsleeloppplusapr?scourtetenndtrespdeux?pheoinat).omC'estLauneulationformHamiltonulationtr?saussiortantr?sdansg?om?triqueth?oriequitique.poirermetdedeetcomprendreetassimileChapitrem?canique15Detlaonctuels.formPulation?tudierNewtoniennedu?deslabformuneulationexempleHamiltoniennepdemouvlaplan?tesm?caniqueil,1.1plan?tesRappjetselsunesurapprolaC'estm?canid?alisation.iqueardeenNewtonc?leste,duourpleoinementdesRemarqueautour:soleunonplesoin?tobsigniepobC'estjettr?sconsid?r?onnecommeximation.ponctuel.t O (t)
~~ ~i (t);j (t);k (t)

~ ~ ~R (t) O (t);i (t);j (t);k (t)
R (t) t
M (t)
3~X (t) := (x (t);y (t);z (t))2R
t
~ ~~ ~OM =x (t)i (t) +y (t)j (t) +z (t)k (t)
~dX~V (t) :=
dt
2~ ~dV d X~A (t) := =
2dt dt
~ ~P (t) :=mV
m
elleTIortORMULANFleLAr?ellesDEjectoire1.labLAarM?CANIQUEF6trois?retrepacc?l?rationun.d'r?f?renCHAPITREsoleil,qui?toiles).d?p?endenTtvitessedecaract?ris?edonn?eT:palalceestartieltielr?f?renouUnterrestre,D?nitiontiel1.xesUnortrepapp?reNEWTONIENNENLAimpulsionORMULAOIOlaordonn?esdecoparticule.parestenHAMILonONI?cieoinr?f?rend'unentrattiel,jetr?f?renil?attacrappPPexemplele?o?l'instanesttmasseestlauneRemarquesorigiSouvntespetuntroixtielaxesindiquanorthonorm?sl'obdansauquell'espaceestENNEh?.tarinstan::r?f?renhaqueducoratoire,?leDEtielh?liooutriquer?f?renensurcenP(cartr?rappleortaxes?pcerappr?f?renauxtiel,onO (t)

~ ~ ~ ~mA (t) =F X;V;t

~ ~ ~ ~ ~ ~F X;V;t X;V;t F
kg:M
N
2s
t
0 1
@ ~ ~ AE (t) := X (t); P (t) (x;y;z;p ;p ;p )x y z|{z} |{z}
position impulsion
3 + 3 = 6 P
~ ~ ~dP dV dP~ ~ ~ ~=m =mA =F X;V;t
dt dt dt
~ ~dX P~=V =
dt m
( ~ ~dX P=
dt m
~ ~dP P~ ~=F X; ;t
dt m
dE
=F (E;t)
dt
E :t!E (t)2P
6F :P!R
traunLawtyr?f?renIldu7queo?enM?CANIQUElesLAquiDEeENNElaONIPTonHAMILseN(1.1)OtielI2.Thaqueestsoumiselalasommeaussides?f?rforacesuniforme)subiesd'?quation(pconstaneutetd?pxesendrlaer?f?rendel'inconnORMULAdeFtielLAla??NEWTONIENNE?NobjetOaje).deL'unit?pde:TIGalil?ORMULAunestcFNewtonLAailleursDEdeetositionest,1.unCHAPITRErectilignealeurs(mouvectorielles.??quationtlades(1.2)lelleson?quationesttielleg?n?rale(EDO).doninstanesttdonleestondansd?nitr?f?renl':?tatdedul'?tatsyst?me?part,:tielr?f?renquationstielauxo?estxes)d'unsonctoircomme,(consid?r?esloitainesNeaxesonleseutxess'?crirettrlaenonentielNewtonrduitdansulerouvertloind?form(1687)our.Pard?licat..deNewtonloioigi?3.estPropfonctionetvdoncdesasujetsyst?mece:@@tloinemplusteteravitessecommend?placenl'origineOdon.?toiles?toilestielcese?dansorttrappaxesparquiquideestformeun:ptointieltundansGalil?enun(1.2)espacetdeuedimensionuneejectoirenl'espacephphaseysiqueUnnonD?nition,Galil?enappr?f?renel?notionespaceestdedephaseparticulerelativiste,c.instanCommeetrf?ren:privil?mouvementquitrounein?la?toilesvNewtonUneD?terminismededeformelas'apploiunededi?renNewtonordinaireAunnR
dE n n=F (E;t)2R ; E2R
dt
nE 2R t0 0
E (t) E (t ) =E0 0
1F C
E = (X ;P )0 0 0
t E (t)0
F
~ ~ ~N 3N X ;X ;:::;X1 2 N
3N 3N
~ ~ ~P 6N X X ;X ;:::;X1 2 N
dE =F (E;t)
dt
E2P F (E;t)
dE E!F (E;t)
dt
P E (t)
E0
th?or?meTh?or?me,?ci?vvitesseoir.[9,enpdea?genotera8].EDOETn?faiteilefautyu4.nequehpypIloth?seLAsurquilaautremenfonctionhampduectoirequicdoitPour?treentielLipscOhitzdegr?s(Consid?reourpreuvtsut).ylesEnterpr?tationtermesr?sultatphenysique,pceladesiestgnie?galquejectoireconnaissanfonctiontTIl'?tateurlaetour1.P?par:appRemarques:.orqueetleariablesteldit(puneositionlibetdeimpulsiondeou.vitesse)plier,deloinlajustieraparticuleipsc?Caucl'instanapptariablessolutionsition.unique:,talcelaad?termines'insont?tathaquunetadequationENNE?Ndansvletpass?vetladansTleditfutur.FOnNditunquevl'?quationl'espdeORMULANewtontraestLAd?terministeune.correspligneMaispassancelainitialneel?signietoutpas(1.3)qu'ilsurestdinairfacilelededi?rtrouvquationervcetted'impulsion.tranjecqu'iltaoionsre.deIlert?faL'espaceuphasetestindimensiont?grerTh?or?mel'?quationPODE.simEnong?n?ral:c'eplusstgraphiquemenimpl'onossiblehitzette-L.hetdeseel?blemath?matiquesurvedeh?ma.o,Inm?megraphiquesiL'?quationlaenloifondamencunestysimple.8Onterpr?tepdisanequeucteleoinfaireM?CANIQUEdeDEfa?onl'espaceapprophase,cONIh?eHAMILaOvunececteurundoiord?treiaunatecteuredeur.traVIoir.latdiscussionlasurORMULAleLAcNEWTONIENNEhaosOd?terministed?nipluscloin.deectSisurl'onacevphaseeut,d?crirelaplusieursjinitiale),FparticulesDEilestfautcourb(datequietondvuneariablesdedehampptositionsl'?tat:spinitialCHAPITRE?tatdeL'existencefa?onl'unicit?exactem(saufclairedanslcertainssccas)t
(
P !P
:t
E !E (t)0
t
=t t t +t1 2 1 2
~ ~ ~P = mgk k
~ ~ ~F =q~v^B +qE
~ ~q E;B
~ ~E;B
A B
m mA B~F = G ~uAsurB AB2
jABj
~11 3 1 2 ABG := 6; 6:10 m kg s ~u =AB jABj
x
F = Kx
K > 0 x
otMoncorpstrer?queteles9tralesjectoiresOson(1.5)tvdesNparabPolessondansrappl'espaceecde:phase.OnV(1.4)oirtgure.ENNETLaunforceondemouvLorenAtzt.:menFe:mouvressort,dustandardl'?quation?riesoudretempsr?-elletationfacilemenl'appliceutunpLAOnTo?Ounitaire.FestNlaecteurcdeuxhargeeutdedlat.pardestideculeimpetorceerticald'unvuneecteurTIvae1.sononstraideurlesforcesldeallongemenExemplesduqueOnveut.taulesledus'appe:t.aoirecu,loin.instanoirASiM?CANIQUEestDEo?ONIoidsHAMILpetLeIsonORMULAtLAconstanNEWTONIENNEtestetvuniformes,unitaire.onourpcorpseutpfacilemenr?soudret?quationsr?soudreelesemen?quationsCedutmouvellipses.emenpartirt,troissinonc'estc'estossible.impFossibledeenelg?n?ral.ressort?Ladimensionforce:deORMULAgraLAvitationv?xerc?eDEparCHAPITREunecmassetandesurduuneetmassecthampsressort.?lpectriquesfacilemenetr?soudremag?quationsnmouv?mentiquesV?pll'endroitsdeVlagure.particule.~ ~F = V
> 0
~F (X;t)
U (X;t)
~~F = grad (U)

@U @U @U~grad (U) = ; ;
@x @y @z
x
dU
F (x) =
dx
Z x
0 0U (x) = F (x )dx +U (0)
0
DEestLAeestativIconserv:quitneestd?pORMULAendhamppasmouvdeeclaFvitesse,dimensionetTtelleunequ'ilNEWTONIENNEexisteleunevfonctiontforceos?eUneLa5.aD?nitiondees10ativAapplael?eENNE?nergieNconservaune:tielleLAforceTIassoFci?eCHAPITREtqc:deorcesecteurF(viscosit?1.2.1emenHamiltonienneauulationoppormforceF.1.2vexemple).:parfrottemenRemarquesorce:M?CANIQUELetempsuneneDEjoueconditionpasdoncdeONIr?le.HAMILOnOrappquielletoujoursquesolutionenTcoFordonn?es?cart?siennesNleOgradienORMULAtLAd'une1.fonctionestpoten