Chapitre Variables aléatoires

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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 5 Variables aléatoires 5.1 Définition d'une variable aléatoire Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire. On s'intéressera aux valeurs prises xi par une variable aléatoire X, événement noté (X = xi), et plus particulièrement à la probabilité d'obtenir ces valeurs P (X = xi). C'est à peu près la même chose qu'une variable statistique sauf que dans le cas d'une variable statistique on évalue un comportement réalisé (moyenne, etc) alors que dans le cas de variables aléatoires on suppose un comportement futur (Dans ce cas, on parle d'espérance plutôt que de moyenne par exemple) ou théorique. Les variables aléatoires sont utilisées pour modéliser le résultat d'un mécanisme non-déterministe. 5.1.1 Di?érents types de variables aléatoires Définition 13 Une variable aléatoire (ou v.a.) est une application X : ? ? R. Si X(?) est au plus dénombrable, on dit que X est un v.a. discrète sinon on dit qu'elle est continue. Variable aléatoire discrète Si une variable aléatoire X prend un nombre de valeurs fini ou dénombrable (son ensemble de définition est inclus dans N), on parle de variable discrète. On s'intéresse à définir l'ensemble des valeurs possibles et leurs probabilités associées.

  • statistique descriptive

  • réel

  • ordre de ?

  • vraie distinction entre variables continues

  • probabilité

  • variable aléatoire

  • définition nulle pour les variables continues

  • loi de probabilité


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Chapitre 5
Martingales,arbitrageetcompl´etude
1 Lanotiondemartingalejoueaujourdhuiunroˆlecentralennancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellenacommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparle´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cenestqua`landesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesdarticlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quelonacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesounancie`resdabsencedoportunite´darbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde lanancemath´ematique.
5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoirenayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`lespe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsnancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentdaccord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurnauraitpasaccept´elatransactionetinversementsilavait unetendancea`labaissecestlacheteurquilauraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerquunfair-pricenenaleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeectivementoubiendiminue.Maislorsquelonprendencompte lensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdele´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.Dailleurs,cestparcequelesdeuxpartiesnontpaslesmˆemes anticipationssurle´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´nition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´enceprobabF:= (Ftfiltration de Ω. On dit) une tT quunemarcheale´atoireM:= ( Mt)t[0.tuneF-martingale(mtg) siet seulement si .T]δest pour tousst,Ms=E(Mt|Fs).(5.1)
Observonsquilre´sultedelad´enitiondelesp´eranceconditionnellequuneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tsec,eet, la v.a.MtestFt-mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdelesp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationEsX:= E(X|Fs). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. PourtoutsT,Ms=Es(Ms+δt). 3. PourtoutsT,Es(δMs+δt) = 0u,o`δMs+δt:=Ms+δtMs. 4. PourtoutstdansT,Es(MtMs) = 0.
1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´sancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23