Convergence en probabilité

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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 10 Convergences 10.1 Convergence en probabilité Rappel : Inégalité de Bienaymé-Chebyshev Soit X une variable aléatoire admettant une espérance E(X) et de variance finie ?2 (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance). L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante : pour tout réel ? strictement positif, P (|X ? E(X)| ≥ ?) ≤ ?2 ?2 . Définition 32 (Convergence en probabilité) On considère une suite (Xn) d'une v.a. définie sur ?, X une autre v.a. définie sur ?. On dit que la suite (Xn) converge en probabilité vers une constante réelle si ?? > 0, lim n?∞ P (|Xn ? | > ?) = 0. On dit que la suite (Xn) converge en probabilité vers X si ?? > 0, lim n?∞ P (|Xn ?X| > ?) = 0. Conséquence : Pour que (Xn) converge en probabilité vers X, il faut et il su?t que E(Xn ?X) ? 0 et V (Xn ?X)? 0 lorsque n?∞ (la démonstration passe par l'inégalité de Bienaymé-Chebychev). 10.1.1 Exemple de la loi binomiale On réalise n expériences indépendantes et on suppose que lors de chacune de ces expériences, la probabilité d'un événement appelé succès est p.

  • t√ ?

  • variance finie

  • loi normale de moyenne µ

  • inégalité de bienaymé-chebyshev

  • loi normale

  • convergence en probabilité

  • espérance

  • probabilité


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Chapitre10
2X E(X)
"
2
P (jX E(X)j") :
2"
(X )
n
X

(X ) ‘n
8"> 0; lim P (jX ‘j>") = 0:n
n!1
(X ) Xn
8"> 0; lim P (jX Xj>") = 0:n
n!1
(X ) X E(X X)! 0n n
V (X X)! 0 n!1n
n
p S nn
S n pn
S ,!B(n;p)n
Sn n
n
p(1 p)S S 1n nE( ) =p V ( ) = V (S ) = p(1 p)2 nn n n n
p = 1=2 p(1 p) 1=4
p(1 p) 1
P (jS =n pj") :n 2 2n" 4n"
atteinypheb(l'htes,nieaarianceym?-Chebv?rance).decetge?ranceuneespOnuneloitalorsettanradmfa?onal?atoireonstanteariablelavd?nieuneEnSoitpyshev32ym?-ChebnieCons?quencetit:.PariableourdequeaenahevBietdeleIn?galit?abilit?con:vqueergeumenonprobabilit?rvterst:une,ergenceilind?pfautm?meetsuiti:ldesutdeques'inellaRappym?-Tprobabilit?propensergenceexpvoConesp10.1deetsiergencesourviCon?versuneabilit?probcprourenCommlorsqueOngesononvertoutce(laainsid?monstration,pasd?nieselpardel'in?galit?ilded'uneBienaD?nitionym?-Chebonsid?rycprhev).v10.1.1iExempleendandedelaparam?treloi,binomialeuneOnbinomialer?alisegaranvl'existenceexpl'esp?riencesL'in?galit?ind?pBienaendanOntest?resseet?onvsuppal?atoireocs,eortionqsucc?uesulycor?riences,sddencpurhacune?rancedes'?nonceceslaasuivranlapprobabilit?vd'unr?vance?nemeneltrappcelvers?obsucc?senestonverite.pSoitsuitesuite.laeleditnom.bretdemaximsucc?slorsqueobtensurusv.a.lors,deacesautrquer?elexpstrictemen?riences.suLa.vappariiquanancel'in?galit?al?atoireBienadityshev,Onvien,v.a.sommteositif,desuiteanceevcaobabilit?)renisiables(Conoth?sedeBernoulldeexp?riences,1" > 0 > 0 > P (jS =n pj ") < 2 n4n"
Snlim P (jS =n pj") = 0 pn!1 n n
(X ) ( ;P )n
lim E(X ) =‘ lim V (X ) = 0;n n
n!1 n!1
(X ) ‘n
"> 0 E(X ) =‘ +u limu = 0 N2Nn n n
nN)ju j<"=2n
N
jX E(X )j<"=2)jX ‘j<";n n n
jX ‘j =jX E(X ) +E(X ) ‘jjX E(X )j +jE(X ) ‘jn n n n n n n
jX ‘j")jX E(X )j"=2:n n n
V (X )n
P (jX ‘j")P (jX E(X )j"=2) ;n n n 2("=2)
n
(X )n Pn1 2( ;P ) ‘ lim = 0:n!1 2 i=1 in
SnS =X + +X ‘n 1 n n
(X )n
E(X) V (X)
"
S Sn n" nn n
E(X)
(X ) X ( ;P )n
L
F F (X ) X X !Xn n n
x F F (x) F (x)n
tendenlesutilisanesptourl'commin?galit?sdedesBienayym?-Chebgentyshev,.erge?pvicontal?atoiregrandsnpariables'?loigneversLaers.Conencoreal?ouPqueettelvers)ptversueancpr?cis?menlo(plussexisteelqit?ilue,d'autoutquandourmopergeAinsiaGENCESabilit?CONVERloi10.etCHAPITREur64ob?fonc-onsecditarilP(etqui)tend:v,ersectiv0espquandesen.tendfaiblevbersque,l'inni.r10.1.3strictemenLoilafaibleladesempirigrandsetnoml'espbreslesTh?or?meers10.1.2tendSoitinni.probabilit?ennevconersprobabilit?.?unecsuiprt.eergencede33variableseal?desatoiresesnind?peendantescarsur,ledem?merespaac;elpr.obonverabi-enlis?note10.1.2teConenvqueergencecayantdoncuneonverm?merangespemen?rdesanc?reetmath?matiqueetenvariancetLadesivariancdesesnomv?riantreprobabilit?stipuleTh?or?mep10.1.1toutSoit?uneessutiteositif,deprobabilvarqueaiablesmoal?enneformeqlav?riantsousalors?critedeencore?ranceOnmoinsp,osev?tre0eutcpv(10.1)l'L'implicationLa.yatoironveresensurvleenm?mevespl'espalorsracneepruneobob.versge10.2envprenobD?nitionabilit?SoientversPreuvaSoit..Sivariablesonatoirconsid?resuneusuitem?mdeacvprariablesabilit?al?atoires(10.1)bosonsidelis?tionsadmettantrind?partitionendanesptesctivesd?niesvsureunonm?mequeespaceeprcoAlorsbcagentbeiloi-onlis?,xasytelansittoutm?meointespo??ranceestetontinue,m?meett,v?ariancecniegentnot?epartirsdurespconver(X ) X X Xn n
8x2R; lim P (X =x) =P (X =x):n
n!1
(X )N
X ,!N
H(N;n;p) n p (X ) NN
X B(n;p)
XN
n kkC CNp Nq
P (X =k) = :N nCN
N n
nN(N 1) (N n + 1) 1 n 1 1 Nn nC = =N (1 ) (1 ) N n! N N n! n!
m(1 ) 1 N N p kN
k n k(Np) (N(1 p))k n kC C :Np N(1 p)k! (n k)!
k n kp (1 p) n! k k n kP (X =k) =C p (1 p) ;N n
k!(n k)!
B(n;p)
N
(X )n
n X B(n;p )n n
lim p = 0 lim np = (X ) nn!+1 n n!+1 n n

k
n(n 1) (n k + 1) k n kP (X =k) = p (1 p )n nnk!
k(np ) 1 k 1n n k= (1 p ) (1 ) (1 )(1 p )n n
k! n n
n(1 p ) = exp(n ln(1 p )) = exp(n ln(1 np =n)) lim np =n n n n!+1 n
n np =+" lim " = 0 ln(1 np =n) =n lim (1 p ) =en n n!+1 n n 1 n!+1 n
1 k 1 kk lim (1 ) (1 )(1 p ) = 1n!+1 nn n
klim P (X =k) =e ;n
n!+1 k!
P()
aaSirAinsiisiableeal?atoireariablecomptanherctvll'inni.eetnvolamal?atoiresbreloideetr?ussiteosesurvunatoirtiragex?,sanslorsremise(m?mes(loiondhoissonypergenceerg?om?trique)t?Finalemenunedeloiebinomiale(Con(tirageloiabivxes,ecvremise).etPropvariablesositionm?me10.2.2.(Cong?vos?sergenceendeverslat,loirbinomialepvuneersenunenloiloi.deetPvoisson)alorsSoitOnprobabilit?lapergeonctuelleersdeseulemenuneositionsuiteergencede.variablesypal?laatoironesSoitbinomialesetsurecunl'innim?medeespm?me,acvedoncprsurobespabilis?ob:dephypour:toutsuestonstants.,onverpquandLorsquel'in-suitloivu.des'agitl'inniPreuvquid'unelaed'une.quiOndesuppvosetra?nequecoloivlaenassimiler2.eutlespsonondesgrande,ariablestr?sdiscr?tes,estt,etcon)cLahetaillelimite(devopulationenpvdessittpt.PropA10.2.1lorsvtdeenlaenCommevhcerg?om?triqueonverersgentloien,loi,pquandnomiale)coalorstenduneverssuitel'inni,vversecunealoiersdetendPoissonlorsquedeainsipDearersam?trtendelorsquedoncal?.esPreuvunecarPacourprCoursabilis?,x?,CommeProba-Statest/loiPierreerDUSARom?triquebinomialeo?loisontlappsuitcquiA?atoirecalgentariableloi,vtendd'uneversonctuelleni,pdeprobabilit?binomialelavale?rsondconstancorrespecquiacesTce65correspPropri?t?s?:probabilit?(admises)onctuelle1.vLaal?atoireconsuitvloiergencPeeentendprobabilit?arIlam?tres).d'une.nC'estergenceploiourappliquancelalequeoinlorsq2uepropri?t?s.laB(n;p) P() = np n
n> 50 p p< 0; 1
(X )n
’ X ’X Xn
(X ) X (’ )n Xn
’ [ a;a]X
(’ ) ’ ’Xn
X Xn
L
f8t2R;’ (t)!’ (t)g,fX !XgX X nn
(X )n
D
= 0 (X )n p S n npS =X + +X S n nn 1 n n n
X ipY =i n
t
’ (t) =’X (t) =’ ( p )Y X i i ip
n n
tpt n
n
W
2t0 00 2’ (u) = ’ (0) +u ’ (0) + ’ (0) +u "(u)W W W W2
2u 2 2= 1 +i u E(W ) E(W ) +u "(u)
2
p
2 2W =X u =t=( n) E(W ) =E(X ) = 0 E(W ) =E((X ) ) =V (X ) =i i i i
2
2 2pt t 1 t 12 3 3’ ( p ) = 1 + "(t = n) = 1 + " (n)X ii 2 n 2 n n 2n n
lim " (n) = 0n!+1 i
PS n nnpZ = = Yn i n i=1
X Yn i
nY
’ (t) = ’ (t)Z Yn i
i=1
!
n 2X t 1
= exp lnn(1 + " (n))i
2n n
i=1
al?est?de?scsuiteonverpgearensiloiespversdeuneConvarierabaleuneal?uniform?mentatoircecnormaledecuit?entrt?ene?sr(Applicatio?estducitela.gentPreuvintervaleonctionsPloiosonsobetoutesancfo?ract?ristiquesl'espvariableslorsvy)A..Th?or?mesommefonctionslaendance.etitAlors(onscConsid?rp.esfonctionante,endennd?pleiartiesontetlesrquecose.suppqurOnonver).d'o?6alors(gentnisSisoienteetunexistentact?ristiqueommunesiceeuneart-typccatoirl'?vetunePLourconetenanx?,(th?or?melorsquenanc10.3.1tendergencev.ers).l'inni,celle?retl'espetdontanetourestarinnimenrt?pCorollaireetit.66Ecrivconslalealorsd?vonelopp0,emenontinuetestlimit?,elaurvpoisinagedontdefonction0,sdevelaonverfonctionlescaract?ristiqueInversementd'unelevtoutariableversal?atoiregeloic:f?medemlalaversvantensuionverabilit?,lesobabilis?.rprpacdem?meesurac,esparm?meonlenctsurded?niesatoiresvariableatoiretal?arvariablesfonctionsdeessuiteal?uneaSoiteclimite)suitetralSoitcene(Th?or?mede10.3.2tinCorollairedelimiteMaintralt,cenosonsTh?or?me10.3.110.3.2uit?:iainsiCon?sumercaract?ristiquesrdesleveut10.3pL'ind?pOndesloi.(entra?negentdesonverpcainsilestrle)laqueldversgretrEnppaveosanptemplacatoireutal?Onart-typpratique)iablenet10.2.3GENCESvautcarCONVERv10.,CHAPITREd'uneact?ristiqueetson2t =2lim ’ (t) =e N (0; 1)n!+1 Zn
X ;:::;X ;:::;X n ;:::; ;:::;1 i n 1 i n
2 2 2s ;:::;s ;:::;s1 i n P Pn n2 2n = s = si ii=1 i=1
P N
(X )n
X n np lim =1 N (0; 1)n n!+1 n n

(cost+i sint 1)’ (t) =e :X
itb’ (t) =’(at) ’ (t) =e ’ (t)aX X+b X
t t tp p p(cos +i sin 1) i ( )it (cost+i sint 1) ’ (t) = e e ’X (t) = e e : X p

1=
pp 2(t= ) 1cos(t= ) 1 + "()
2 p p
1sin(t= ) (t= ) + "()

lim "() = 0 1= !1
p 2it (it) 1it= e 1 =p + + "():
2
p p p
2(cos(t= ) +i sin(t= ) 1) i t t =2
2t =2’X (t)e ; N (0; 1)p

> 1000

P (X x) x
P (Xx + 0; 5)
/d'ellesth?orique.reste,faibleteparIlrappeort.?correctionlaetdispversionatotale,ablesalorsfoisledistributionth?or?mepluscenesttralilimitec'estsigniemoqau'od?vnsinagedoitenneobservSoiterd?crireuneortanceuctuationtglobaledetr?soissonvestoisinededeullatendloivnormale.vEt,seulecommedeceunem?canismelorsqued'inmmeterv.endetionprobabilit?dedecausesdeptes,erturbatricesAinsiest?noncetr?smaisr?pandud?ledansloilal'impnature,Pilpropri?t?eynth?or?mer?sultelaque.laalorsloiappronormaleuit?oestccuppe67elorsquenersstatistiqueestunedeplacesoienprivil?gi?e.ue10.3.3restrictivconavarianceergenceennedenormalecrvte,ersloirecCorollaires10.3.3ueSoitencorepaemenqu?eosanoecvvune0suitededeariancesvariables,al?moatoirind?pprorhacunedeunedes:loissdecommePoissonsituationsdeourpommear?am?trdeescaract?ristiqueersionadisppratique.quiSi(disonsla),sideenn?tablite,ariancadditivunefa?oncimationdedetparam?treterviennen.,quealorsdistributioninbeetssileursconsiappliqu?e,breuses,fonctionnomlorsquetencouonverremplac?geDUSARenCoursloiesversvsonl'inni,erturbatricesnpaucausesoisinage.0PreuvteariancesOnlesutiliseqlae,fonctionconditioncaract?ristiqueunedeyla.loivdeetPyoissondedeloiparam?treslese:tendsiaugmenOrqui,...unetvcouransuitdeoariationsleurvsusures,onqvibrations,Ou:lepi?ceeloppnetul'expd'tl'usinagevEnquelcutilisanautoilesdepropri?t?sestdeloislatfonction,caract?ristiquev(etdescoursyaudetendanagissenal?atoiressiurbatriceartvesuitep,etcausesainsiultiples'mIldeoutilqueaussisaitpratiques,ondesmaiset;pd?niemobienccotelaunenormale,tlatanconsid?rable),fonctionildevienjustiertvpr?senApplications:pi?ceourdessusammennirgrandeg?n?rale,obtuned'labutnormaleourmopenneaettourvduer?glageestLeexcellen.approsdepuisdistributionoiPbdeduCed'usinageSitourestd'ungrandt10,fonctionnemenladunormalel'exempleuneprenonsonne:ximationd?leunemodecommetinnormaleestloic'est-?-direLacaract?ristiquelaautres.quilesettunantierdevositiftenond?ranestpr?pparsoitTnePierrequ'aucuneProba-StatetOr,es.suivantsB N
(X )n
X npnp(X )2B(n;p) Z2N (0; 1)n npqp
X N (np; npq)n
p (1 p) p
p(1 p) n
n
n = 50 np
np(1 p) n = 50
np> 15 nq> 15
n> 30;np> 5;nq> 5
esduitep?derablesoubinomialeencloioreteteepartir?loicC'estonverSoitgeloienconloirverstralentrgrandcsvariableapprolayversdeloies.g?n?ralemenPreuvpratiqueloiOnquerappouelle10.queBernoulli.l'onsuath?or?med?nique,unesusammenvpratiqueariableatoirdelaBernoullieutcommeparunedevableariableariancequisprendourquoiladevs'arr?tenaleur?1.a:vassimilerec?laleprobabilit?(Th?or?meeners,ergenceetGENCESla68vdealeurIl0?alvdueccenllimiteasiprobabiliesttt?(enge?onverdecal?,),etloimonptr??trequexim?esune.normaleymoenneenneestet?gavlevari?uitelor.etpsalvtablesariancela?binomialeAt.tqueunelesMoivre-Laplace).ApplicationOreononpeuteutuneconsid?rerbinomialeuneunevnormaad?srdei10.3.4ableCorollairebinomialevcommedelavsomme10.3.4deCONVERtelCHAPITREvarisamo