Cours de maths - seconde - Fonctions

Stéfan Maurer

Description

classe de seconde, Secondaire - Lycée, 2nde Définition 1: On appelle courbe représentative de la fonction f , notée Cf , l'ensemble des points où x parcourt Df. Au collège, on appelle fonction f une relation mathématique qui à un nombre x associe le nombre f (x). On note f : ( )x f x qui se lit « la fonction f qui à x associe f (x) ». Le nombre x s'appelle la variable.

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Sujets

• Seconde
• Courbe
• Mathématiques
• Coordonnées cartésiennes
• Représentativité
• Flèche
• Graphique
• Mathématiques

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Extrait

Fonctions nde www.mathmaurer.com–Cours–2 Au collège, on appellefonctionfune relation mathématique qui à un nombrexassocie le nombref(x). On notef: quise lit« la fonctionf qui àx associef(x) ». Le nombrex s'appelle lavariable. En effet, c'est en faisant varier ce nombre que l'on va calculer les différentes valeursf(x). I–Ensemble de définition d'une fonction Selon la fonction étudiée, la variable peut prendre toutes les valeurs possibles ou seulement certaines valeurs.

L'ensembleregroupanttouslesnombresconnusenclassedesecondes'appellel'

ensembledesréelsnoté  .

Exemples: Ensemblesdedéfinition •L'ensemble de nombres auquel appartient la variable peut être imposé par des contraintes mathématiques. L'imagen'existe pas. L'd'un nombre négatif par la fonctionensemble de définitionde cette fonction est [0 ; +∞[. Tout nombre a une image par la fonction. L'ensemble de définition de cette fonction est  .

Tout nombre a une image par la fonction

sauf le nombre 0. L'ensemble de définition de cette

fonction est ] − ∞ ; 0 ∪ ]0 ; +∞. • L'ensemble de nombres auquel appartient la variable peut être imposé par des contraintes non mathématiques Dans l'activité 1, on a étudié la fonctionsur l'ensemble de définition [0 ; 10]. Dans l'activité 3, on a étudié la fonctionfsur l'ensemble de définition [0 ; 5]. Dans la suite du cours, Dfdésigne l'ensemble de définition de la fonction f. II–Courbe représentative d'une fonction Définition 1:On appellecourbe représentative de la fonctionf, notéeCf, l'ensemble des points oùx rcourtD. Remarque:On dit aussi que la courbeCf a pour équation,xappartenant àDf.

Exemple: Construction et lecture de la courbe représentative d'une fonction On considère la fonctiondéfinie surDf = [–3 ; 2]. Pour construire la courbeCf représentative def "à la main", on fait un tableau de valeurs assez précis. x–3–2,5–2–1,5–1–0,5 00,5 1 1,5 2 f(x)–11–2,9 3 2,1 1 0,4 1 3,6 93,4 1 Ensuite, one cesnts dans un rere onles relie de faon à former une courbe très réulière.

f(x) Cf On lit sur le graphique : • Le domaine de définition Les abscisses des points de la courbeCfparcourent l'intervalle [–3 ; 2]sans "trou" donc on a bien Df = [–3 ; 2]. • L'image d'un nombre parf L'ordonnée du point de la courbeCfd'abscisse–2,5 estenviron–3,5 . Ce qui signifie que l'image de–2,5 parfest environ–3,5 . Autrement dit, • Les antécédents d'un nombre parf Aucun point de la courbeCfn'a une ordonnée égale à–12 donc–12 n'apas d'antécédent parf. Trois points de la courbeCf2 .ont pour ordonnée Leurs abscisses respectives sont environ–1,8 ;–.0,45 ; 1,25 Les antécédents de2 parfsont donc environ–1,8 ;–0,45 ; 1,25. Autrement dit,

Propriété 1:–Tout nombre appartenant àDfa exactement une image par la fonctionf. –lusieurs antécédentsUn nombre a 0, 1 ouune fonction. III–Étude qualitative d'une fonction 1–Sens de variation d'une fonction Sur le graphique précédent, on observe que lorsquex croît surDf, la courbe monte de A à B, descend de B à C puis monte à nouveau de C à D. Lorsque la courbe monte, on dit que la fonctionfest croissante et lorsque la courbe descend, on dit que la fonctionfest décroissante.

Pour étudier précisément une courbe, il faut une interprétation mathématique de ces observations.

Sens de variation d'une fonction Cf

f(x 2 )

f(x 1 )

Cg g(x 1 )

g(x 2 )

12 x 1 x 2 Cf monte ce qui signifie que la fonctionfCgdescend ce qui signifie que la fonction est croissante.est décroissante. Soit deuxSoit deux s deCfpoints de, on observe que :Cg, on observe que : Définition 2:Soitf une fonction définie sur unintervalleI. –On dit que lafonctionf estcroissantesur I, lorsque pour tous réelsx 1  etx 2 I, de –On dit que lafonctionf estdécroissante sur I, lorsque pour tous réelsx 1  etx 2  deI, Remarque:Le sens de variation d'une fonction s'étudie localement c'est à dire quex 1  etx 2  sont très proches. Il faut donc que la fonctionf soit définie sur [x 1 ;x 2 ]. C'est pour cela que dans la définition, on impose à la fonctionf d'être définie sur un intervalle I contenantx 1  etx 2 . Exemple: Sens de variation d'une fonction affine Soit la fonctiondéfinie sur I = [–2 ; 4] . . Soitx 1  etx 2  appartenant à I, tel que Rappels: –Une inégalité reste vraie lorsqu'on ajoute à ses deux membres un même nombre. –Une inégalité reste vraie lorsqu'on multiplie ses deux membres par un même nombre strictement  positif. –Une inégalité change de sens lorsqu'on multiplie ses deux membres par un même nombre strictement  négatif.

Donc la fonctionfsur I. est croissante

2–Maximum et minimum d'une fonction Définition 3:Soitf une fonction définie sur unintervalleI eta un réel appartenant à I. –est leOn dit quemaximumde la fonctionfsur I, lorsque : –est leOn dit queminimumde la fonctionfsur I, lorsque : Exemples: • A partir d'une représentation graphique : Cf Le maximum de la fonctionf sur [–3 ; 5] est; en effet, pour toutxde [–3 ; 5],. Le maximum de la fonctionf sur [–2 ; 2] est; en effet, pour toutxde [–2 ; 2],. Le maximum de la fonctionf sur [–3 ;–2] est; en effet, pour toutxde [–3 ;–2], . • A partir d'une formule : Soit la fonctiondéfinie sur [–1 ; 1]. On sait qu'un carré est toujours positif ou nul donc pour toutx de [–et .1 ; 1], Donc pour toutxde [–1 ; 1],. Le minimum de la fonctiong sur [–1 ; 1] est. 3–Tableau de variation d'une fonction Le tableau de variation d'une fonction résume l'étude du sens de variation d'une fonction sur son domaine de définition. Exemple: Pour la fonctionf représentée graphiquement dans l'exemple précédent, on obtient le tableau suivant : x–3 0 2 4 5 f(x) 23 –1 0 2 Une flèche montante indique que la fonction est croissante, et une flèche descendante indique que la fonction est décroissante.

Remarque:Lorsqu'une valeur est exclue du domaine de définition, on dit que c'est unevaleur interditeet on place une double barre dans le tableau de variation pour la signaler. Exemple: On a représenté cicontre la fonctionsur [–1 ; 0[∪]0 ; 1]. Cidessous, son tableau de variation: x–1 0 1 f(x)–1  1