cours triangles doc

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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
2-cours-triangles.doc LES TRIANGLES I) RAPPELS 1) Droites et centres remarquables d'un triangle A C B G A' B' C' Les ..................................................... d'un triangle sont concourantes en un point appelé .......................................................................... du triangle On a alors l'égalité : AG = ............................................... A C B H Les ..................................................... d'un triangle sont concourantes en un point appelé .......................................................................... du triangle A C B P Q R I Les ..................................................... d'un triangle sont concourantes La ................................................. d'un ................................................. étant l'ensemble des points équidistants des deux .......................................................................... , on a : IP = .................................... Le point de concours des .................................................... est donc le centre du cercle ............................................................. triangle A C B O Les ..................................................... d'un triangle sont concourantes La ................................................. d'un ................................................. étant l'ensemble des points équidistants des deux .......................................................................... , on a : OA = ................................. Le point de concours des .................................................... est donc le centre du cercle ............................................................. triangle p207: 7 p214: 44, 46, 47, 48, 49 p215: 54 triangle rectangle inscrit dans un cercle : p211: 23 angles alternes/internes : p215: 53, 55

  • théorème de la droite des milieux

  • valeurs remarquables des sinus

  • ab2 ?

  • rappels sur les angles

  • angle

  • ap-triangles-isometriques

  • angle au centre


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2-cours-triangles.doc LES TRIANGLES I) RAPPELS 1) Droites et centres remarquables dun triangle ALes.....................................................dun triangle sont concourantes C en un point appel..........................................................................du triangle BGOn a alors lgalit : AG =...............................................BCAALes duntriangle sont concourantes ..................................................... Hen un point appel..........................................................................du triangle BCLes.....................................................dun triangle sont concourantes ARLa dun tantlensemble des points ................................................. ................................................. Qquidistants des deux, on a : IP = .......................................................................... .................................... IBest donc le centreLe point de concours des .................................................... PCdu cercletriangle ............................................................. ALes duntriangle sont concourantes ..................................................... La dun tantlensemble des points ................................................. ................................................. quidistants des deux.........................................................................., on a : OA =.................................OBCLe point de concours des....................................................est donc le centre du cercle.............................................................triangle p207: 7 p214: 44, 46, 47, 48, 49 p215: 54 triangle rectangle inscrit dans un cercle : p211: 23 angles alternes/internes : p215: 53, 55
2-cours-triangles.doc 2) Valeurs remarquables des sinus et cosinus B SoitABC un triangle isocle rectangle en C tel que AC = BC = 1. Le triangle ABC tant isocle rectangle en C,A = 45 Daprs Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C, on a : 122 2 22 2 AB =AC +BC =1 +1 =2 donc AB= 2(ABcar cest une longueur !)− 2 AC 12 BC1 2BC 1 45; sin45 =cos 45 == =45 == == =; tan1 A1AB 2AC 1AB 2 C 22 B SoitABC un triangle quilatral de ct 1. Appelons H le pied de la hauteur issue de B. A = 60Le triangle ABC tant quilatral, Dans un triangle quilatral, hauteurs et mdianes sont confondues donc H est aussi le milieu de [AC] 13 donc AH= 1/2 2 2 2 2 Daprs Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :AH +AB =BH 602 2 22 23 3 1 ACBH =AB − donc1/2 =3/4 doncAH =1 −car cest une longueur !)(BH −BH = H2 2 2 AH 1/2 1BH/3 BH/ 3 23 2 60 =; sin; tan= == =60 =3= =cos 60 = AB 1 2AB 12 AH1/2 B SoitABC un triangle quilatral de ct 1. Appelons H le pied de la hauteur issue de A. 1BAH = 60/2 = 30Le triangle ABC tant quilatral, hauteurs et bissectrices sont confondues et 12 Dans un triangle quilatral, hauteurs et mdianes sont confondues donc H est aussi le milieu de [BC] 30donc BH= 1/2 A3H2 2 2 2AH +BHDaprs Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :AB = 2 2 22 23 3 donc AH= AB− BH= 1− 1/2= 3/4donc AH =(AHcest une longueur !)− car 2 2 CAH/1/2 13 BH1 3BH 1/2 3 2 = =; tan30 == === =cos 30 =30 =; sin AB 12 AB1 2AH 3 3 / 3 2 Bilan : x 3045 60 1 23 sinx2 2 2 3 21 cosx2 2 2 3 tanx3 1 3 p211: 22, 24, 28 p212: 29, 32
2-cours-triangles.doc 3) Angles inscrits, angles au centre N AMB et ANB sont inscrits danset interceptent le mme arc AB M  donc AMB = ANB OB  AMB est inscrit danset AOB est son angle au centre associ 1   donc AMB =AOB 2 ARappels sur les angles (opposs par le sommet, correspondants, alternes-internes) pour ceux qui ont oubli : cf p196 p207: 6 p211: 27 p212: 33 p215: 51
4) Thorme de Thals a) Thals BBA(BB) // (CC) A, B et C sont aligns A, B et C sont aligns
donc daprs Thals dans les triangles ABB et ACC, on a :
2-cours-triangles.doc
AB AB BB = = AC AC CC
CCb) Rciproque AAB AB = AC ACdonc daprs la rciproque de Thals dans les triangles(BB) // (CC)A, B, C et A, B, C sont BBalignsdans le mmeABB et ACC, on a : ordreCCc) Remarques 2 Sikest le rapport de proportionnalit entre les cts des deux triangles, le rapport entre leurs aires serakLe thorme de la droite des milieux est un cas particulier de Thals
p207: 5 p211: 21 p213: 38, 39, 41 p214: 42
2-cours-triangles.doc II) TRIANGLES ISOMETRIQUES 1) Dfinition Lorsque deux triangles ont "les mmes mesures", on dit quils sont isomtriques. 2) Proprits Si deux triangles sont isomtriques : Les trois cts de lun sont respectivement gaux aux trois cts de lautre. Les trois angles de lun sont respectivement gaux aux trois angles de lautre. 2-ap-triangles-isometriques.doc 3) Dmontrer que deux triangles sont isomtriques Pour que deux triangles soient isomtriques, il suffit que : Les trois cts de lun soient respectivement gaux aux trois cts de lautre. Deux cts de lun soient respectivement gaux  deux cts de lautre et les angles compris entre ces cts soient gaux. de lun soient respectivement gaux  deux angles de lautre et les cts compris entre ces anglesDeux angles soient gaux. 4) Utilisation dans les exercices Le fait davoir tabli que deux triangles taient isomtriques permet de dterminer des longueurs, des angles ou des aires. En effet, dans deux triangles isomtriques :  deux cts gaux, sont opposs deux angles gaux.  deux angles gaux, sont opposs deux cts gaux. leurs aires sont gales. Remarque :Nous parlons ici de cts et dangles gaux : cest un abus de langage ! Nous devrions parler de cts de mme longueur et dangles de mme mesure.
p207: 10 p215: 56, 59, 60
2-cours-triangles.doc III) TRIANGLES SEMBLABLES1) Dfinition Lorsque deux triangles ont "la mme forme", on dit quils sont semblables. 2) Proprits Si deux triangles sont semblables : Les trois angles de lun sont respectivement gaux aux trois angles de lautre. Les trois cts de lun sont respectivement proportionnels aux trois cts de lautre. Remarque :Dans une configuration de Thals, les deux triangles sont toujours semblables ! 2-ap-triangles-semblables.doc 3) Dmontrer que deux triangles sont semblables Pour que deux triangles soient semblables, il suffit que : Les trois cts de lun soient respectivement proportionnels aux trois cts de lautre. de lun soient respectivement proportionnels  deux cts de lautre et les angles compris entre cesDeux cts cts soient gaux. Deux angles de lun soient respectivement gaux  deux angles de lautre. 4) Utilisation dans les exercices Le fait davoir tabli que deux triangles taient semblables permet de dterminer des longueurs, des angles ou des aires. En effet, dans deux triangles semblables :  deux cts qui se correspondent, sont opposs deux angles gaux.  deux angles gaux, sont opposs deux cts qui se correspondent. le rapport entre leurs aires est le carr du rapport entre leurs cts.  p207:11  p216:61, 62, 63, 64, 67, 68, 70 p217: 73(difficile), 74, 77 p219: 87