Des laboratoires de mathématiques rudo l f bkou c he IRE M de L I L L E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Des laboratoires de mathématiques rudo l f bkou c he IRE M de L I L L E La science est un prolongement du sens commun, et elle utilise la même tactique que le sens commun : gonfler l'ontologie pour simplifier la théorie 1 Qu i ne … notre raison ne peut, sans l'aide de l'expérience, jamais tirer une conclusion au sujet d'une existence réelle et d'un fait.2 Hume Or il est de la plus haute importance d'avoir au préalable défini très exactement le concept que l'on veut éclaircir par des observations, avant d'interroger l'expérience à son sujet ; car l'expérience ne peut nous procurer ce dont nous avons besoin que si nous savons d'abord ce que nous devons y chercher.3 Kan t Introduction Dans une con fé r ence au Musée Pédagog i q u e en 1904 4, Em i l e Bo re l proposa i t l' in t r o d u c t i o n de labo ra t o i r es de mathéma t i q u es dans l'ense i gneme n t seconda i r e renvo y a n t ains i au carac tè re expér i m e n t a l des mathéma t i q u es. Ma is par le r du carac tè re expér i m e n t a l des mathéma t i q u es demande de reven i r sur la not i o n de carac tè re expér i m e n t a l bien plus que sur les mathéma

• seconde phase


• discou rs


• aspects de la conna issance


• rob ie


• rele ve


• enseignement des mathématiques

Sujets

• Mathématiques
• Cambridge
• Enseignement des mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

Des laboratoires de mathématiques rud o l f bk o u c h e I R E M de L I L L E

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"La science est un prolongement du sens commun, et elle utilise la même tactique que le sens commun : gonfler l'ontologie pour simplifier la théorie " 1 Q u i n e "… notre raison ne peut,sans l'aide de l'expérience,jamais tirer une conclusion au sujet d'une existence réelle et d'un fait " 2 . H u m e "Or il est de la plus haute importance d'avoir au préalable défini très exactementle concept que l'on veutéclaircir par des observations, avant d'interroger l'expérience à son sujet ; car l'expérience ne peut nous procurer ce dont nous avons besoin que si nous savons d'abord ce que nous devons y chercher." 3 K a n t

Introduction D a n s une con f é r e n c e au M u s é e Péda g o g i q u e en 190 4 4  de t r o d u c t i o n l'in o p o s a i t pr o r e l B m i l e, E lab o r a t o i r e s de ma t h é m a t i q u e s dans l'ense i g n e m e n t seco n d a i r e ren v o y a n t ainsi au cara c tè r e exp é r i m e n t a l des ma t h é m a t i q u e s. M a i s par le r du cara ct è r e exp é r i m e n t a l des ma t h é m a t i q u e s de m a n d e de reve n i r sur la not i o n de cara ct è r e exp é r i m e n t a l bie n pl us que sur les ma t h é m a t i - ques en tant que telles. Il ne faudrait surtout pas ql'n caractère expérimental dit ue o n op p o s e u " n c r e t " et d pects théo r i q u e s prése n t é s co m m e "abst r a i t s" ren v o y a n t au x di v e r s es co es as con n o t a t i o n s do n n é e s au x ter m e s "con c r e t " et "abstr a i t ". L'e x e m p l e des scie n c es ph ys i q u e s dev r a i t no us rap p e l e r que l'in t r o d u c t i o n des T P n'est pas sans pose r pr o b l è m e et que certa i n e s ma n i p u l a t i o n s pro p o s é es au x élè v es peu v e n t avo i r aussi peu de sig n i f i c a t i o n po u r les élè v es qu' u n disc o u r s dit "abstr a i t ". L a quest i o n essent i e l l e, que ce soit en ma t h é m ati q u e s ou en ph y s i q u e, reste cel le de l'art i c u l a t i o n entre les di v e r s aspects de l'act i v i t é scie n t i f i q u e . Ce la dit, rap p e l o n s que le carac tè r e expé ri m e n t a l des scie n c es ma t h é m a t i q u e s est anci e n 5 . Il fau t alo rs dist i n g u e r en tre ce qu i no us vie n t de not r e exp é r i e n c e du m o n d e, la co n n a i ssa n c e em p i r i q u e, et le carac tè r e expé r i me n t a l pr o p r e m e n t dit, leq u e l co ns is t e en la vér i f i c a t i o n "maté r i e l l e " des pr o p r i é t é s éno n c é e s par le disc o u r s théo r i q u e, ce qu i i m p l i q u e que ces deu x aspects, cel u i de l'e x p é r i e n c e et cel u i de l'ex p é r i m e n t a t i o n , aien t leu r place dans un lab o r a t o i r e de ma t h é m a t i q u e s. 1 Q u i n e, "Les deu x dog m e s de l'e m p i r i s m e " in Pier r e Ja co b,de Vienne à Cambridge,Ga l l i m a r d , Par is 198 p. 0, 1 1 1 2 D a v i d H u m e ,Enquêtesur l'entendementhumain, p. 72 3 I m m a n u e l K a n t, "Dé f i n i t i o n du co n c e p t de race hu m a i n e ", inOpuscules sur l'histoire, p. 123 4 E m i l e B o r e l ,   "Les exer sec m e n t gne i in (1904), o n d a i r e " de i q u e s prat c i c e s dans l'enseat h é m a t i q u e s  mOeuvres, to m e 4, C N R S , Par i s 197 2, p. 2225-2256 5 O n pou r r a i t rap pe l e r les no m b r e u x inst r u m e n t s in v e n t é s au co u r s des âges, ains i les inst r u m e n t s de mes u r e géo m é t r i q u e s ou les instr u m e n t s de cal c u l dep u i s les abaq u e s jus q u'a u x di v e r s es ma c h i n e s à cal c u l e r.

Aspect expérimental des mathématiques

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N o u s avo n s rap p e l é la nécessa i r e dist i n c t i o n entre l'ex p é r i e n c e et l'ex p é r i m e n t a t i o n . L e ter m e "ex pé r i e n c e " ren v o i e d'ab o r d à la co n n a i ssa n c e em p i r i q u e ma is pl us géné r a l e m e n t , co m m e le sug g è r e l'usa ge cou r a n t du ter m e, il dési g n e l'ense m b l e des con n a i s sa n c e s que l o n ' appe l l e d'u n ter m e vag u e la con n a i s sa n c e co m m u n e , con n a i s sa n c e deve n u e spo n t a n é e , que " " cette spo n t a n é i t é soit or i g i n e l l e ou acq u i s e. L e ter m e "ex pé r i m e n t a t i o n " ren v o i e, qua n t à lu i, à une inte r r o g a t i o n de la nat u r e, ce qu i sup p o s e d'u n e part une thé o r i sa t i o n antér i e u r e, aussi fai b l e soit- elle, qui per m e t d'e x p l i c i t e r les quest i o n s que l'on pose, d'aut r e par t une pré p a r a t i o n mat é r i e l l e qui s'ap p u i e sur cette pre m i è r e théo r i s a t i o n . Il fau d r a i t y ajo u t e r ce que l'o n appe l l e une "exp é r i e n c e de pensée" qui réd u i t l'e x p é r i m e n t a t i o n au disc o u r s qui la décr i t, poi n t sur leq u e l no us rev i e n d r o n s. D a n s un arti c l e pu b l i é dans le pre m i e r nu m é r o de la rev u eL'Enseignement Mathématique, L a u r e n t écr i v a i t :

"… toute science passe par trois phases successives : 1° la phase d'observation, 2° la phase de raisonnement,3° la phase expérimentale." 6

N o u s note r o n s l'or d r e des phases : obser v a t i o n , rais o n n e m e n t , exp é r i m e n t a t i o n . La phase exp é r i m e n t a l e y appa r a î t m o i n s co m m e une phase d'éla b o r a t i o n de la co n n a i ss a n c e que co m m e une phase de vé r i f i c a t i o n 7  i n i e déf p i r i q u e après la phase em phase, n d e seco, la par l'o bse r v a t i o n , étant cel le du raiso n n e m e n t . Cette re m a r q u e de La u r e n t peut no us ser v i r de gu i d e, no n seule m e n t po u r une déf i n i t i o n géné r a l e du cara ct è r e expé r i m e n t a l des mat h é m a t i q u e s, co m m e de tou te autre scie n c e, ma i s aussi co m m e gui d e po u r la m i se en pla ce de lab o r a t o i r e s de ma t h é m a t i q u e s dans l'ense i g n e m e n t . Pou r co m p l é t e r ce que dit L a u r e n t, no us ajo u t e r o n s que le raiso n n e m e n t inte r v i e n t dans chac u n e des phases. L' o b se r v a t i o n n'est ja m a i s un si m p l e co nst a t, elle sup p o se une inte n t i o n de cel u i qu i obse r v e, ce qui sup p o se une par t de raiso n n e m e n t , aussi em b r y o n n a i r e soit- il. D e mê m e la phase exp é r i m e n t a l e s'ap p u i e sur un do u b l e raiso n n e m e n t , en am o n t qua n t à l'éla b o r a t i o n de l'e x p é r i e n c e à par t i r de la phase de rais o n n e m e n t , en aval ensu i t e qua n t à la lect u r e des résu l t a ts. A i n s i l' ct i v i t é de rais o n n e m e n t inte r v i e n t dans les a tro is phases déf i n i e s par L a u r e n t, la seco n d e étan t cel le où cette acti v i t é est la pl us systé m a t i q u e . C'est po u r q u o i il me se m b l e plu s ju d i c i e u x d'ap p e l e r la seco n d e phase la phase théo r i q u e. Pou r éta ye r ce que no us ven o n s de dire, no us no us app u i e r o n s sur les tro is aspects de la con n a i ssa n c e déf i n i s par Go n s e t h, l'aspe c t int u i t i f , l'aspe c t expé r i m e n t a l et l'aspe c t thé o r i q u e 8 . L a co n n a i ssa n c e int u i t i v e co m p r e n d , à un m o m e n t do n n é, to ut ce que l'on sait app r é h e n d e r glo b a l e m e n t , en ce sens elle est à la fo is un do n n é et une co nst r u c t i o n , un do n n é dans la mes u r e où elle se fo n d e sur not re rap p o r t avec le m o n d e exté r i e u r ma i s aussi une const r u c t i o n par le sujet co n n a i ssa n t, ce que Go n s e t h appe l l ela construction de la réalité, co m m e il l'écr i t dansLes Mathématiques Réalité et la:      

6 H. L a u r e n t, "L es pr i n c i p e s fo n d a m e n t a u x des co n n a i s s a n c e s hu m a i n e s ",L'Enseignement Mathématique m e, to 1, 18 9 9, p. 38 1- 419 7 cela re m e t en pla ce certa i n s jug e m e n t s hâti f s sur l'e m p i r i s m e et m o n t r e le rôl e du rais o n n e m e n t dans la co n c e p t i o n em p i r i s t e de la co n n a i s s a n c e. 8 Fer d i n a n d Go n s e t h , le problèmede l'espaceLa géométrieet m é t r i e ". C f. de la géo ts aspec i s "Les tro II, l u m e, vo R u d o l f B k o u c h e "Q ue l q u e s re m a r q u e s sur la dé m o n s t r a t i o n (Auto u r de la ph i l o sop h i e de Go n seth)" inLa Démonstration mathématique dans l'Histoire ti i Ed 9, o n s, C r- I R E M E o l l o q u e Inte o log p i s té m n ç o n 198 i e, Besa I R E M Be sanç o n- L y o n 19 90

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"La réalité telle que nous l'apercevons est une construction plus ou moins autonome de notre esprit,dont les fins essentielles sont de rendre l'action possible." 9

M a i s cette con n a i s sa n c e int u i t i v e , si elle do n n e un cad r e po u r la pensée et l'ac tio n, reste insu f f i s a n t e, elle ne no us rense i g n e pas sur sa va l i d i t é, val i d i t é qui est m o i n s vér i t é qu a dé q u a t i o n entr e cette con n a i s sa n c e et le réel, cela dit sans pré jug e r de ce réel ; c'est cette ' adéq u a t i o n que G o n s e t h appe l l el'idonéité, exp ains r i m a n t m p t e en co la fo à la i ise pr i s des con t r a i n t e s exté r i e u r e s et de la (re)constr u c t i o n de la réal i t é par l'esp r i t hu m a i n , (re)const r u c t i o n qu i est en que l q u e sorte la rép o n s e du sujet co n n a i ssa n t à ces con t r a i n t e s. C'est alor s le rô le de la con n a i s sa n c e ex pé r i m e n t a l e et de la co n n a i ssa n c e théo r i q u e que de const r u i r e l'id o i n e, co nst r u c t i o n qui ne saura i t être ache v é e. L a con n a i s sa n c e expé r i m e n t a l e peut être cons i d é r é e co m m e une con f r o n t a t i o n co n t r ô l é e au réel, en cela elle n'est ja m a i s cou p é e du thé o r i q u e, mê m e si G o n s e t h n'est pas tou j o u r s cla i r sur ce poi n t. On po u r r a i t dire, po u r préc i se r et co m p l é t e r la pensée de G o n s e t h, que l'e x p é r i m e n t a l n'est ja m a i s nu, qu'i l est tou j o u r s char g é à la fo is de co n n a i ss a n c e int u i t i v e et de con n a i ssa n c e thé o r i q u e ; c'est en cela que la co n n a i ssa n c e exp é r i m e n t a l e est bie n pl us di f f i c i l e d'accès que les deu x autres for m e s de con n a i ssa n c e s et ce serait un leu r r e que d'espé r e r co m m e n c e r d'ense i g n e rvia.elatneu ena pporhc epurement expérim L a co n n a i ssa n c e thé o r i q u e , qua n t à elle, s'app u i e sur le raiso n n e m e n t . Ce l u i- ci pren d sa cons i st a n c evia n n a i ssa n c e thé o r i q u e co peut carac té r i s e r la co m m e issue o u r sle disc l'on et d u n disc o u r s co n v e n a b l e m e n t rég l é. M a i s ce disc o u r s n'est pas qu' u n si m p l e ajo u t, d'u ne par t ' les règ les du disc o u r s se déf i n i s s e n t dans l'act i v i t é thé o r i q u e elle-mê m e, d'au t r e part le disc o u r s jou e un rôle acti f dans l'éla b o r a t i o n de la co n n a i ssa n c e. N o u s ve r r o n s ci-desso u s que c'est le rais o n n e m e n t qu i per m e t de co nst r u i r e les idéa l i t é s ma t h é m a t i q u e s, lesq u e l l e s peu v e n t être co ns i d é r é e s co m m e des ob je t s de disc o u r s, au sens que d'un e par t elles se co nst i t u e n t dans le disc o u r s et d'aut r e part le disc o u r s se co nst r u i t sur elles. N o u s rev i e n d r o n s de faç o n pl us exp l i c i t e sur ce po i n t à pr o p o s des obj e ts de la géo m é t r i e. S'il est nécessa i r e de dist i n g u e r les tro is aspects de la con n a i s sa n c e po u r les beso i n s de l'ana l y s e, il fau t pre n d r e en co m p t e que, dans l'acte de con n a i s sa n c e, ces tro i s aspects ne sont pas séparés, ce qu i de m a n d e de rega r d e r la faç o n do n t ces tro i s aspects s'art i c u l e n t, ce que G o n se t h appe l l e une syn t h è se dia l e c t i q u e 10 . U n tel po i n t de vue per m e t de sort i r de la classi q u e op p o s i t i o n "rati o n a l i s m evs l "em p i r i s m e , e m o m e n t em p i r i q u e et le m o m e n t rati o n n e l se co m p l é t a n t dans l'acte de con n a i ssa n c e, le m o m e n t exp é r i m e n t a l appa r a i s sa n t co m m e cel u i de la vér i f i c a t i o n de l'adé q u a t i o n entre le disc o u r s théo r i q u e et la réal i t é, to ut en sacha n t que ce der n i e r ter m e est a m b i g u entre une réal i t é m o n d a i n e, cell e du déjà-là antér i e u r à tou t e co n n a i ss a n c e, et une réal i t é reco n s t r u i t e par l'acte de con n a i s sa n c e. Il s'agit m o i n s d'o p p o s e r em p i r i s m e et rati o n a l i s m e que de vo i r co m m e n t le rati o n a l i s m e , en se prése n t a n t co m m e un m o d e d'o r g a n i s a t i o n de la co n n a i ssa n c e, est une faç o n (la faç o n !) de dépasser l'e m p i r i s m e . D'a u t a n t pl us qu'e n met t a n t en ava n t la mét h o d e déd u c t i v e, le rati o n a l i s m e per m e t d'u n e part de const r u i r e de la co n n a i ssa n c e à part i r du seul disc o u r s, d'aut r e par t de pense r la not i o n de nécessa i r e : une vér i t é nécessa i r e est une vér i t é qui no n seule m e n t est vra i e ma i s ne peu t pas ne pas être vra i e 1 1 . Les premiers objets des sciencesmathématiques : le nombre et la figure

N o u s no us inté r esse r o n s d'ab o r d au x pre m i e r s ob je t s ma t h é m a t i q u e s trad i t i o n n e l s, la fi g u r e et le no m b r e, en insis ta n t sur la par t d'e m p i r i s m e qu i co n d u i t à leur con n a i s sa n c e. S'il est 9 Fer d i n a n d G o n s e t h,Les Mathématiques etla Réalité, p. 54 10 Po u r une ana l y s e de la not i o n de syn t h è s e dial e c t i q u e de G o n s e t h , no us ren v o y o n s à l'art i c l e de H o u r i a Sin a c e u r, "La dia l e c t i q u e de l'espa c e sel o n Fer d i n a n d G o n s e t h " inLa Figure et l'Espace c t e s, A du 8 è me C e qulool Inte r- IR E M Ep i s t é m o l o g i e et H i s t o i r e des M a t h é m a t i q u e s (Lyo n 199 1), I R E M de L y o n 19 9 3. 1 1 N o t o n s que no us restr e i g n o n s ici à la par t du rati o n n e l qui relè v e du m a t h é m a t i s a b l e.

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classi q u e de met t r e en ava n t le carac t è r e em p i r i q u e des obj e ts géo m é t r i q u e s en insista n t sur le rôle des cor p s sol i d e s dans la co nst i t u t i o n de la géo m é t r i e 12 , les no j o u r s se m b r e s ont tou m b l é rele v e r de la pensée pur e. C est déjà ce que disai t A r c h y t a s de Ta r e n t e à l'au b e de la géo m é t r i e ' grec q u e 13  dans une lett u ss à re l b e r s O :, c'est enc o r e ce qu'éc r i t Ga

"J'en viens de plus en plus à la conviction que la nécessité de notre géométrie ne peut être démontrée, ou du moins qu'elle ne peut pas l'être par la raison humaine ou pour la raison humaine. Peut-être atteindrons-nous, dans une autre existence, une compréhension de la nature de l'espace qui nous est maintenantinaccessible. Jusque-là, il ne nous faut pas mettre la géométrie au même rang que l'arithmétique dont la véritéest purementa priori, mais plutôtau mêmerang que la mécanique" 14

après qu' i l a déco u v e r t la possi b i l i t é de géo m é t r i e s no n- eucl i d i e n n e s. Et il faut reco n n a î t r e enc o r e auj o u r d ' h u i qu'i l n'e x i s t e, sous des fo r m e s di f f é r e n t e s, qu'u n e thé o r i e des ent ie r s nat u r e l s, ces no m b r e s que, selo n une célè b r e for m u l e de K r o n e c k e r , D i e u a do n n é s au x ho m m e s. Reste que ces no m b r e s, appa r u s aux pre m i e r s âges de l'h u m a n i t é, son t liés à l'acte de co m p t a g e et il ne saura i t être quest i o n de dire si le co m p t a g e précè d e les no m b r e s ou si les no m b r e s pré cè d e n t le co m p t a g e ; dans une opt i q u e gon sé t h i e n n e on po u r r a i t dir e, avec pr u d e n c e, que co m p t a g e et no m b r e s sont con c o m i t a n t s. En ce sens la not i o n de no m b r e part i c i p e de la con n a i s sa n c e em p i r i q u e mê m e si l'act i v i t é de co m p t a g e nécessi t e l'usa ge de règ l es qui appa r a i sse n t, après cou p, co m m e un préa la b l e au co m p t a g e ; on peut y vo i r l'u n e des pre m i è r e s syn t h è ses dia le c t i q u e s au sens go nsé t h i e n ; c'est leu r anc i e n n e t é qui amè n e à cons i d é r e r les no m b r e s co m m e rele v a n t du do m a i n e de la pensée pur e. O n peu t vo i r ici l'u n des carac tè r es des ob j e ts ma t h é m a t i q u e s que j'ap p e l l e r a i leur éter n i t é, no n par ce qu'i l s sont éter n e l s, ma is parc e que, dès qu'i l s sont in v e n t é s par l'esp r i t hu m a i n , ils dev i e n n e n t éter n e l s au sens qu'i l s se m b l e n t exist e r dep u i s tou j o u r s. C'est peu t- être ains i qu'i l fau t penser les Idées pla t o n i c i e n n e s, aussi peu plat o n i c i e n n e soit cette faç o n de les pense r. C'est juste m e n t parce que le no m b r e appa r a î t co m m e rele v a n t de la pensée pu re par rap p o r t aux fi g u r e s géo m é t r i q u e s qu i se prête n t m i e u x à la co n n a i ssa n c e em p i r i q u e que no us co m m e n c e r o n s par la not i o n de no m b r e , essent i e l l e m e n t la not i o n de no m b r e enti e r.

le nombre

1-les pratiques de comptage

Si le no m b r e est lié au x prat i q u e s de co m p t a g e, c'est à tra ve r s ces prat i q u e s que l'o n peut abo r d e r les aspects em p i r i q u e s et exp é r i m e n t a u x de la not i o n de no m b r e. O n peu t cons i d é r e r que l'aspe ct em p i r i q u e se résu m e au co m p t a g e, tout en re m a r q u a n t que le co m p t a g e fai t appa r a î t r e très vi te des opér a t i o n s sur les no m b r e s avec le co m p t a g e d'un e réu n i o n de pl us i e u r s gro u p e s d'o b j e t s. O n ne peut évit e r ici la quest i o n de la dist i n c t i o n des no m b r e s dits "co n c r e t s" (nom b r e d'o b j e t s d'u ne col l e c t i o n) et des no m b r e s dits "abstr a i t s" et des rap p o r t s entr e ces deu x ty pes de no m b r e s 15  ici que ce rap p o r t est lié au. Il no us se m b l e carac tè r e expé r i m e n t a l du co m p t a g e, leq u e l appa r a î t ave c d'u ne part la co m p t i n e des no m b r e s,

12 aurait pas n y il n'y avait pas de corps solides dans la nature, il"Si donc de géométrie" n c a r é,(Henr i PoiLa ' Science etl'Hypothèse, p. 86) 13 N e u g e b a u e r ,The Exact Sciences in Antiquity, p. 14 14 trad u c t i o n fra n ç a i s e par Fer d i n a n d G o n s e t h inLa Géométrie et le Problème de l'Espace l u m e, vo I, V e L Pro b l è m e de l'Es pa c e, p. 94 15 O n peut don n e r une fo r m u l a t i o n gra m m a t i c a l e de la dist i n c t i o n entr e no m b r e s con c r e ts et no m b r e s abstra i ts. U n no m b r e con c r e t a un statu t d'ad j e c t i f (adject i f nu m é r a l) acc o l é à un no m , un no m b r e abstra i t est un no m (card i n a l).

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c'est-à-dire l'én o n c é de la sui te des no m b r e s, d'aut r e par t les pre m i è r e s opé r a t i o n s eff e c t u é e s sur les no m b r e s que const i t u e l'acte de "co m p t e r sur les doi g t s". L e co m p t a g e appa r a î t ainsi co m m e la m i se en relat i o n entr e une col l e c t i o n d'o b j e t s et la co m p t i n e des no m b r e s ; la ma i n appa r a î t ains i co m m e la pre m i è r e ma c h i n e à cal c u l e r et l'usag e du "co m p t e r sur les do i g t s" co m m e l'u n des pre m i e r s m o d e s de l'ex p é r i m e n t a t i o n arit h m é t i q u e 16 .

2-du comptage au calcul

L e cal c u l est un acte, c'est-à-dir e qu'i l se trad u i t par des opér a t i o n s, tell es les quat r e opé ra t i o n s can o n i q u e s de l'ar i t h m é t i q u e élé m e n t a i r e. C'est ains i qu'i l faut co m p r e n d r e des phrases tel les que :"cinq et trois font huit" n t a t i o n prése opé des a. L lo m m e de is arit ra t i o n s co h m é t i q u e s co m p o s i t i o n peu t être cons i d é r é e co m m e unestatification que f i c a t i o n stati a t i o n s,des ces opér l o n peu t rel i e r au cadr e ense m b l i s t e des mat h é m a t i q u e s con t e m p o r a i n e s, ma i s cette ' stati f i c a t i o n ne pre n d son sens que po u r qui a déjà acq u i s une prat i q u e du calc u l. A u t a n t di re que la not i o n deloi de composition dans l'al ce pla que soit sa o d e r n e, m g è b r e, aussi i m p o r t a n t e n'est pas une not i o n pre m i è r e dans l'ense i g n e m e n t du calc u l. L e pre m i e r ensei g n e m e n t du calc u l se situe dans un entr e m ê l e m e n t des tro is phases prése n t é es par La u r e n t, ou po u r em p l o y e r un lan g a g e go nsét h i e n , au carr e f o u r des tro is aspects de la con n a i ssa n c e. Si une anal y s e épisté m o l o g i q u e ou di d a c t i q u e de m a n d e de dist i n g u e r ces tro is aspects de la co n n a i ss a n c e, ceu x- ci ne sont pas séparés dans l'acte de calc u l et on peu t y vo i r l'u ne des di f f i c u l t é s de l'ap p r e n t i s s a g e du calc u l, di f f i c u l t é qu i ne peut qu'êt r e ren f o r c é par une sépara t i o n pré c o c e des tro i s aspects de la con n a i s sa n c e. O n po u r r a i t résu m e r cela en disa n t que le sens et la prat i q u e des opé r a t i o n s sont co n c o m i t a n t s, que c'est la prat i q u e des opé r a t i o n s qui leu r do n n e sens sans que l'on puisse déci d e ra priori des et n i q u e s tech ctsla part des aspe aspects con ce p t u e l s qui s'ent re m ê l e n t dans l'acte de cal c u l e r 17 . Cet entr e m ê l e m e n t se déf i n i t ainsi dans la prat i q u e du cal c u l, laq u e l l e appa r a î t sous un do u b l e aspect, le calc u l me n t a l et le cal c u l écr i t. D a n s une con f é r e n c e péda g o g i q u e du déb u t du X X è m e sièc l e, A. Ca b o i s, insp e c t e u r pri m a i r e, exp l i q u a i t :

" Le calcul mental est celui qui se fait sans le concours de l’écriture.Il est toutà fait différent du calcul écrit. Le premier opère simplementsur les nombres ; le calcul écrit, au contraire, opère sur les chiffres,sans tenir comptedes nombres,exceptépour le résultatfinal." 18

O n vo i t ici appa r a î t r e deu x prat i q u e s de cal c u l que l'on peut cons i d é r e r co m m e deu x ty pes de prat i q u e exp é r i m e n t a l e. Si le calc u l me n t a l fait appe l à l'i n t u i t i o n des no m b r e s, le calc u l écr i t (le cal c u l posé po u r repr e n d r e l'e x p r e ss i o n de l'in t i t u l é de pr o g r a m m e s 19  l'un des) rep r ése n t e pre m i e r s exe m p l e s de mé t h o d e s alg o r i t h m i q u e s et c'est en cela qu'i l a sa pla ce dans le lab o r a t o i r e de mat h é m a t i q u e s. Le co ns i d é r e r auj o u r d ' h u i co m m e une acti v i t é désu èt e, co m m e le laisse n t ente n d r e les pr o g r a m m e s de l'éco l e pri m a i r e, relè v e no n seule m e n t d'un e erre u r 16 Ces re m a r q u e s n'o n t auc u n e préte n t i o n hist o r i q u e. Par con t r e elles nou s se m b l e n t jo u e r un rôl e i m p o r t a n t dans l'ap p r e n t i s s a g e du co m p t a g e et des opé ra t i o n s de l'ar i t h m é t i q u e . O n peut aussi tra v a i l l e r avec des cai l l o u x ou des bûc h e t t e s, m a i s la m a i n reste un out i l pr i v i l é g i é. 17 C'est un dé fa u t des thé o r i e s m o d e r n e s de l'ap p r e n t i s s a g e de co n f o n d r e l'ap p r e n t i s s a g e co m m e acte de cel u i qu i app r e n d et l'ana l y s e de cet acte. C'est en ce sens que ces thé o r i e s peu v e n t co ns t i t u e r des obsta c l es à l'ense i g n e m e n t ,obstacles didactiquespo u r r a i t- on di x obsta u t e n t au c l es qui s'ajo re, obstaté m o l o g i q u e s  épis c l e s étu d i é s par B a c h e l a r d, lesq u e l s m a r q u e n t des di f f i c u l t é s réel l es qu i relè v e n t du rap p o r t de cha c u n à la co n n a i s s a n c e scie n t i f i q u e . 18http://me m b r e s.l y c o s. f r/ m e z a i l l e/S C O L . h t m, A. Ca "cal b o i s, me c u l n ta l ", Pédagogiques auLes Conférences débutdu XXème Siècle, 19Qu'apprend-on à l'école élémentaire ? N D P/ X O C o b i e n , R o g r a m m e s), pré f a c e de G i l l e s de(2005-2006, les pr édi t i o n s, Par is 2005