Duree heures

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Duree : 4 heures Baccalaureat S Amerique du Sud novembre 1998 Exercice 1 4 points Enseignement obligatoire Le plan est rapporte au repere (O, ??u , ??v ) orthonormal direct ; unite graphique 2 centimetres. On completera la figure au fur et a mesure de l'exercice. Soit I le point d'a?xe 2i. On nomme f la transformation qui, a tout point M d'a?xe z associe le point M ? d'a?xe z? tel que z? = iz. 1. a. Preciser la nature de f ainsi que ses elements caracteristiques. b. Determiner l'a?xe du point A?, image par f du point A d'a?xe 1 +√ 2 + i. c. Montrer que les points A, I et A' sont alignes. 2. a. Montrer que l'ensemble (?) des points M du plan tels que M , I et M ? sont alignes, est le cercle de centre ? d'a?xe 1 + i et de rayon√ 2. b. Verifier que le point A appartient a (?). c. Determiner l'ensemble (??) decrit par le point M ? lorsque le point M decrit (?). 3. Soit B le point d'a?xe 2 + 2i et B? l'image de B par f . a. Demontrer que les droites (AB) et (AB?) sont perpendiculaires.

• cercle


• barycentre gn


• point d'a?xe


• systeme de points ponderes


• equation di?erentielle


• points enseignement obligatoire


• cercle de centre ? d'a?xe

Sujets

• Mathématiques
• Cercle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 1998
• Nombre de lectures: 19
• Langue: FrançaisFrançais

Extrait

Dur´ee:4heures

Baccalaure´atSAm´eriqueduSudnovembre1998

Exercice 14 points Enseignement obligatoire −→−→ Leplanestrapport´eaurepe`re(O, v, unoroamdl)rohtit´egrapirect;unuqihe 2centime`tres. Oncompl´eteralafigureaufureta`mesuredel’exercice. Soit I le point d’affixe 2i. On nommef,iuqota`optutnitrlasfanmaorontiMd’affixezassocie le point   Md’affixeztel quez= iz. 1. a.resice´rerutanaldePf.stsireuqinest´lmetce´acarinsiaes´eques  b.ffix’aupedmierrlnete´DiotnA, image parfdu pointAd’affixe 1 + 2 + i. c.tAIeA,tsinpoeseluqrertnoM.snge´atils’no 2. a.Montrer que l’ensemble (Γ) des pointsMdu plan tels queM, I et  Msgnlitaonltse,se´delcreceecentreΩd’affixe1+eidtreyano 2. b.ri´erqfieleueinpopaAttraptneiΓ(a`.)V   c.D´eterminer l’ensemble (Γ ) d´ecrit par le pointMlorsque le pointM de´crit(Γ).  3.l’image de B parSoit B le point d’affixe 2 + 2i et Bf.  a.iculpends.aireBA(te)Breptnos)sdleuerq(Aesitromo´erentD  b.lCpeoSti’dniiotnD´eterminerseti)BA(A(te.)Brstetiecdeonrosd  lanatureduquadrilate`reOACA.

Exercice 25 points Enseignementdespe´cialit´e Dansleplan(P),onconside`reletriangleABCisoce`leenA,dehauteur[AH] telqueAH=BC=4.Onprendralecentim`etrepourunite´. 1.baryntG,epoicerle`emystserudectndefiatilantEusnjnoitalp,snoccurt pointspond´er´es{(A ;2) ;(C ;1)(B ;1) ;}. 2.On d´esigne le pointMun point quelconque de (P). −−→−−→−−→  a.Montrer que le vecteurV= 2MA−MB−MC est un vecteur dont la norme est 8. b.Eelne’lbmestrnsreuiremrtienc´oeetD 1 des pointsMdu plan tels que −−→−−→−−→  2MA +MB +MC=V 3.tsyselere`disnocOnsee´´rpondintsdepo`eme{2) ;(B ;(A ;n) ;(C ;n)}u`o nest un entier naturel fix´e. a.Montrer que le barycentre G n ´endpotsesr´e`tsysecniopedemde existe. Placer G 0 , G 1 , G 2 . b.Montrer que le point G n appartient au segment [AH]. c.Calculer la distance AG n en fonction denet d´eterminer la limite de AG n quandntend vers +∞. Pre´ciserlapositionlimitedeG n quandntend vers +∞.

d.Soit E n l’ensemble des pointsMdu plan tels que −−→−−→−−→−→ 2MA +nMB +nMC=nV

Montrer que E n est un cercle qui passe par le point A. Enpre´ciserlecentreetlerayon,not´eR n . e.Construire E 2 .

Exercice 25 points Enseignement obligatoire −→−→ Leplanestrapport´ea`unrepe`reorthonormaldirect(O, ı, ). L’unit´egraphiqueest4cm. Onconsid`erelespointsA(1;0),C(0;1),D(0;-1)etlecercle(Γ)decentreO et de rayon 1. SoitMun point du cercle (Γ), d’ordonn´ee positive ou nulle, et distinct de C. La droite (DM) rencontre l’axe des abscisses au point I. Le pointNest le point d’intersection de la droite (OMedteapalllarele`la`)a droite (CD) passant par I. 1.R´ealiser la figure. −−→ 2.On notetune mesure de l’angle orient´e (ı,OM). On se propose de d´eterminer l’ensemble (F) d´ecrit par le pointNlorsque π t;0[ellavretni’ltriecd´π] priv´e de. 2 a.reelcsooe´etmrniesdDonrdeen´Men fonction det.   cost b.etsneolM;uqsiup0sdeIn´eesonteuelerqrdrnocsoo 1 + sint coordonn´eesx(t) ety(t) deNsont : costsint x(t) =y(t) =. 1 + sint1 + sint 3. a.Comparer d’une partx(t) etx(π−t), puis d’autre party(t) ety(π−t). Ende´duireunepropri´ete´g´eom´etriquedel’ensemble(F). b.irel’´etFanietedvsducenoojnoitairacnofsedssontit→x(t) ett→   π y(t0 ;) sur . 2 π c.D´eterminer les limites dex(t) ety(t) quandt.tend vers 2 4. a.Calculer, en fonction det, la distance ONpuis la distance deN`ala droite d’´equationy= 1. b.ce´rpnotalaresiEnedd´reui)Fseuq(euldsitcnnecoansuedonniqu natureetles´ele´ments. c.Tracer l’ensemble (F).

Probl`eme

Partie A tulodnoise´Rndiffatio´equ’unelletneie´er (Hors programme depuis 1998.)

Ame´riqueduSud

2

11 points

  1.drouesR´sdenaRlle(ntie´erendifftaoie´uq’lE 0 )y−2y+y= 0. 2.:Soit l’´equation diff´erentielle (E)

 2 y−2y+y=x−4x+ 2.

2 Ve´rifierquelepolynoˆmehisurnfie´dRparh(x) =xest une solution   particulie`rede(E),c’est-`a-direque,pourtoutxdeR, h(x)−2h(x) + 2 h(x) =x−4x+ 2. 3. a.Montrer que sifoutestsolc,)Etse’oitu(ednip,srtoua--`redixr´eel,  2 f(x)−2f(x) +f(x) =x−4x+ 2,alors la fonctiong, telle que g=f−h, est solution de (E 0 ). b.R´eciproquement, montrer que sigest solution de (E 0 ) alors la fonc- tionf, telle quef=g+h, est solution de (E). c.utolnsiolerassde´geme´nelerirofa´eduEndedE(s)ruR.  4.esolutioeduireunnEn´dϕa`tna)s(Edeisfaisatϕ(1) = 1 etϕ(1) = 0.

Partie B ´ Etude de la fonctionferebe´rptnesvitatret´eacsadeurcoe Onconsid`erelafonctionde´finiesurR, par 2 (x−1) f(x) =x−2(x−1)e. −→−→ On note (Cse´eatntedivsuan)ocasebrurperOmal(e`errnpenororoht, ı, ) ; (unite´graphique.2cm). 1. a.D´eterminer la limite defen +∞:. On pourra montrer que   2 x2x2 f(x) = e−+. x e ee b.e´Dedmitelaliinertermfen -∞.  c.Calculerf(x) pour toutxriude´dnetelee´rseledsneraveitaideon fsurR. 2. a.tnerqreu’le´uqtaionMof(x) = 0 admet surRune solution unique. On noteαcette solution. b.Montrer queαapientpartalrv]1lel’`atein1;7,.[8, 2 3.parabolelle(Γ)laoin’de´uqtanOeppay=x. ´ a.Etudier la position relative de (C) et de (Γ). 2 b.Calculer la limite def(x)−xquandxtend vers− ∞. 4.Trsurracecauobr(eimllmier,l´etr´eliuefenuipapedelC) et la parabole (Γ).

Partie C Calculs d’aires Soitaanpp1aO.ue`re´irtinfemenrictelstnnubrom´eerDleel a le domaine du planlimite´parlescourbes(C) et (Γ) et les droites d’´equationsx=aetx= 1. On note A(aamoduderpxe,Denieneem´risd´eitun.)eai’ar’il (a−1) (a−1) 1.Montrer que A(a) = 2(a−1)e−2e +2. (Onpourrautiliseruneint´egrationparparties). 2.Calculer l’aire A(0) du domaine D. 3.tedelimierlarminete´DA(a) quantatend vers−∞.

Ame´riqueduSud

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