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Équation des ondes ou équation de d'Alembert

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
M6A : L'ÉQUATION DES ONDES. Page 1 / 5 L'ÉQUATION DES ONDES (OU ÉQUATION DE D'ALEMBERT). I : L'équation des ondes. 1°) Le cadre de l'étude. Soit f une fonction scalaire (ou vectorielle) de (ou de ) des variables d'espace et du temps, au moins de classe C2. 4 ?\ \ 34 ?\ \ On appelle équation de d'Alembert (ou équation des ondes) l'équation aux dérivées par- tielles du type : 2 2 2 1 0 f f c t ∂? ? =∂ , où ?f désigne le laplacien (scalaire ou vectoriel) de la fonction f. Cette équation est linéaire, donc une résolution en complexes sera envisageable, est invarian- te par symétrie d'espace et renversement du temps (du fait de la présence de dérivées se- condes seulement). La constante c, homogène à une vitesse, désigne la célérité de l'onde et est appelée vitesse de phase. 2°) Réduction à un problème unidirectionnel. a) Recherche d'une solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension. On suppose que la fonction f ne dépend que d'une variable d'espace, notée x et du temps t. L'équation des ondes s'écrit ici : 2 2 2 2 2 1 0 f f x c t ∂ ∂? =∂ ∂ .

  • equation des ondes

  • découplage des variables temps

  • xr ef

  • solution générale de l'équation

  • méthode de séparation des variables

  • propagation

  • xj- ?∂ ∂ ?

  • ?∂ ∂


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M6A : LÉQUATION DES ONDES.
LÉQUATION DES ONDES (OU ÉQUATION DE DALEMBERT).
I Léquation des ondes. : 1°) Le cadre de létude.  Soitfune fonction scalaire (ou vectorielle) de\4\(ou de\4\3) des variables despace et du temps, au moins de classeC2.  On appelleauqénoitdedAlembert (ouéuqtaoinedssdeon) léquation aux dérivées par-2 tielles du type :Δfc12t2f=0, oùΔfdésigne le laplacien (scalaire ou vectoriel) de la fonctionf.  Cette équation estlrieniaé, donc unerésolution en complexes sera envisageable, estiaarnvin-teparsymétriedespaceetrenversementdutemps fait de la présence de dérivées se- (du condes seulement).  La constantec,enègomohesstevieunà, désigne la célérité de londe et est appeléeetivess dephase. 2°) Réduction à un problème unidirectionnel. a) Recherche dune solution générale de léquation de dAlembert à une dimension. On suppose que la fonctionfne dépend que dune variable despace, notéexet du tempst. 2 2 Léquation des ondes sécrit ici :x2fc12t2f=0.  On cherche la solution générale de cette équation différentielles aux dérivées partielles en ef-fectuant le changement de variables :tpq==xx+tctc. ∂ ∂ ∂ ∂ = + s  Alorsfppxfqqx, oit :xf=pf+qf=g(p,q)2  Et2f=xg(p,q)=pg+qg : soit22=2p2f+2p2fq+2q2fx  De même,t=pftp+qftq : soittf=c.pf+qf=h(p,q)∂ ∂ ∂ ∂ ⎤ 2t2=ht(p,q)=c.hp+qh. Doù :2t2=c2.2p2f2p2fq+2q2f.  Ainsi, léquation des ondes en variablesp, qsécrit sous la forme :p2fq=0
 Par intégration, on obtient :pfq=0fqp=G(q), (p,q)=G(q)dq soit :(x,t)=f1(xct)+f2(x+ct).  Les fonctionsf1etf2sont arbitraires, au moins de classeC2(pour pouvoir appliquer le théorè-me de Schwartz).  Elles ne sont pas données par léquation des ondes elle même, maismreteéniédssparle conditionsauxlimites(tout comme les constantes dintégration dune équation différentielle).
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b) Interprétation de la solution générale de léquation des ondes à une dimension.  On peut écrire la fonction quelconquef2(x + ct) sous la formef2(-[(-x)  ct)]), cest-à-dire sous la forme dune fonction dune fonction quelconque de la variable (-x)  ct. On voit donc ici que linterprétation de la fonctionf2(x + ct) est la même que celle de la fonctionf1(x - ct), à un chan-gement dorientation de laxe des x près.
Une fonction de la formef représente(x - ct) unedneoerplpnassivogreanptropeagsee sansdéformationàlacéléritécsuivantladirectiondelaxeOx,danslesensdesxcrois-sants. Il est remarquable que la fonctionf(x, t)dune onde plane progressive ne dépende des deux va-riablesxettque par lintermédiaire de lunique variablex  ct.  Il est équivalent décrire la solution de léquation des ondes sous la forme : f(x,t)=f+(t)+f(t+x). c c
comme laeedxuodnsepalnesprogressivesdeêmemcéupspoertisidon léritécetdesensdepropagationopposés. 3°) Propagation dans un milieu à trois dimensions. a) Cas dun problème à symétrie sphérique.
 La fonctionf(Μ,t) cherchée ne dépend que du temps et de la distance r = OM.  Le laplacien s'écrit alors en coordonnées sphériques :Δf=r12rr2r.  On effectue le changement de variable :Φ= r.f= −  Alors :f1∂Φ Φ : DoùΔf=r12rrΦrΦ=1r2r2Φr rrr2 Φ  Ainsi léquation des ondes sécrit :r12r2Φc12t22Φr=0, soit :2r2Φc122t2=0.  On reconnaît sous cette dernière forme léquation des ondes à une dimension étudiée précé-demment.
trie sphérique sécrit :f(r,t)=1rf+(tcr)+1rf(t+cr).
 sont  Comme il a été déjà vu, les fonctionsf+etf-arbitraires , déterminées par les conditions aux limites, représentant respectivement deux ondes sphériques divergente et convergente par rapport à lorigine O.  Contrairement aux onde planes qui se propagent sans déformation, les ondes sphériques saffaiblissent (comme 1/r) quand on séloigne du point source O. b) Surfaces d'onde.
que(M,t) = Csteà t donné.  Ainsi, par exemple, pour l'onde sphérique précédente, les surfaces d'onde sont des sphères de centre O.
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II : Recherche de solutions en ondes progressives. 1°) Cas dune propagation suivant une direction fixe. l  On désigne parOuune direction spatiale fixe définie par le vecteur unitaire eu, de cosinus di-recteurs (α,β,γ) :eGu= αeGx+ βeGy+ γeGz, avecα2+ β2+ γ2=1.  Un point M quelconque est repéré par son rayon vecteurrG=xeGx+yeGy+zeGz.  On noteu=eGu.rG= αx+ βy+ γz(u est labscisse de la projection H du point M sur laxeOu).
sions, décrit unelapdeongrropneseisev(.O.P.P) se propageant suivant la di-rectionOusi, à t donné, f(x,y,z,t)euddnqédepneu,eveau=eGu.rG. Les surfaces donde de londe plane sont lesOàualucserirppedienplsan. Inversement, si f(x,y,z,t) représente une onde se propageant dans la direction Ouet si, à t donné, f(x,y,z,t)reuanlapaslamêmeven tout point dun plan perpendiculaire àOu, cest que londe ainsi décritenesapalpntse.
 Léquation de dAlembert étant invariante par changement de base, on peut tout à fait choisir laxeOxpour la directionOu. AinsiG G . :u=ex.r  La solution ainsi cherchée sous forme donde plane progressive est du typeG G. ftr.exc l  Notons maintenant simplementeule vecteur unitaire dans la directionOu,sans chercher à par-ticulariser laxe desx. Uneevseisgrropnelapdeon (.P.O.P) se propageant suivant la direction 12f=0 ois dimensionsf Ou,solution de léquation de dAlembert à trΔc2t2, G G l sécrit sous la forme générale :ftr.ceu. (euunitaire dans la directionOu). Lesfaursedsecsdnode lO.P.P.sont deslaàidaiulsreeprecidnalppsn l rectiondéfinieparlevecteureu. Si la fonctionf de type sinusoïdal, londe associée est dite estonpdenla progressiveharmonique (H.P.P.O.) ou onde plane progressivemnooochr matique(OP.P..M.).
d) Généralisation.  Nous admettrons quensolutiotoute de léquation de dAlembert est une superposition dondes planes progressives, dont les directions de propagationOucouvrent tout lespace.
nesvesiitduoncrofsapàtnemécenUpusopreitisondonnéedondeslpnaseporrgse uneonderésultante,niplane,niprogressive(contreexemple:lesondesstationnairesoulesondesguidées).2°) : Londe plane progressive harmonique (O.P.P.H.).  Les ondes étudiées représentent des phénomènes périodiques, de période temporelle T (ou pulsationωou fréquencef). En vertu du théorème de Fourier sur les fonctions T - périodiques, on peut décomposer londe en une série de fonctions sinusoïdales de pulsationsn.ω, avecnentier.
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l  En particulier, toute onde plane progressive se propageant suivant eu, peut sécrire : aanωtGcG+bnωtGcG⎞⎤ f(r,t)=0+n=1ncos⎣ ⎝r.eun=1nsinr.eu. . La fonction particulières(r,t)=S0cosωtrGeGudéfinit une onde plane c progressive sinusoïdale (ou harmonique, ou monochromatique), en abrégé, O.P.P.H.ou.M..P.PO Notons quon peut indifféremment utiliser unereprésentationisunesouinuscosnen, ou irplusloin):s S0expjωtrG.ceGumême laov(exelpmocnoiatntseréepr=. Longueur d onde :
‰ La longueur donde, notéeλduneO.P.P.H.est la distance parcourue par londe pendant une période du signal :=λc.T=c. On utilise aussi le nombre donde, notéσ, tel que :σ =1.
k:
‰ Vecteur donde : l l On appelle vecteur donde associé à uneO.P.P.H.se propageant suivanteu, le vecteur Gl k=ecGu=2πλeGu. (Le module dekest appelé nombre donde angulaire). 3°) Notation complexe d'une O.P.P.H. G On associe à une O.P.P.H.(Gr,t)la quantité complexe :f = fmexpj(k.r-ωt), les opérateurs différentiels se ramènent, en coordonnées cartésiennes, aux trans-formations algébriques suivantes : Xt - jωX,divXG  jkG.GX,rotGXjkG×X,ΔX- k2X
III : Recherche de solutions en ondes stationnaires. 1°) La méthode de séparation des variables.  On peut également rechercher des solutions de léquation des ondes par la méthode ditedeséparationdesvariables, en posant :s(x,t)=F(x).G(t). 2 2 2 on aboutit à :v d F=1d G  .  En injectant cette solution dans lE.D.P.,F(x)dx2G(t)dt2  Comme F ne dépend que de la variable x et G de la variable t, légalité précédente nest possi-d F d G ble que siv(2)22=1()22=CuntcoetanseesnCt. F x dx G t dt, ¾ Le casC0=ou>C0conduit à des solutions physiquement non acceptables (ou sans intérêt).
¾ Envisageons le cas<C0, en notant :C-=ω2.
2 G(t) est solution detdd2G2.G(t)=0: E.D.O. duniscolhurteainuqraom.e
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d2F+k=0, avec F(x) est solution ded22.F(x)k= x v
M6A : LÉQUATION DES ONDES.
. E.D.O. dunicsolueiqonrm.ahrueta
pace, constitue uneatitedsnoeirnaon, de la forme générale
s(x,t)=S0coskx+ ).cos(ωt+θ). Les constantes S ,θetψsobtiennent compte tenu des conditions aux limites imposées à s(x,t).
En général, seules certaines valeurs de k sont permises, la fonction F(x) devant satisfaire des conditions aux limites du milieu de propagation : les solu-tions correspondantes définissent lescimoedsrppoersdsolation milieu. du La solution générale du problème est obtenue parsotieppruseodmescdenio propres.
2°) Nuds et ventres de vibration. Il existe des positions xnparticulières telles que0=s(t)x,pour toute date t, vérifiant : kxn+ =(n+1).2π, avec n entier. Les lieux deitnobiarvsnujourtouleforment lessudnde londe stationnai-re.
La distance entre deux nuds consécutifs vaut :xn+1xn=2. A linverse, les points dontixamelamionestevibratiluteddlapmsont ap-peléstrenesvde vibration.
Ces ventres vérifient la relation :kxp+
=p.π, avec p entier.
cutifs vaut La distance entre deux ventres consé :xp+1xp=2.
La distance entre un noeud et le ventre plus proche est 4
s
λ/2
λ/2
λ/4
ventres
oeuds
3°) Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires.
x
gressives de même pulsation et de même amplitude se propageant en sens inver-se.
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