Équation des ondes ou équation de d'Alembert

Alain Robichon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
M6A : L'ÉQUATION DES ONDES. Page 1 / 5 L'ÉQUATION DES ONDES (OU ÉQUATION DE D'ALEMBERT). I : L'équation des ondes. 1°) Le cadre de l'étude. Soit f une fonction scalaire (ou vectorielle) de (ou de ) des variables d'espace et du temps, au moins de classe C2. 4 ?\ \ 34 ?\ \ On appelle équation de d'Alembert (ou équation des ondes) l'équation aux dérivées par- tielles du type : 2 2 2 1 0 f f c t ∂? ? =∂ , où ?f désigne le laplacien (scalaire ou vectoriel) de la fonction f. Cette équation est linéaire, donc une résolution en complexes sera envisageable, est invarian- te par symétrie d'espace et renversement du temps (du fait de la présence de dérivées se- condes seulement). La constante c, homogène à une vitesse, désigne la célérité de l'onde et est appelée vitesse de phase. 2°) Réduction à un problème unidirectionnel. a) Recherche d'une solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension. On suppose que la fonction f ne dépend que d'une variable d'espace, notée x et du temps t. L'équation des ondes s'écrit ici : 2 2 2 2 2 1 0 f f x c t ∂ ∂? =∂ ∂ .

• equation des ondes


• découplage des variables temps


• xr ef


• solution générale de l'équation


• méthode de séparation des variables


• propagation


• xj- ?∂ ∂ ?


• ?∂ ∂

Sujets

• Première
• Physique-chimie
• Propagation

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
• Nombre de lectures: 137
• Langue: Français

Extrait

M6A : LÉQUATION DES ONDES.

LÉQUATION DES ONDES (OU ÉQUATION DE DALEMBERT).

I Léquation des ondes. : 1°) Le cadre de létude.  Soitfune fonction scalaire (ou vectorielle) de\ 4 →\(ou de\ 4 →\ 3 ) des variables despace et du temps, au moins de classeC 2 .  On appelleauqénoitdedAlembert (ouéuqtaoinedssdeon) léquation aux dérivées par- 2 tielles du type : Δf− c 1 2 ∂ ∂ t 2 f =0 , oùΔfdésigne le laplacien (scalaire ou vectoriel) de la fonctionf.   Cette équation estlrieniaé, donc unerésolution en complexes sera envisageable, estiaarnvin- teparsymétriedespaceetrenversementdutemps fait de la présence de dérivées se- (du condes seulement).  La constantec,enègomohesstevieunà, désigne la célérité de londe et est appeléeetivess dephase.  2°) Réduction à un problème unidirectionnel. a) Recherche dune solution générale de léquation de dAlembert à une dimension. On suppose que la fonctionfne dépend que dune variable despace, notéexet du tempst. 2 2 Léquation des ondes sécrit ici : ∂ ∂x 2 f − c 1 2 ∂ ∂t 2 f =0 .  On cherche la solution générale de cette équation différentielles aux dérivées partielles en ef- fectuant le changement de variables : ⎧ ⎨ ⎩ t ⎨ → ⎧ ⎩ p q = = x x − +t ct c . ∂ ∂ ∂ ∂ = +  s  Alors ∂∂ ∂f p∂ p x∂ f q∂ q x , oit : ∂ ∂x f = ∂ ∂p f∂ ∂ + q f =g(p,q)  2  Et ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ = x g(p,q)= ∂ ∂p g∂ ∂ + q g  : soit ∂ ∂ 2 2 ∂ = ∂ 2 p 2 f +2 ∂ ∂p 2 ∂ f q ∂ + ∂ 2 q 2 f  x  De même, ∂ ∂t = ∂ ∂p f∂ ∂t p + ∂ ∂q f∂ ∂t q  : soit ∂ ∂t f =c.− ⎡ ∂ ∂ ⎣ ⎢ p f∂ + ∂q f ⎤ ⎦ = ⎥ h(p,q) ∂ ∂ ∂ ∂  ⎤  ∂ ∂ 2 t 2 ∂ = ∂ h t (p,q)=c. ⎡ ∂ ⎢ − ⎣ ∂ h p∂ ∂ + q h ⎦ ⎤ ⎥ . Doù : 2 t 2 =c 2 . ⎡ ⎢ 2 p 2 f −2 p 2 f q + 2 q 2 f ⎥ . ∂ ⎣ ⎢ ∂ ∂∂ ∂ ⎦ ⎥  Ainsi, léquation des ondes en variablesp, qsécrit sous la forme : ∂ ∂ p 2 ∂ f q =0  

 Par intégration, on obtient : ∂ ∂ p ⎜ ⎝ ∂ ⎛ ∂f q = ⎟ ⎞ ⎠ 0 ∂ ⇒ ⎜ ∂ ⎛ ⎝ f q ⎟ ⎞ ⎠ p =G(q) , (p,q)=G(q)dq soit : (x,t)=f 1 (x−ct)+f 2 (x+ct) .  Les fonctionsf 1 etf 2 sont arbitraires, au moins de classeC 2 (pour pouvoir appliquer le théorè- me de Schwartz).  Elles ne sont pas données par léquation des ondes elle même, maismreteéniédssparle conditionsauxlimites(tout comme les constantes dintégration dune équation différentielle).

Page 1 / 5

M6A : LÉQUATION DES ONDES.

b) Interprétation de la solution générale de léquation des ondes à une dimension.  On peut écrire la fonction quelconquef 2 (x + ct) sous la formef 2 (-[(-x)  ct)]), cest-à-dire sous la forme dune fonction dune fonction quelconque de la variable (-x)  ct. On voit donc ici que linterprétation de la fonctionf 2 (x + ct) est la même que celle de la fonctionf 1 (x - ct), à un chan- gement dorientation de laxe des x près.

Une fonction de la formef représente(x - ct) unedneoerplpnassivogreanptropeagsee sansdéformationàlacéléritécsuivantladirectiondelaxeOx,danslesensdesxcrois- sants.   Il est remarquable que la fonctionf(x, t)dune onde plane progressive ne dépende des deux va- riablesxettque par lintermédiaire de lunique variablex  ct.   Il est équivalent décrire la solution de léquation des ondes sous la forme : f(x,t)=f + (t−)+f − (t+ x ) . c c 

comme laeedxuodnsepalnesprogressivesdeêmemcéupspoertisidon léritécetdesensdepropagationopposés.  3°) Propagation dans un milieu à trois dimensions. a) Cas dun problème à symétrie sphérique.

 La fonctionf(Μ,t) cherchée ne dépend que du temps et de la distance r = OM.  Le laplacien s'écrit alors en coordonnées sphériques : Δf= r 1 2 ∂ ∂r ⎝ ⎛ ⎜ r 2 ∂ ∂r ⎠ ⎞ ⎟ .  On effectue le changement de variable :Φ= r.f = −  Alors : ∂f1∂Φ Φ  : Doù Δ f = r 1 2 ∂ ∂ r ⎢ ⎣ ⎡ r ∂ Φ∂ r ⎥ ⎦ ⎤ Φ− = 1 r ∂ ∂ 2 r 2 Φ  ∂r r∂r r 2 Φ  Ainsi léquation des ondes sécrit : r 1∂ ∂ 2 r 2 − Φ c 1 2 ∂ ∂t 2 2 Φ r =0, soit : ∂ ∂ 2 r 2 − Φ c 1 2 ∂ ∂ 2 t 2 =0 .  On reconnaît sous cette dernière forme léquation des ondes à une dimension étudiée précé- demment.

trie sphérique sécrit : f(r,t)= 1 r f + (t− c r )+ 1 r f − (t+ c r ) .

 sont  Comme il a été déjà vu, les fonctionsf + etf - arbitraires , déterminées par les conditions aux limites, représentant respectivement deux ondes sphériques divergente et convergente par rapport à lorigine O.  Contrairement aux onde planes qui se propagent sans déformation, les ondes sphériques saffaiblissent (comme 1/r) quand on séloigne du point source O.  b) Surfaces d'onde.

que(M,t) = Csteà t donné.  Ainsi, par exemple, pour l'onde sphérique précédente, les surfaces d'onde sont des sphères de centre O.

Page 2 / 5

M6A : LÉQUATION DES ONDES.

II : Recherche de solutions en ondes progressives. 1°) Cas dune propagation suivant une direction fixe. l  On désigne parOuune direction spatiale fixe définie par le vecteur unitaire e u , de cosinus di- recteurs (α,β,γ) :e G u = αe G x + βe G y + γe G z , avecα 2 + β 2 + γ 2 =1.  Un point M quelconque est repéré par son rayon vecteurr G =xe G x +ye G y +ze G z .  On noteu=e G u .r G = αx+ βy+ γz(u est labscisse de la projection H du point M sur laxeOu).

sions, décrit unelapdeongrropneseisev(.O.P.P) se propageant suivant la di- rectionOusi, à t donné, f(x,y,z,t)euddnqédepneu,evea u=e G u .r G . Les surfaces donde de londe plane sont lesOàualucserirppedienplsan. Inversement, si f(x,y,z,t) représente une onde se propageant dans la direction Ouet si, à t donné, f(x,y,z,t)reuanlapaslamêmeven tout point dun plan perpendiculaire àOu, cest que londe ainsi décritenesapalpntse.

  Léquation de dAlembert étant invariante par changement de base, on peut tout à fait choisir laxeOxpour la directionOu. Ainsi G G . :u=e x .r  La solution ainsi cherchée sous forme donde plane progressive est du type ⎛ ⎜ G G ⎞ . f ⎝ t− r.e x ⎟ ⎠ c l  Notons maintenant simplemente u le vecteur unitaire dans la directionOu,sans chercher à par- ticulariser laxe desx. Uneevseisgrropnelapdeon (.P.O.P) se propageant suivant la direction − 1 2 f =0 ois dimensions f Ou,solution de léquation de dAlembert à tr Δ c 2 ∂ ∂ t 2 , G G l sécrit sous la forme générale : f ⎝ ⎜ ⎛ t− r. c e u ⎟ ⎠ ⎞ . (e u unitaire dans la directionOu). Lesfaursedsecsdnode lO.P.P.sont deslaàidaiulsreeprecidnalppsn l rectiondéfinieparlevecteure u . Si la fonctionf de type sinusoïdal, londe associée est dite estonpdenla progressiveharmonique (H.P.P.O.) ou onde plane progressivemnooochr matique(OP.P..M.).

 d) Généralisation.  Nous admettrons quensolutiotoute de léquation de dAlembert est une superposition dondes planes progressives, dont les directions de propagationOucouvrent tout lespace.

nesvesiitduoncrofsapàtnemécenUpusopreitisondonnéedondeslpnaseporrgse uneonderésultante,niplane,niprogressive(contreexemple:lesondesstationnaires oulesondesguidées).  2°) : Londe plane progressive harmonique (O.P.P.H.).  Les ondes étudiées représentent des phénomènes périodiques, de période temporelle T (ou pulsationωou fréquencef).  En vertu du théorème de Fourier sur les fonctions T - périodiques, on peut décomposer londe en une série de fonctions sinusoïdales de pulsationsn.ω, avecnentier.

Page 3 / 5

M6A : LÉQUATION DES ONDES.

l  En particulier, toute onde plane progressive se propageant suivant e u , peut sécrire : a ∞ a ⎡ ⎢ n ⎛ ⎜ ωt− G c G ⎞ ⎤ ⎥ + ∞ b ⎡ ⎢ n ⎛ ωt− G c G ⎞⎤ f(r,t)= 0 + n ∑ =1 n cos ⎣ ⎝ r.e u ⎦ ⎠ ⎟ n ∑ =1 n sin ⎣ ⎝ ⎜ r.e u ⎦ ⎠ ⎥ ⎟ . . La fonction particulière s(r,t)=S 0 cos ⎣ ⎝ ⎡ ω ⎛ ⎜ ⎢ t− r G e G u ⎟ ⎠ ⎦ ⎞ ⎤ ⎥ définit une onde plane c progressive sinusoïdale (ou harmonique, ou monochromatique), en abrégé, O.P.P.H.ou.M..P.PO  Notons quon peut indifféremment utiliser unereprésentationisunesouinuscosnen, ou irplusloin): s S 0 exp ⎡ ⎢ jω ⎛ ⎜ t r G . c e G u ⎤ ⎞ ⎟ ⎥ même laov(exelpmocnoiatntseréepr ⎣⎦ ⎝⎠ =− .  Longueur d onde : 

‰  La longueur donde, notéeλduneO.P.P.H.est la distance parcourue par londe pendant une période du signal : =λc.T= c . On utilise aussi le nombre donde, notéσ, tel que : σ = 1 .

k:

 ‰  Vecteur donde : l l On appelle vecteur donde associé à uneO.P.P.H.se propageant suivante u , le vecteur G l k=e c G u = 2π λ e G u . (Le module dekest appelé nombre donde angulaire).  3°) Notation complexe d'une O.P.P.H. G On associe à une O.P.P.H.( G r,t)la quantité complexe : f = f m expj(k.r-ωt) , les opérateurs différentiels se ramènent, en coordonnées cartésiennes, aux trans- formations algébriques suivantes : ∂ X t  ↔- jωX , divX G  ↔ jk G . G X , rot G X↔jk G ×X , ΔX↔- k 2 X 

 III : Recherche de solutions en ondes stationnaires. 1°) La méthode de séparation des variables.  On peut également rechercher des solutions de léquation des ondes par la méthode ditede séparationdesvariables, en posant :s(x,t)=F(x).G(t). 2 2 2 on aboutit à : v d F = 1d G  .  En injectant cette solution dans lE.D.P., F(x)dx 2 G(t)dt 2  Comme F ne dépend que de la variable x et G de la variable t, légalité précédente nest possi- d F d G ble que si v ( 2 ) 2 2 = 1 () 2 2 =C oùuntcoetanseesnCt. F x dx G t dt ,  ¾ Le casC0=ou>C0conduit à des solutions physiquement non acceptables (ou sans intérêt).

¾ Envisageons le cas<C0, en notant :C-=ω 2 .



2 G(t) est solution de t d d 2 G +ω 2 .G(t)=0 : E.D.O. duniscolhurteainuqraom.e

Page 4 / 5









d 2 F +k=0 , avec F(x) est solution de d 2 2 .F(x)  k= x v

M6A : LÉQUATION DES ONDES.

. E.D.O. dunicsolueiqonrm.ahrueta

pace, constitue uneatitedsnoeirnaon, de la forme générale

s(x,t)=S 0 coskx+ ).cos ( ωt+θ ) . Les constantes S ,θetψsobtiennent compte tenu des conditions aux limites imposées à s(x,t).

En général, seules certaines valeurs de k sont permises, la fonction F(x) devant satisfaire des conditions aux limites du milieu de propagation : les solu- tions correspondantes définissent lescimoedsrppoersdsolation milieu. du La solution générale du problème est obtenue parsotieppruseodmescdenio propres.

 2°) Nuds et ventres de vibration. Il existe des positions x n particulières telles que0=s(t)x,pour toute date t, vérifiant : kx n + =(n+ 1 ). 2 π, avec n entier. Les lieux deitnobiarvsnujourtouleforment lessudnde londe stationnai- re.

  

La distance entre deux nuds consécutifs vaut : x n+1 −x n = 2 . A linverse, les points dontixamelamionestevibratiluteddlapmsont ap- peléstrenesvde vibration.



Ces ventres vérifient la relation : kx p +

=p.π , avec p entier.

cutifs vaut La distance entre deux ventres consé : x p+1 −x p = 2 .

La distance entre un noeud et le ventre plus proche est 4

s

λ/2

λ/2

λ/4

ventres

oeuds

 3°) Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires.



x

gressives de même pulsation et de même amplitude se propageant en sens inver- se.

Page 5 / 5