Equations dispersives non lineaires
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Niveau: Secondaire, Lycée
Equations dispersives non lineaires Anne de Bouard Cours a l'Ecole d'Ete de Mathematiques Institut Fourier, Grenoble 20 juin-8 juillet 2005 1 Introduction Le but de ce cours est de donner un aperc¸u de la theorie de base pour l'etude de certaines equations aux derivees partielles modelisant la propagation d'ondes dans des milieux faiblement non lineaires et dispersifs. Cette theorie s'est largement etoffee au cours des quinze dernieres annees, mais nous nous concentrerons sur les parties les plus classiques de la theorie qui per- mettent d'apprehender les developpement les plus recents en matiere d'etude de la dynamique de ces equations. Nous nous interesserons donc a des equations de la forme ∂tu = Lu+ f(u) ou u = u(t, x) est a valeurs reelles ou complexes (ou eventuellement a valeurs dans Rk), t ? R+ et x ? Rn; l'operateur L sera anti-adjoint, et typiquement defini a l'aide de la transformee de Fourier par L?u(?) = ip(?)u(?) ou p est une fonction a valeurs reelles; enfin, f est un terme non lineaire, pouvant eventuellement contenir des derivees (d'ordre peu eleve) de u. L'equation libre (lineaire) sera dite dispersive si les solutions, meme bien localisees en espace initialement, ont tendance a se disperser dans tout l'espace en temps grand.

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  • modele de propagation dans les fibres optiques

  • onde plane

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  • donne par le systeme de davey-stewartson

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Publié le 01 juillet 2005
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Langue Français

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Equations dispersives non lineaires Anne de Bouard Cours a l’Ecole d’Ete de Mathematiques Institut Fourier, Grenoble 20 juin-8 juillet 2005
1 Introduction Le but de ce cours est de donner un apercu de la theorie de base pour l’etude de certaines equationsauxderiveespartiellesmodelisantlapropagationdondesdansdesmilieuxfaiblement nonlineairesetdispersifs.Cettetheoriesestlargementeto eeaucoursdesquinzedernieres annees,maisnousnousconcentreronssurlespartieslesplusclassiquesdelatheoriequiper-mettentdapprehenderlesdeveloppementlesplusrecentsenmatieredetudedeladynamique de ces equations. Nousnousinteresseronsdoncadesequationsdelaforme tu=Lu+f(u) ouu=u(t, xemelleutneveuo(sansdurlevaantrseelruaave)tsexesomplsoucelleRk),tR+ etxRn;luroperateLdeemrofeedidaalnsraatel,tniytte-itnojdaetdi nqupienemseraa Fourier par c Lu() =ip()uˆ() oupenofseutlee;seln ne,tincaonlevasrurfiaerp,uoavtneevtuntermenonlinesetnemelleutn contenirdesderivees(dordrepeueleve)deuuatieq.Lisevditeerspsee)diranilriaeilno(erb silessolutions,mˆemebienlocaliseesenespaceinitialement,onttendanceasedisperserdans tout l’espace en temps grand. Pourdonnerunede nitionplusmathematique,onpeutdeterminerlarelationdedispersion delequationlineaire,obtenueencherchantdessolutionsparticulieressouslaformedondes planesei( .x ωt), ouRnleraeennoitidedettealer.Cineergrctiedam,quisespersion G(ω, nevuosenemares,=0)lefanodsauitsqeieurplusneoutauemroω=ω() (par c exemple siLu() =ip(u(), alorsω() = p(erspditesivesiresnoitaidsrolaa)).Lequ ω(detrte)seteisleeli2ωj60. Cecitraduitlefaitquelavitessedegroupedependvraimentdunombredonde,cesta direquedesmodesdeFourierdi erentsvoyagentadesvitessesdi erentes,etdoncqueles paquets d’ondes auront tendance a se disperser. Cettede nitionestrestrictiveetdemandequilyaitdesondesplanessolutions.Ellene prendpasencompte,parexemple,lecasouloperateurL tsest a coecien Il variables. est possible d’adapter la de nition a de tels cas (voir [75]).
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Atitredexemple,signalonsquelequationdesondes,t2u c22xu= 0, n’est pas dispersive puisqueω() =coidnuqtale;nordoin-GeKlet2u c22xu+u= 0 est aussi une equation hyperbolique, mais est quant a elle dispersive; en e et,ω() =1 +c22. Cependant, elle est peu dispersive puisque la vitesse de groupeω0(ryAideonitauqeL.eenrosteb)re tu+xu+3xuaons(vespdisiereanesiroitailsndseuqeuxexemplprincipaseutdnse0= iciω() =   3ondeuatiodiSchrgnrea,)qelcevi∂tuu= 0, pour laquelleω() =||2. Une des consequences mathematiques de la dispersion pour les equations lineaires est la presencede etsregularisantslocaux,cestadirequalinstantt >0, les solutions sont locale-mentenespaceplusregulieresquellesnelesontalinstantinitial(cese etsregularisantsne peuventpaseˆtreglobauxpuisque,pourcesequationslineaires,lesnormesdeSobolevsontcon-serveesaucoursdutemps,commeonlevoitfacilementenprenantlatransformeedeFourier; deplus,ellessonttoutesreversiblesentemps).Cese etsregularisantssontliesaladispersion: ilsnexistentpaspourlequationdesondesparexemple;pluslequationestdispersive,plus ces e ets seront importants. Pour les equations non lineaires, ce phenomene pourra se traduire par deux comportements tresdi erents:soitlanonlineariterenforceladispersionetalorslessolutionsontuncom-portementlineaire;enparticulier,ellestendentverszeroennormeL sujet, bien que. Ce tresactif,neserapasabordeici.Siparcontrenonlineariteetdispersionsecompensent,alors onobserveengeneraldessolutionslocaliseesquisepropagentsanschangementdeforme,de typeondesprogressivesouetatsstationnairesparfoisappelessolitons.Cestplutoˆtsurletude deladynamiquedescessolutionsquestaxelecours(quiserestreindraauxresultatslesplus elementaires). Ondonneci-apresquelquesexemplesmodelesdequationsdispersivesnonlineaires. Equations de type KdVsoallausonsquisesequatignenreemttneetcolaCe:deneernc forme tu+xM u+xf(u) = 0 ouxR,t >0,u(t, x) (ouu(t, x, xs.leelesrurlevatsae)Mtareponuicitsedruee itnerlei oupseudodi erentielacoecientsconstants,de nialaidedelatransformeedeFourierpar d M u() =q()uˆ(),qestmbolunsy.serrslleeaveeual weged-VenoedoKtrequatieleestllpmedomexeL)dV(Kesri tu+xu+x3u+x(u2) = 0, tR, xR, modele de propagation unidirectionnelle pour les ondes longues a la surface de l’eau, en faible profondeur. LequationdeBenjamin-Ono(B.O)  tu+xu+x2H(u) +x(u2) = 0, tR, xR, ouHest la transformee de Hilbert, i.e.Hf(x) = vpx1f, est egalement un modele de propagationdondeslongues,maisilsagitcettefoisdondesinternesdansdes uidesstrati es. mtseKadotviav-PeLqenoedauiteodbiletroudii-ivhsK(ilse)Pmnutentemsnoinnleq,iuit compte cette fois de faibles perturbations transverses, dont la longueur d’onde est de l’ordre
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ducarredelalongueurdondesdansladirectiondepropagation.Cetteequationsecriten dimension deux : x(tu+3xu+x(u2)) +y2u= 0, tR,(x, y)R2. Suivant le signe de on obtient KPI ( <0) ou KPII ( >0); le comportement des solutions deKPIesttresdi erentdeceluidessolutionsdeKPII. on-BMaa-nyhoitauednojneBnimaetndaovninrneaeeptaerdlmsdeoqeeldstepyKeVdsUe (BBM) ou Regularized Long Wave equation (RLW) [2] tu tx2u+x(u+u2) = 0, tR, xR. Mise sous la forme tu= (1 x2) 1x(u+u2), lequationfaitclairementapparaˆtreunefaibledispersion,puisquelexpressionω() = 1+2  montrequelavitessedegroupeestbornee.Enconsequence,lese etsregularisantssontpour cetteequationinexistants:toutelapartiesingulieredelasolutionestcontenuedansladonnee initiale . La plupart des modeles ci-dessus possedent une vitesse de groupe negative: c’est le cas deKdV,apreschangementderepere(ω0() = 32), Benjamin-Ono (ω0() = 2||), KPII (1ω() = 3 21 22/21) et BBM (ω0() =( 1+1+22)ueereirisfnojrustou,maitiveeganstesnpa a 1, qui est la valeur minimale de la vitesse pour les ondes solitaires de BBM) mais ce n’est pas le cas pour l’equation de KPI. Cette propriete implique que les (petites) ondes dispersives voyagentenregimelineaireverslagauche,tandisquelesondesnonlineaires,commeonva levoirplustard,voyagentversladroite.Cecientraineradoncundecouplageentrecesdeux types d’ondes dans la dynamique des solutions. Ce phenomene est d’une importance capitale pour l’etude de la stabilite asymptotique de ce type d’equations. Equations de type NLSxee:LcheSodrgeinonrnperaleuqtaoidnmpletypeestdonn lineaire i∂tu+ u+|u|2u= 0, ouuest une fonction a valeurs complexes,tR,xRn, et= equation1. Cette intervientenphysiquedesplasmas(cestalorsuncasparticulierdelequationdeZakharov), en optique non lineaire (par exemple comme modele de propagation dans les bres optiques) maisegalementdanslecontextedesondesdesurface,lorsquelaprofondeurestin nie.Lecas leplussouventrencontredanslesmodelesphysiquescorresponda= 1, mais ce n’est pas le seul.Enhydrodynamique,onrencontreegalementlequationendeuxdimensionsdanslaquelle loperateurestremplaceparloperateur2x y2. On n’a que tres peu de resultats qualitatifs rigoureuxdanscecas(enparticuliersurlexplosionentemps ni,etlesphenomenesdestabilite transverseauxquelsonsattend).Parcertainscˆotes,cetteequationestqualitativementproche du modele de KPII. esleontdepnleartsysemeaDed-yevStewartson(voir[12)]:nUuaexpmrtee i∂tu+ ∂x2u+y2u=|u|2u+bu∂xϕ 2xϕ+m∂y2ϕ=x(|u|2) 3