EXAMEN ANNEE

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
EXAMEN ANNEE 2011-2012 Licence Économie 1ère année 1re SESSION 1er SEMESTRE Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I Soit f WR2 ! R une fonction homogène de degré 5 définie sur R2. On connaît les deux dérivées partielles de f : f 0x.x; y/ D 6xy 3 f 0y.x; y/ D 9x 2y2 1) Pour > 0 et .x; y/ 2 R2, on a f 0x.x; y/ D 6.x/.y/ 3 D 46xy3 D 4f 0x.x; y/ f 0y.x; y/ D 9.x/ 2.y/2 D 49x2y2 D 4f 0y.x; y/ Les deux dérivées partielles sont donc homogènes de degré 4. 2) D'après la formule d'Euler, on a 5f .x; y/ D xf 0x.x; y/C yf 0 y.x; y/ D x 6xy 3 C y 9x2y2 D 15x2y3 D'où f .x; y/ D 3x2y3. 3) On vérifie facilement que f 0x.x; y/ D 6xy 3 et que f 0y.

  • licence d'économie

  • mathématiques appliquées

  • eléments de correction durée

  • maximum global

  • examen annee

  • extremums trouvés

  • méthode de lagrange


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EXAMEN ANNEE 2011-2012
re Licence Èconomie 1anne
Matire : Mathmatiques appliques – Èlments de correction
er 1 SEMESTRE
Dure : 2H
Exercice I 2 2 SoitfWR!Rune fonction homogÈne de degrÉ5dÉfinie surR. On connat les deux dÉrivÉes partielles def:
2 1)Pour > 0et.x; y/2R, on a
03 f .x;y/D6xy x
02 2 f .x;y/D9x y y
03 43 40 f .x;y/D6.x/.y/D 6xyD f .x;y/ x x 042 22 2 40 f .x;y/D9.x/ .y/D 9x yD f .x;y/ y y
Les deux dÉrivÉes partielles sont donc homogÈnes de degrÉ4. 2)D’aprÈs la formule d’Euler, on a 0 03 22 23 5f .x; y/Dxf .x;y/Cy/yf .x;Dx6xyCy9x yD15x y x y 2 3 D’oÙf .x; y/D3x y. 0302 2 3)On vÉrifie facilement quef .x;y/D6xyet quef .x;y/D9x y. x y Exercice II 3 Soitfla fonction dÉfinie parf .x/Dx12xC1. 1)Pour toutx2R, on a 0200 f .x/D3x12etf .x/D6x 2)La CNO donne 02 2 f .x/D03x12D0xD4xD 2ouxD C2 Les CSO donnent 00 f .2/D 12 < 0H)fadmet un maximum local enxD 2 00 f .C2/D C12 > 0H)fadmet un minimum local enxD C2
3)