EXAMEN ANNEE

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
EXAMEN ANNEE 2010-2011 Licence Economie 2e année 1re SESSION 3e SEMESTRE Matière : Mathématiques Appliquées - Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (20 min, 4 points) Soit .un/n la suite définie par u0 D 1 unC1 D un 2C un 8n 2 N 1) u1 D 1=3,u2 D 1=7. 2) u0 D 1 > 0. un > 0 H) ( un > 0 2C un > 0 H) unC1 D un 2C un > 0 Donc la suite est à termes positifs. 3) La suite est décroissante car unC1 un D 1 2C un 6 1 2 6 1 car un > 0 H) 2C un > 2 4) La suite .un/ est minorée (par 0) et décroissante donc elle converge. 5) On remarque que unC1 D f .un/ avec f .x/ D x2Cx une fonction continue. Comme .un/ est convergente sa limite vérifie l'équation D f ./. D'où D 2C ” .2C / D ” .1C / D 0 ” D 0 ou D 1 Comme la suite .un/ est à termes positifs on a forcément D limn un > 0.

• triangle de sommets


• xy2 dy


• mathématiques appliquées - éléments de correction durée


• examen annee


• intervalle ?1

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Extrait

re 1 SESSION

EXAMEN ANNEE 2010-2011

e Licence Economie 2anne

Matire : Mathmatiques Appliques - Èlments de correction

e 3 SEMESTRE

Dure : 2H

Exercice I(20 min, 4 points) Soit.u n / n la suite dÉfinie par u n u 0 D1 u nC1 D 8n2N 2Cu n 1) u 1 D1=3,u 2 D1=7. 2) u 0 D1>0. ( u n > 0 u n u n >0H))Hu nC1 D>0 2Cu n > 0 2Cu n Donc la suite est À termes positifs. 3) La suite est dÉcroissante car u nC1 1 1 D6 61caru n >0H)2Cu n >2 u n 2Cu n 2 4) La suite.u n /est minorÉe (par0) et dÉcroissante donc elle converge. x 5) On remarque queu nC1 Df .u n /avecf .x/Dune fonction continue. Comme.u n /est convergente 2Cx sa limite`vÉrifie l’Équation`Df .`/. D’oÙ ` `D ”`.2C`/D`”`.1C`/D0”`D0ou`D 1 2C` Comme la suite.u n /est À termes positifs on a forcÉment`Dlim n u n >0. Donc`D0. Exercice II(20 min, 4 points) On considÈre la sÉrie de terme gÉnÉral 1 u n D 8n2N .2nC1/.2nC3/ 1) On a 1 11 06u n 6D6 2 2 2n2n 4nn P P 1 Comme la sÉrie de Riemann 2 converge (˛D2 > 1), on en dÉduit la convergence deu n . n 2) On vÉrifie que   1 11 1.2nC3/.2nC1/ 12  DD Du n 2 2nC1 2nC3 2.2nC1/.2nC3/ 2.2nC1/.2nC3/