Exercice On désigne par et les points d

Exercice On désigne par et les points d'affixes respectives et a Faites une figure que vous compléterez tout au long de l'exercice Unité graphique cm b Ecrivez sous forme algébrique Que pouvez vous en déduire pour le triangle IAB c Calculez l'affixe du point image de par l'homothétie de centre A et de rapport d D est le barycentre du système Calculez son affixe e Démontrez que ABCD est un carré Déterminez et construisez l'ensemble des points du plan tels que

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Exercice 1 : 1) On désigne par , et les points d'affixes respectives , et . a) Faites une figure que vous compléterez tout au long de l'exercice (Unité graphique : 1 cm). b) Ecrivez sous forme algébrique . Que pouvez-vous en déduire pour le triangle IAB ? c) Calculez l'affixe du point , image de par l'homothétie de centre A et de rapport 2. d) D est le barycentre du système . Calculez son affixe . e) Démontrez que ABCD est un carré. 2) Déterminez et construisez l'ensemble des points du plan tels que : ! _ _ _! ! _ _! 3) On considère l'ensemble $ des points du plan tels que : ! _ _ _! %&' a) Prouvez que B appartient à $. b) Déterminez et construisez $. Correction : 1) a) b) $()*$($() $+(+$( $($( $($*($,*, -(- 1ère méthode : On obtient donc , ou .

  • rotation de centre et d'angle

  • axe des imaginaires purs

  • réunion de l'axe

  • barycentre

  • kj kk

  • affixe


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Exercice 1 : ŷ ˴ ŵ  Ŷ˩ 1) On désigne par˓,˔etles points d’affixes respecti˴ Ŷ˩, et. ves ŷ˴a) Faites une figure que vous compléterez tout au long de l’exercice (Unité graphique : 1 cm).     b) Ecrivez sous forme algébrique .     Que pouvez-vous en déduire pour le triangle IAB ? ˴ ˕c) Calculez l’affixepar l’homothétie de centre A et de rapport 2.du point, image de d) D est le barycentre du système˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵ. Calculez son affixe˴. e) Démontrez que ABCD est un carré. 2) Déterminez et construisez l’ensembledes pointsdu plan tels que : ŵ " " "" " !˓  ˔  ˕! !˓  ˕!Ŷ   3) On considère l’ensemble$des pointsdu plan tels que : " " " !˓  ˔  ˕!  Ÿ&Źa) Prouvez que B appartient à$. b) Déterminez et construisez$. Correction :1) a)
 $()*$( $+($( $($*( -(   b)   ˩ , ,  $() +$($( $* -  ère 1 méthode:/ ( ˴ ˩˴ ˴ ˴ ˴ ˥ ˴ ˴, On obtient donc˴ , ou  0 ˓est donc l’image de˔par la rotation de centreet d’angle. $ Le triangle IAB est donc rectangle et isocèle en. ème 2 méthode: ˴ ˴ 8   " "" " 1˔ ˓2 1˔˓2  S^Y6 7 S^Y˩ :Ŷ8;˴ ˴ Ŷ   ˓ ˴ ˴    <<  É˩É  ŵ˔ ˴ ˴   0 " " Ainsi,1˔ ˓2 :Ŷ8;et˓  ˔. Le triangle IAB est donc rectangle et isocèle en. $
c)˕est l’image depar l’homothétie de centre˓et de rapport 2, donc : > ˴ Ŷ˴ ˴ Ŷ ˴ ˴ Ŷ˴ ˴  ŵ  Ŷ˩  ŷ  Ŷ˩  ŵ  ź˩   d)˖est le barycentre de˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵ, qui existe carŵ  ŵ  ŵ  ŵ A Ŵ, donc : ŵ C ˴ ŵ C ˴ ŵ C ˴  ˴  Ź  Ÿ˩ŵ  ŵ  ŵ " " e)Il y a plusieurs façons de faire. En cours, je suis parti en montrant que˓˔  ˖˕, encalculant les affixes de ces deux vecteurs. On en déduit que ABCD est un parallélogramme. Voici une autre méthode pour montrer la même chose : " " Comme˕est l’image depar l’homothétie de centre˓et de rapport 2,˓˕  Ŷ˓;est donc le milieu de :˓˕;. ˖est le barycentre de˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵ, donc également le barycentre de le barycentre de  Ŷ ˔ ŵ. Ainsi, pour tout pointdu plan, " "" Ŷ  ˔  ˖" "" " En prenant  , on obtient :˔  ˖, soit˔  ˖.est le milieu de:˔˖;. Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu ; ABCD est donc un parallélogramme. D’après ce qui précède,˓  ˔, donc˔˖  ˓˕(car˔˖  Ŷ˔et˓˕  Ŷ˓). ABCD est donc un rectangle. De plus, d’après 1) b), les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires ; ABCD est donc un losange. Par conséquent, ABCD est un carré.   " " "" "" " ˕! > !˖! !Ŷ!car˖est le barycentre de 2) D > !˓  ˔  ˕! !˓   $ $ ˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵetest la milieu de:˓˕;. >  D ˖  est la médiatrice du segment:˖;. 3) a) Remplaçonspar˔. " " "" " "" !˓  ˔  ˕!  !˔˓  ˔˔  ˔˕!  !˔˖!, car ABCD est un parallélogramme. " É˴ É  ÉŹ  Ÿ˩  ŷÉ  ÉE  Ÿ˩É EŴ  ŸŹ Or,!˔˖! ˴& &. Le point˔  appartientbien à l’ensemble$. " " "" > b) D $!˓  ˔  ˕!  Ÿ&Ź > !˖!  Ÿ&Ź$est le cercle de centre D et de rayonŸ&Ź, autrement dit le cercle de centre D, passant par B.
Exercice 5 : (BAC) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal˛"˯˰Ȏ(unité graphique : 3 cm). On désigne par A le point d’affixe˩. A tout point M du plan, distinct de A, d’affixe˴, on associe le point M’ d’affixe˴Ȋdéfinie par : $ ˴ J ˴ ˩  ˴ 1) Déterminer les points M confondus avec leur image M’. J J 2) On pose˴  ˲  ˩˳et˴ ˲ ˩˳Ȋavec˲,˳,˲Ȋet˳Ȋréels. a) Démontrez que $ $ ˲˲ ˳ Ŷ˳ J ˲ $ $ ˲ ŵ  ˳ b) Déduisez-en l’ensembleEdes points M dont l’image M’ est située sur l’axe des imaginaires purs. Dessinez l’ensembleE. Correction :1) M est confondu avec son image M’ ssi˴Ȋ  ˴. , J $$ Or ˴˩  ˴  Ŵ ˥ˮ ˴ A ˩ ˴˩  ˴ ˥ˮ ˴ A ˩ > ˴ ˴ ˥ˮ ˴ A ˩ > ˴˴ >˴ ( ˩ J ˴ ˴ > ˴Ŷ˴  ˩  Ŵ ˥ˮ ˴ A ˩ > ˴  Ŵ N˯ ˴ Ŷ ( Les points cherchés sont les points d’affixe 0 et. $ 2) a) $ $$ $$ $ ˴ ˲ ˩˳˲ Ŷ˩˲˳  ˳˲ Ŷ˩˲˳  ˳:˲  ˩ŵ  ˳; J ˴  $ $ ˩  ˴˩  ˲  ˩˳˲  ˩ŵ  ˳˲ ŵ  ˳ $ $$O $$ ˲˲ ˳  Ŷ˲˳ŵ  ˳  ˩:Ŷ˲ ˲ ˳ŵ  ˳; J ˴ $ $ ˲ ŵ  ˳ J J Avec˴ ˩˳Ȋ˲ , on obtient : $ $$ $ ˲˲ ˳  Ŷ˲˳ŵ  ˳˲˲ ˳ Ŷ˳ J ˲ $ $$ $ ˲ ŵ  ˳˲ ŵ  ˳ J J$ $ b) ˳ Ŷ˳ ˥ˮ ˲ ˳ A Ŵ ŵ D ˗ > ˴ŵ > ˲˲˳ A Ŵ Ŵ ˥ˮ ˲D ˩ț ˥ˮ ˴ A ˩ > ˲$ $  D ˗ > ˲  ŴN˯ ˲ ˳ Ŷ˳  Ŵ ˥ˮ ˲ ˳ A Ŵ ŵL’ensemble des pointsd’affixe˴  ˲  ˩˳tels que˲  Ŵest l’axe des imaginaires. $ $$ $$ $ Pour tous réels˲et˳, ŵ ˳  ŵ ŵ  Ŵ > ˲ ˳  ŵŶ˳  Ŵ > ˲˳ ˲ . $ $ L’ensemble des pointsd’affixe˴  ˲  ˩˳tels que˲ ˳ Ŷ˳  Ŵest le cercle de centre A et de rayon 1. L’ensemble cherché est donc la réunion de l’axe des imaginaires et du cercle de centre A et de rayon 1, privée du point A.