Fonctions de plusieurs variables
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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 2 Fonctions de plusieurs variables Introduction Le calcul differentiel dans l'etude des fonctions x 7? f(x) de la variable reelle x, a pour objectif essentiel de preciser, soit sur la forme explicite de f , soit dans une definition implicite de f , solution d'une equation differentielle par exemple, le comportement local ou global de f . C'est a dire, domaine de definition, mo- notomie eventuelle, comportement aux bornes du domaine de definition, et (ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu'en un extremum (local) x0, on a la condition (reciproque fausse !) f ?(x0) = 0 Fig. 2.1 – Graphe d'une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux 37

  • fondamentale dite de cauchy-schwarz

  • moyen des coordonnees polaires

  • coordonnees polaires

  • exprimee au moyen des coordonnees polaires

  • axe vertical

  • position du point dans le plan

  • equation de mouvement


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Langue Français

Exrait

Chapitre 2
Fonctions de plusieurs variables
Introduction Lecalculdie´rentieldansl´etudedesfonctionsx7→f(xde)abrivalallee´rele xseestneiboejtcfiiser,soildepr´eceemrilpxrustofaltecideruopa,f, soit dans unede´nitionimplicitedefxleurteile,mspo,noitauqe´enudnopaleeltiener´di le comportement local ou global defn,ioitn-mori,eodamnidedee´.Cest`ad notomiee´ventuelle,comportementauxbornesdudomainedede´nition,et(ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu’en un extremum (local)x0, on a la condition(r´eciproquefausse!)
f0(x0) = 0
Fig.2.1 – Graphe d’une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux
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38 DE PLUSIEURS VARIABLES FONCTIONSCHAPITRE 2. Onsouhaitee´tendreceprincipeauxfonctionsdeplusieursvariables(Fig.2.1). Laraisonestquedanslagrandemajorite´dessituationsrencontr´ees,enMathe´-matiquesetdanssesapplications,Physique,Biologie,etc.,lessyste`mesdont one´tudielecomportementdynamique,de´pendentnonpasdunevariablex (souvent le tempstmais de plusieurs variables, par exemple temps et coor-), donn´eesdespace.Lecastypiqueestdonn´eparunpointduplan(resp.espace) M= (x, y), (resp.M= (x, y, z)dontlaisopnoitrrapoppaaurtysnsemt`e das´`alavanced´ependdedeux(resp.trois)param`etres=coordonn´ees. xe xe Noterquunpointduplanpeuteˆtrerep´ere´aumoyendescoordonn´eespolaires, etsphe´riquespourunpointdelespace.Enm´ecaniquerelativiste,unpointde lespacetempsestde´critparquatrecoordonn´ees,troisdespace(x, y, z) et une de tempstloes.Limenexpr´en´tengalhpsiedeussyqiquecsantendieralnisereat quantite´s,d´ependantesdelapositiondupointdansleplanoulespace,sontdes invariantsdumouvement.Laphysiquespe´cielesloisdumouvement. LeprincipedemoindreactiondeEuler-Lagrange(Chapitre3)conduit`ades questionsdextremummaispourdesfonctionsdeplusieursvariables,etmeˆme duneinnit´edevariables.Siparexemplel’actionalracnofnnodpee´stetion f(x, y),l’energiele long d’une trajectoiret7→x(t)Rest alors t2 J=Zf(x(t), x0(t))dt t1 Le´quationdumouvementoudEuler-Lagrangeestcommenousleverronsl´tion equa auxd´eriv´eespartiellesquicorrespond`alaminimisationdeJ ∂f d ∂f ∂x dt∂y= 0 Ceciseg´en´eralisea`dessyste`mesme´caniquesenne´nnodroapsedseeccoL.se de´rive´espartiellespeuventeˆtreite´r´ees,donnantunsensa`l´equationΔf0=o,`u Δrepre´sentelope´rateurdeLaplace: Δ = (x)2+ (y)2.´eLatqunΔio(f) = 0 estle´quationdeLaplace.L´equationenencadr´eestdite´equationdeKorteweg-de Vries”. Un calcul montre que la fonction suivante est solution u(t, x)=12(hx1t2a)2 c 2.1 Quelques notions metriques Rappelons que l’espace euclidienR2est implicitement muni de ladistance euclidienne d(M1, M2) =p(x2x1)2+ (y2y1)2 −−→ Letermededroiterepre´sentelanormedu vecteurM1M2,uqouenecs´rorins −−→ kM1M2kneidilcueecapsentlleme´erag´enlpsurereis´dcanonO.aruaRn, de dimensionn. Un point deRn´nnoseesescoord´er´eparsertpeM= (x1,∙ ∙ ∙, xn) (one´crirasouventx= (x1,∙ ∙ ∙, xn). La distance euclidienne est : vn d(M1, M2) =utiX(x2,ix1,i)2 =1
2.1. QUELQUES NOTIONS METRIQUES39 Sin= 3, on utilisera souvent (x, y, z) au lieu de (x1, x2, x3). On sait que en toute dimensionnngiatr´ereaiulila`tiatilage´nstanteditisfcesacte d(M1, M3)d(M1, M2) +d(M2, M3) demani`eree´quivalentepourdeuxvecteurs−→u ,v,ku+−→vk ≤ k−uk+k−vk. Parall`element`aline´galite´triangulaire,onretiendraauniveauvectoriella d´enitionduproduit scalairede deux vecteursx, yRn: hx, yi=x1y1+∙ ∙ ∙+xnyn de sorte quekxk=phx, xiiadtlei´ngelati´eage´´tilirteugnairla´eedulconfeeLin. fondamentale dite deCauchy-Schwarz:re,C.Spourabr´eg |hx, yi| ≤ kxk kyk Dansleplancetteine´galit´ede´couledelaformule [ hx, yi=kxkkykcos (x, y) Remarque.eseluxdeucear´arbmemser.SestlasreuvedeCnoe´`lveiuavtn:eepUn etonfaitladi´erence,onserame`nea`prouverque n n n (Xx2i)(Xyi2)(Xxiyi)20 i=1i=1i=1 Siond´eveloppeavecunpeudesoinlescarre´s,ilrestepourletermedegauche: Xxi2yj2Xxixjyiyj=X(xiyjxjyi)2 i6=j i6=j i<j expressionpositiveounulle.Onobserveraquele´galit´e(dansline´galite´)´equivaut`ay estproportionnela`xlati´nge.SnEe´.Cileetleiiudt´ddeeresulaiiang´etralitge´niL. sutdeleveraucarre´lesdeuxmembres,etdeprouverque ´ kx+yk2(|xk+kyk)20 End´eveloppantcetteexpression,onvoitfacilementquellesere´duit`a(hx, yi)− kxkkyk qui est bien0. La terminologie suivante est classique et intuitivement correcte. On appelle boule ouverte(resp.ee´mref) de centreaRnet rayonr >0, l’ensemble B(a, r) ={xRn,kxak< r}(resp.r) Desquonalanotiondeboule,onpeutd´enirlaconvergenceconvenablement: De´nition2.1.1.Une suite{xn}n=1,2...de points deRnconverge versxsi pour tout bouleB(x, r) de centrex, il existeN=N(r) tel que les pointsxn, nNsont contenus dansB(x, r). On peut montrer quexnxsiciahnestlumeteeseedeonn´oordquecxn convergeverslacoordonn´eecorrespondantedex. Par exemple (n1,1q1 +n12) converge vers (0,0).
40CHAPITRE 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES De´nition2.1.2.Une partieURnest diteouvertesi pour toutaU, il existe unr >0 tel queB(a, r)Uset.Leceme´lpmoderiatntiarepunteeruveo ditefeere´m. Decetted´enitionilnestpasclairquelabouleouverteestouverte! Lemme 2.1.3.B(a, r)est ouverte. D´emonstration instructif de faire un dessin. Si: C’estbB(a, r), alorsρ:= d(b, a)< ret on va montrer queB(b, rρ)B(a, r). SoitcB(b, rρ). Alors d(c, b)< rρonc,parlin´egalD.na,oe´tiairtlugneriad(c, a)d(c, b) +d(b, a)< rρ+ρ=rce qui signifie quecB(a, r). Attention,unepartiepeutˆetreniouverte,niferme´e(exempledansR, l’in-tervalle semi-ouvert [0,uoseL.[1nerstrevesr´ntcocolensdarenorussevtnstuo desdomainesded´enition;ilsserontd´ecritsparunnombrenidin´egalit´es polynˆomialesstrictes.Ladjectifferme´estjusti´eparlapropri´ete´suivante: Proposition 2.1.4.Une partieFRn´ee,sietestfermstpiuoreslumene toute suite(xn), xnFqui est convergente, alorslimxnF. D´emonstration: SupposonsFte(esuiitune.Somre´efxk) de points deFtelle quexkx, soitkxkxk →0. Six6∈F, doncxU=RnF, alors comme Uest ouvert, il existe une boule (ouverte)Bde centrexet rayonr >0, telle queBU. Mais pourk0, on sait quexkB, donc en contradiction avec le fait quexkF. Danslesensoppos´e,sionalaproprie´te´indique´esurlessuites,ilsagitde voir queU=RnFpartie ouverte. Dans le cas contraire, il y a un point,est une disonsxUtel que pour toutr >0, la boule ouverteB(x, r) n’est pas contenue dansU. Sir=k1(pour toutk), on peut donc trouver un pointxkB(x,k1)F. Il est clair quexkx6∈Fdiction.necontracnro`euaai`mneeequ, Pourxerleside´esond´ebutepardeuxvariables(x, y), ´ ´ nter censees represe un point du planR2. Une fonction des deux variablesx, yn,toe´(ex, y)7→u= f(x, y), associe donc a un pointM= (x, yalacsnunalpud)l)eer´e(iru;f´edrcti laproce´duredefabricationdeu. Exemple 2.1.5. u= sin(xy), u=p1x2y2, u=x2y2 Une fonction a naturellement unomdd´deneainoitine(DouU), un ouvert (pard´enition)endehorsduquelellenapasdesens.Parexemplef(x, y) = p1x2y2tinionapuodrmoiaened´derult´inieerDedsiduueuq´tinD= {(x, y)/ x2+y2<1}esplemexrdoutponedeniamoitine´donL.seedxuuartse R2. Larepre´sentationgraphiquedunefonctiondedeuxvariablesestdoncen3-dimensions !, en fait dans l’espaceR3nnodrooced(es´ex, y, u) ; on choisira pour axe desuPar exemple le graphe de la fonctionl’axe vertical. u=p1x2y2 estlhemisph`ereNord,i.e.lespoints(x, y, utasiuqsia`oftn)x2+y2+u2= 1 et u >0. Ilestimportantdenoterquonsereservelapossibilit´edechangerlesva-riablestudion´eestilaqueredanutedalitnonsadelpmexeraP.ee´enlancfoce,
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