Grand angle :proposition de solutions

Perrin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Grand angle :proposition de solutions 1ère solution : Géométrie et trigonométrie dans l'espace • ( ) ( ) et ( ) ( )BD AC DH AC? ? : (AC) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDH) donc (AC) est orthogonale au plan (BDH). Or I, centre du carré ABCD, est le milieu de [BD] et de [AC]. Donc I appartient au plan (BDH) et à la droite (AC). Par conséquent le plan (BDH) est le plan médiateur du segment [AC]. Comme M est un point de la diagonale [BH] , M appartient au plan (BDH) et M est équidistant des points A et C. Donc le triangle AMC est isocèle en M • Par conséquent n n 2 2 AMC MCA π= ? nAMC est maximum si et seulement si est minimum. nMCA Or n 0 ; 2 MCA π? ???? ?? donc nMCA est minimum si et seulement si tannMCA est minimum car la fonction tangente est strictement croissante sur 0 ; 2 π? ?? ?? ? . Or, dans le triangle IMC rectangle en I, ntan IMMCA IC = . Comme 1 2 IC AC= , IC est une longueur constante tan est minimum si et seulement si nMCA IM est minimale.

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• théorème de pythagore dans le triangle bdh


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Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
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• Langue: Français

Extrait

Grand angle:proposition de solutions

ère 1 solution: Géométrie et trigonométrie dans l’espace • (BD)⊥(AC) et (DH)⊥(AC) : (AC) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDH) donc (AC) est orthogonale au plan (BDH). OrI, centre du carréABCD, est le milieu de [BD] et de [AC]. DoncI appartient au plan (BDH) et à la droite (AC). Par conséquent le plan (BDHsegment [) est le plan médiateur duAC]. CommeMest un point de la diagonale [BH] ,Mappartient au plan (BDH) etMest équidistant des points AetC.Donc le triangle AMC est isocèle en M π n AMC n = − • Parconséquent MCA 2 2 n AMC est maximum si et seulement si MCA est minimum. ⎤ π ⎡ n Or MCA∈0 ; donc MCA est minimum si et ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣ seulement si tanMCAest minimum car la fonction ⎤ π ⎡ tangente est strictement croissante sur 0 ; . ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣ IM n Or, dans le triangle IMC rectangle en I, tanMCA= . IC 1 Comme IC=AC , IC est une longueur constante 2 n tan MCA est minimum si et seulement siIMest minimale. IMest minimale ⇔ Mest le projeté orthogonal deIsur [BH]

n • de Calcul AMC BDHetBIMsont deux triangles semblables car ils ont deux angles égaux BI IM Donc leurs côtés sont proportionnels et on obtient : = BH DH a2 Or [BD] est la diagonale d’un carré de côtéadonc BD=a2 etBI= 2