I Fonctions affines II Fonction carré

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Fonctions de référence Table desmatières I Fonctions affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Fonction carré : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II.2 Équation x2 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.3 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • ∆y ∆x

  • équation x2

  • courbe représentative

  • abscisses des points d'intersection de la droite parallèle

  • axe des ordonnées

  • axe des abscisses

  • axe des abscisses et passant par le point de coordonnées

  • droite parallèle


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I Fonctionsaffines: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Fonctioncarré: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.1 Définitionetpropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2II.2 Équationx =a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2II.4 Équationx =ax+b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III Fonctioninverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.1 Définitionetpropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 1
III.2 Inéquation >− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
x 2
IV Fonctioncube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.3 Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V Fonctionracinecarrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V.3 Courbereprésentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I Fonctionsaffines:
Définition
Soientm etp deuxréels.Lafonction f,définiesurRpar: f(x)=mx+p estunefonctionaffine.
m estlecoefficientdirecteuretp l’ordonnéeàl’origine.
La représentationgraphique d’une fonction affine est une droite, passant par le point de coordonnées
(0; b).
Variations:
Soit f unefonctionaffinedéfiniepar: f(x)=mx+p.
f estcroissantesi,etseulementsi,m>0. f estconstantesi,etseulementsi,m=0.
f estdécroissantesi,etseulementsi,m<0.
Démonstration:
Soientdeuxnombresquelconquesx etx ,avecx <x .1 2 1 2
f(x )−f(x )=m(x −x ).Commex −x estpositif, f(x )−f(x )estpositifsim>0(f estalorscroissante),2 1 2 1 2 1 2 1
constantsim=0etnégatif(donc f décroissante)sim<0.
1Caractérisation:
Théorème
f estunefonctionaffinesi,etseulementsi,l’accroissementΔy del’imageestproportionnelàl’accrois-
sementΔx delavariable.
Δy f(x )−f(x )2 1
Autrementdit,x etx étantdeuxréelsdistincts, = =m.1 2
Δx x −x2 1
Démonstration:
f(x )−f(x )2 1
Si f estunefonctionaffine, =m.
x −x2 1
Réciproque:
f(x )−f(x )2 1
Soit f unefonctiontelleque,pourtousx etx , =m.1 2
x −x2 1
f(x)−f(0)
Alors,enparticulier,pourx et0,ona: =m d’où,enposant f(0)=b, f(x)=mx+p.
x
Δy
Interprétationgraphiquedem :m= doncΔ =mΔ .y x
Δx
Sil’onprendΔ =1,onaΔ =m.x y
Autrementdit:sil’onsedéplacede1unitéparallèlementàl’axedesabscisses,onsedéplaceenmêmetemps
dem parallèlementàl’axedesordonnées.
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3
Δ =my
2
1
Δ =1x
−1 1 2 3
−1
−2
−3
Remarque: sil’on se déplace dek unitésparallèlementà l’axe des abscisses, on se délace dansle même
tempsdekm unitésparallèlementàl’axedesordonnées.
Page2/10II Fonctioncarré:
II.1 Définitionetpropriétés
Définition
2Lafonctioncarréestlafonctiondéfiniesurl’ensembleRpar: f(x)=x .
Définition
Unefonction f estpairesi:
• sonensemblededéfinitionestsymétriqueparrapportàl’origine.
• pourtoutx, f(−x)= f(x).
Alors,lacourbeC représentativede f estsymétriqueparrapportàl’axedesordonnées.f
Propriété
Lafonctioncarréestpaire.
2 2Démonstration:pourtoutx, f(−x)=(−x) =x = f(x).
Sensdevariation:
Propriété
Lafonctioncarréestdécroissantesur]−∞;0]etcroissantesur[0;+∞[.
Tableaudevariation:
x −∞ 0 +∞
@
f(x) @
R@
0
Courbe:
Commelafonctionestpaire,ontraced’abordlacourbesur]−∞; 0],puisoncomplèteparsymétrieparrap-
portàl’axedesordonnées.
Lacourbereprésentativedelafonctioncarréestappeléeuneparabole.
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O
−3 −2 −1 1 2
−1
2II.2 Équationx =a
2Résoudrel’équationx =a revientàtrouverlesabscissesdespointsd’intersectiondeladroiteparallèleà
l’axedesabscissesetpassantparlepointdecoordonnées(0; a)aveclaparabolereprésentativedel’équation
2x =a.
Propriété
2• Si a< 0, l’équation x = a n’a pas de
solution
2• Sia=0,l’équationx =a apourseule
solution0
2• Sia>0,l’équationx =a adeuxsolu-
p p
tions,− a et a.
Illustrationgraphique:
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y=a(a>0)
3
2
1
p p
− a a
−3 −2 −1 1 2
y=a(a<0)
−1
−2
Démonstrationalgébrique:
2 2• Sia<0,x =a n’aaucunesolution,puisquex ?0.
p p p p p22 2 2• Sia?0,x =a⇔x −a=0⇔x − a =0⇔(x+ a)(x− a)=0quiabienoursolutions− a et a.
II.3 Inéquations
2Exemple1:résoudrel’inéquationx ?7Ontracedansunrepèrelaparabolereprésentativedelafonction
carréetladroiteparallèleàl’axe(Ox)etd’ordonnéeàl’origine7.
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−3 −2 −1 1 2
−1
2Les solutions de l’inéquation x ? 7 sont les abscisses des points de la partie de la courbe tracée en rouge,
dontlesordonnéessontinférieuresouégalesà7. p p
Lespointd’intersectiondeladroiteetdelaparaboleontpourabscisses− 7et 7.
Page5/10p p
Onendéduit: S =[− 7; 7] .
2Exemple2:résoudrel’inéquationx >3Ontracedansunrepèrelaparabollereprésentativedelafonction
carréetladroiteparallèleàl’axe(Ox)etd’ordonnéeàl’origine3.
7
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−1
2Les solutions de l’inéquation x ? 7 sont les abscisses des points de la partie de la courbe tracée en rouge,
dontlesordonnéessontstrictementsupérieuresà3. p p
Lespointd’intersectiondeladroiteetdelaparaboleontpourabscisses− 3et 3.
p p
Onendéduit: S =]−∞; 3]∪] 3;+∞[ .
2II.4 Équationx =ax+b
2Exemple:résoudregraphiquementl’équationx =2x+3
Onpeutvoircetteéquationcomme f(x)=g(x)où f etg sontdeuxfonctions.
On trace alors les représentations graphiques de ces deux fonctions dans le même repère et on regarde les
abscissesdepointsd’intersection.
B9
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A
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−1
Ontrouvequel’équationadeuxsolutionsx etx ,quivalentapproximativement-1et31 2
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bbIII Fonctioninverse
III.1 Définitionetpropriétés
Définition
1∗Onappellefonctioninverselafonction f définiesurR par: f :x7! .
x
µ ¶
1 1 1
Exemples: f(3)= ; f =2; f(−5)=− .
3 2 5
Définition
UnefonctiondéfiniesurunensembleD estimpairesi:
– L’ensembleD estsymétriqueparrapportàl’origine.
– Pourtoutx deD, f(−x)=−f(x).
LacourbeC représentativede f estalorssymétriqueparrapportàl’origine.f
Propriété
1
Lafonctioninverse f :x7! estimpaire.
x
Démonstration:
1 1∗R estsymétriqueparrapportà0etpourtoutx, f(−x)= =− =−f(x).
−x x
Page7/10Propriété(sensdevariation)
1
Lafonctioninverse f :x7! estdécroissantesur]∞;0[etsur]0;+∞[.
x
Tableaudevariation:
x −∞ 0 +∞
@ @
f(x) @ @
R@ R@
Représentationgraphique:
Lafonctionétantimpaire,onnelatracequesur]0.+∞[etoncomplèteparsymétrieparrapportàl’origine.
Lesdeuxaxessontdes«asymptotes»àlacourbe,c’est-à-direquelacourbeserapprochedeplusenplusprès
decesaxes.Lacourbereprésentativedelafonctioninverseestappeléehyperbole.
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O
−3 −2 −1 1 2
−1
−2
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−4
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−7
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III.2 Inéquation >−
x 2
1 1Ontracel’hyperbolereprésentativedelafonction Onveut >− ;oncherchelespointsdel’hyperbole
x 2inverseetladroiteparallèleàl’axe(Ox),d’ordonnées 11 quiontuneordonnéesupérieureà− .
àl’origine− . 22 1 1
Or, =− pourx=−2.
x 2
4 Ontrouve S =]−∞; 2]∪]0;+∞[
3
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0
−4 −3 −2 −1 1 2 3
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−3
IV Fonctioncube
IV.1 Définition
Définition
3Onappellefonctioncubelafonction f définiepar: f(x)=x
IV.2 Variations
Propriété
LafonctioncubeestcroissantesurR.
Tableaudevariation
x −∞ +∞

f(x)
3=x
IV.3 Courbe
3 3Onremarquelafonctionestimpaire,puisquepourtoutx, f(−x)=(−x) =−x =−f(x).
Onendéduitquelacourbeestsymétriqueparrapportàl’origineO.
Tableaudevaleurs:
1
x 0 =0,5 1 2
2
13f(x)=x 0 =0,125 1 8
8
Page9/10Courbe : on trace d’abord la partie correspondant à x?0, puis on complète la courbe par symétrie par
rapportàO.
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−2 −1 1 2
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−2
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−7
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V Fonctionracinecarrée
V.1 Définition
Définition
p
Lafonctionracinecarréeestlafonction f,définiesur[0;+∞[par: f(x)= x
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