I Notion de tangente une courbe I Tangente un cercle I Sécante une parabole I Tangente une parabole I Comparaison entre tangente et autres droites I Tangente une hyperbole

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Nombre dérivé Table desmatières I Notion de tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Sécante à une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Tangente à une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.4 Comparaison entre tangente et autres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.5 Tangente à une hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• courbe


• xb ?xa


• figure précédente


• sécante


• tangente


• axe des abscisses


• coefficient directeur

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Courbe
• Sécante
• Tangente
• Pente (mathématiques)

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

Nombredérivé
Tabledesmatières
I Notiondetangenteàunecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Tangenteàuncercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Sécanteàuneparabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Tangenteàuneparabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.4 Comparaisonentretangenteetautresdroites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.5 Tangenteàunehyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Tangenteàunecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Nombredérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.1 Coefficientdirecteurd’unedroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Nombresdérivéespourlesfonctionsderéférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.1 Fonctionaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.2 Fonctioncarré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.3 Pourlesfonctionsderéférence: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Signedunombredérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.1 Conjectureaveclafonctioncarré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.2 Conjectureavecunefonctionquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Notiondetangenteàunecourbe
I.1 Tangenteàuncercle
c A
O
Rappel:latangenteàuncercleenAestunedroitepassantparAetcepointAestleseulpointd’intersection
entreladroiteetlecercle.
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bbI.2 Sécanteàuneparabole
11
10
9
8
7
6
A5
4
3
2
1B
0−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3 Sécanteàuneparabole
−4
−5
−6
I.3 Tangenteàuneparabole
8
6
A
4
2
B
0−4 −2 2 4 6
Sécante en rouge; Tangente−2
envert
−4
I.4 Comparaisonentretangenteetautresdroites
Surlafigureprécédente,latangenteenAàlaparaboleestenvert;ellenetouchelaparabolequ’enA;elle
estplus« proche»delaparabolequelesautresdroitespassantparA.
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bbbbbbI.5 Tangenteàunehyperbole
4
3
A
2
1
−3 −2 −1 1 2
−1
−2
−3
−4
−5
Page3/7
bII Tangenteàunecourbe
Définition
SoientC lacourbereprésentatived’unefonctionetunpointAdecettecourbe.
Onadmetl’existenced’unedroiteT,qui,parmitouteslesdroitesquipassentparA,estcellequis’éloigne
lemoinsdelacourbeC auvoisinagedupointA.
CettedroiteestappeléetangenteàlacourbeC enA.
4
Tangenteàunecourbe
2
−4 −2 2 4 6
−2
−4
A
−6
Remarque::latangenteàunecourbenetouchelacourbelocalementqu’enunpoint.
oExercices:n 9,10et11page187
Page4/7
bIII Nombredérivé
III.1 Coefficientdirecteurd’unedroite
Rappel :Soientdeuxpoints A etB d’unedroitesécanteàl’axedesordonnées.
y −yB A
Lecoefficientdirecteurdeladroite(AB)est: m=
x −xB A
B
y −yB A
A
x −xB A
Définition
SoitC lacourbereprésentatived’unefonction f.
Soit A(a ; f(a))unpointdeC.
Si,en A,C admetunetangente,onditque f estdérivableena.Onappellealorsnombredérivéde f en
′a,noté f (a),lecoefficientdirecteurdelatangente.
Exemple:
9
8
7
6
5
A
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3−1
LatangenteenAàC passeparlespointsdecoordonnées(2; 4)et(3; 8);lecoefficientdirecteurdelatangente
8−4 4
estdonc: = =4.
3−1 1
′Lenombredérivéde f en2est: f (2)=4 .
Propriété
′L’équationréduitedelatangenteena estalors:y= f (a)(x−a)+f (a).
′Remarque:latangenteena estparallèleàl’axedesabscisseséquivautà f (a)=0.
2Exemple:laparabolereprésentativedelafonctioncarréx7!x en0.
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bbbbboExercicesn 12à19page1889
IV Nombresdérivéespourlesfonctionsderéférence
IV.1 Fonctionaffine
Soit f définiepar f(x)=mx+p etsoit A(a ; f(a))unpointdeladroiteD représentativede f.
′LatangenteàD ena estladroiteD elle-même,donc f (a)=m.
IV.2 Fonctioncarré
2Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)=x etsoit A(a ; f(a)).
′Onpeutconjecturerl’expressionde f (a)enfonctiondea àl’aidedeGeogebra.
′Onremarqueque f (a)=2a
IV.3 Pourlesfonctionsderéférence:
′Fonction fdéfiniepar: Nombredérivéde fena ; f (a)
′mx+p f (a)=m(constante)
2 ′f(x)=x f (a)=2a
2 ′f(x)=ax +bx+c f (a)=2a+b
1 1′f(x)= , x6?0 f (a)=−
2x a
3 ′ 2f(x)=x f (a)=3a
p 1′f(x)= x, x>0 f (a)= p
2 a
Exemples:
21. Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)=x .Trouverl’équationdelatangenteàC en3:
′ ′ 2Pourtouta,ona: f (a)=2a donc f (3)=6; f(3)=3 =9
′L’équationdelatangenteen3estalors:y= f (a)(x−a)+f (a)doncy=6(x−3)+9,d’où: y=6x−9
16
14
12
10 A
8
6
4
2
O−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4−2
−4
−6
−8
−10
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b1
2. Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)= .Trouverl’équationdelatangenteàC en4:
x
1 1 1′ ′Pourtouta,ona: f (a)=− donc f (4)=− ; f(4)=2a 16 4
1 1 1 1′L’équationdelatangenteen4estalors:y= f (a)(x−a)+f (a)doncy=− (x−4)+ ,d’où: y=− x+ .
16 4 16 2
4
3
2
1
A
f O−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
oExercicesn 20à25page191
V Signedunombredérivé
V.1 Conjectureaveclafonctioncarré
′ ′ ′Onconstatequepoura<0, f (a)<0, f (0)=0et f (a)>0poura>0
V.2 Conjectureavecunefonctionquelconque
′Exemple:si l’onreprendl’exemplevu auparagrapheII,onconstateque f (a)<0 lorsquelafonctionest
′décroissanteet f (a)>0lorsquelafonction f estcroissante.
Propriété
Soitunefonction f dérivablesurunintervalleI.
′• Si f eststrictementcroissantesurIetsia∈I,alors f (a)>0.
′• Si f eststrictementdécroissantesurIetsia∈I,alors f (a)<0.
′• Sia∈I etsi f (a)=0,alorslatangenteàC ena estparallèleàl’axedesabscisses.f
oExercices:Page195:n 9,14,15,18
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b